3.1.6. Логарифмическая производная

Предположим, что

Рассмотрим функцию = ln ( ). Дифференцируя эту функцию как сложную, = ln , = ( ), получим

Определение. Производная от логарифма функции называется логарифмической производной этой функции, а последовательное применение операции логарифмирования, а затем дифференцирования называется логариф-

мическим дифференцированием.

С помощью этого метода найдем, например, производную показательно-степенной функции = ( ( )) ( ), где , — некоторые функции, имеющие в точке производные, ( ) > 0. Применяя формулу (3.8), получим

В правой части имеем производную произведения:

Решение. Если положить = и = , то можно применить формулу (3.9) и сразу записать производную. Мы же повторим рассуждения, использованные при выводе формулы (3.9). Прологарифмируем исходную функцию

ln = ln .

Дифференцируя это равенство как тождество, т.е. дифференцируя обе его части, находим

3.1.7. Производная неявной функции

Пусть функция = ( ) задана неявно:

( , ) = 0.

Для нахождения производной ′ будем дифференцировать обе части этого равенства, считая, что — независимая переменная, а есть функция переменной . Из полученного уравнения найдем ′. Проиллюстрируем этот метод на следующем примере.

Пример 3.7. Найти производную функции , заданной уравнением

= cos( + 3 ).

Решение. Дифференцируем обе части уравнения:

Решаем полученное уравнение относительно ′:

3.1.8. Производные высших порядков

Пусть функция ( ) имеет производную в каждой точке ( ; ). Тогда на промежутке ( ; ) будет определена функция ′( ), и тоже можно говорить о ее производной.

Назовем ′( ) производной первого порядка функции ( ).

Определение. Производной второго порядка функции ( ) называется производная от функции ′( ), если она существует.

Обозначается вторая производная символами

Производную от второй производной называют производной третьего порядка функции ( ) и обозначают ′′′, ′′′( ), 3 3 .

Определение. Производной -го порядка функции ( ) называется производная от производной ( − 1)-го порядка, если она существует.

Производная -го порядка обозначается

Производные высших порядков широко применяются, в частности, в физике. Выясним, например, физический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и пройденный ею путь описывается уравнением = ( ), — время. Как известно из раздела 3.1.3, первая производная от пути по времени есть мгновенная скорость движения точки в момент времени , ( ) = ′( ). Тогда вторая производная от пути по времени равна скорости изменения функции скорости ( ).

А это есть ускорение ( ) материальной точки в момент времени . Таким образом, вторая производная от пути по времени есть ускорение, т.е.

( ) = ′′( ).

Теперь найдем производные -го порядка для некоторых элементарных функций.

1) Найдем ( ) степенной функции = , (0, +∞), R. Очевидно,

′ = −1,

′′ = ( − 1) −2,

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) = ( − 1) · . . . · ( − + 1) − .

Если предположить, что = N, то

( ) = ( )( ) = ( − 1) . . . 2 · 1 = !,

( +1) = ( !)′ = 0.

2)Замечательным свойством обладает показательная функция = . Для любого справедлива формула

Приведем еще одну формулу для нахождения производной -го порядка. Пусть = , где и — некоторые функции, имеющие производные любого порядка. Будем последовательно находить производные от функции

:

′ = ′ + ′,

′′ = ′′ + ′ ′ + ′ ′ + ′′ = ′′ + 2 ′ ′ + ′′,

′′′ = ′′′ + ′′ ′ + 2 ′′ ′ + 2 ′ ′′ + ′ ′′ + ′′′ =

= ′′′ + 3 ′′ ′ + 3 ′ ′′ + ′′′.

Правые части полученных формул похожи на разложение степеней бинома Ньютона ( + ) , = 1, 2, 3. Только вместо показателей степени стоят порядки производных. Сами функции и следует рассматривать в этом случае как производные нулевого порядка = (0), = (0).

Тогда можно записать формулу для производной -го порядка:

Эта формула называется формулой Лейбница. Ее можно доказать методом математической индукции.

Пример 3.8. Найти -ую производную функции = 2 sin .

Решение. Полагаем = sin , = 2 и применим формулу Лейбница (3.12). Найдем

( )

+ ( − 1) sin + ( − 2) 2 .