Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.2. Интегрирование классов функций

4.2. Интегрирование классов функций

4.2.1.Интегрирование рациональных функций

4.2.2.Интегрирование иррациональных функций

4.2.3.Тригонометрические интегралы

4.2.1. Интегрирование рациональных функций

Познакомимся с методами интегрирования рациональных функций, т.е. функций вида (( )) , где и — алгебраические многочлены:

( ) = 0 + 1 −1 + . . . + −1 + ,( ) = 0 + 1 −1 + . . . + −1 + .

Определение. Если < , то рациональная функция называется правильной.

Определение. Если > , то рациональная функция называется неправильной.

В случае неправильной рациональной функции производят деление и получают

( ) = ( ) + 1( ),

( ) ( )

где ( ) — некоторый многочлен и 1( ) — правильная рациональная функ-

( )

ция.

Например,

Поэтому в дальнейшем будем полагать, что ( ) есть правильная рацио-

( )

нальная функция.

Можно доказать, что любой многочлен можно преобразовать к произведению простейших многочленов, а именно:

( ) = ( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − ) ( 2 + 2 1 + 1) 1 × × ( 2 + 2 2 + 2) 2 . . . ( 2 + 2 + ) , (4.6)

где 1, 2, . . . , R, 1, 2, . . . , N, 1, 2, . . . , N и 2 − < 0,

= 1, 2, . . . , . Поcледнее означает, что многочлены 2 + 2 + не имеют действительных корней. Этот факт устанавливается в расширенном курсе высшей математики.

Также примем без доказательства следующее утверждение: если ( )

( )

есть правильная рациональная функция и многочлен ( ) имеет вид (4.6), то ее можно единственным образом представить в виде:

где ( ), ( ), ( ) — некоторые вещественные числа.

Выражение (4.7) называется разложением на простейшие рациональные дроби. Поскольку ранее мы рассмотрели методы интегрирования таких дробей, то, имея разложение (4.7), легко найти неопределенный интеграл от рациональной функции (( )) .

Этот интеграл будет также выражаться через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Таким образом, главная задача при интегрировании рациональных функций состоит в нахождении разложения (4.7). Если известно представление (4.6), то коэффициенты ( ), ( ), ( ) ищутся методом неопределенных коэффициентов. Суть его состоит в следующем. Записывается представление (4.7) с неопределенными коэффициентами ( ),

( ), ( ). Затем выражение в правой части приводим к общему знаменателю и получим в числителе некоторый многочлен. Сравнивая коэффициенты

при одинаковых степенях у этого многочлена ( ), получаем систему уравнений для опредения коэффициентов ( ), ( ), ( ).

Решив ее, найдем эти коэффициенты. Проиллистрируем изложенное на примерах.

Пример 4.8. Найти разложение на простейшие дроби рациональной функции

( ) = ( + 1)( − 2)( 2 + 1).

Решение. Очевидно, что есть правильная рациональная функция, и ее знаменатель имеет вид (4.6). Поэтому запишем представление (4.7) с неопределенными коэфициентами для данной рациональной функции:

Правую часть равенства приводим в общему знаменателю и сравниваем многочлены, стоящие в числителях левой и правой частей:

= ( − 2)( 2 + 1) + ( + 1)( 2 + 1) + ( + )( + 1)( − 2) (4.8)

или

= ( + + ) 3 + (−2 + + − ) 2+

+( + − 2 − ) − 2 + − 2 .

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэфициенты при одинаковых степенях . Приравнивая эти коэфициенты, получим систему уравнений для определения чисел , , , :

Решать эту систему из четырех линейных уравнений, находим неизвестные

, , , .

Вместе с тем, используя тождество (4.8), можно найти искомые коэффициенты несколько проще:

a) полагая в (4), = −1, получаем −1 = (−3 · 2), откуда = 16 ;

б) полагая в (4), = 2, получаем 2 = · 3 · 5, откуда = 152 ;

в) тогда из уравнения (4.9), находим = − − = −16 − 152 = −0, 3, а из уравнения (4.10) = 2 − = 151 − 16 = −0,1.

Таким образом,

Пример 4.9. Найти разложение на простейшие дроби рациональной функции

2 + 1 ( 2 + 5 + 6)( + 2).

Решение. Данная рациональная функция является правильной. Нетрудно видеть, что корнями многочлена 2 + 5 + 6 являются числа (−2) и (−3). Поэтому ( 2 + 5 + 6)( + 2) = ( + 2)2( + 3).

Теперь можем записать следующее представление с неопределенными коэффициентами, аналогичное формуле (4.7):

Приводя выражение справа к общему знаменателю и сравнивая многочлены, стоящие в числителе, находим:

= ( + 2)( + 3) + ( + 3) + ( + 2)2.