Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
3.4.Исследование функции с помощью производной
267.Найдите экстремумы и промежутки монотонности функции:
1) |
3 |
5 |
2 |
+ 6 − 7; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||
= |
|
|
− |
|
|
|||||||||
3 |
|
2 |
|
|||||||||||
2) |
= 2−2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
3) |
= ln(3 2 + 2 + 1); |
[Ответ] |
||||||||||||
4) |
= 2 − ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
5) |
= √ |
|
|
; |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
12 − 3 3 |
|
|
|
|||||||||||
6) |
= + arcctg ; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
7) |
= 4 |
|
− 2 2 + 5; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
8) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
[Ответ] |
|
2 |
− 6 − 16 |
|
|
|||||||||||
9) |
= 3 |
|
− 3 2 − 9 + 7; |
[Ответ] |
||||||||||
10) |
= √3 |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
( 2 − 6 + 5)2; |
||||||||||||||
11) |
= − ln(1 + ); |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
12) |
= ln2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
|
= √34 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
13) |
( 2 −31)2; |
2 |
− 12 + 5; |
[Ответ] |
||||||||||
14) |
= |
|
+ 4 |
− 2 |
|
[Ответ] |
||||||||
15) |
= 3−6 − 2 ; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
13) |
= |
|
|
3 2 |
|
|
; |
|
|
|
[Ответ] |
|
2 + 5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14) |
= |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
271. |
Проведите полное исследование и постройте график функции: |
|||||||||||
1) |
= |
1 |
( 3 + 3 2 |
− 9 + 1); |
[Решение] |
|||||||
|
||||||||||||
4 |
||||||||||||
2) |
= ln( 2 + 4); |
|
|
|||||||||
3) |
= − ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
= |
( + 1)2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
− 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
25 |
|
|
||||||
5) |
= 4 2 + |
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
− 1 |
|
|||||||||
6) |
= ln ; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
= 3 − 3 2; |
|
|
|||||||||
8) |
= 2 + |
2 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
= |
|
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
3 − 2 |
|
|
|
|
|||||||
10) |
= ln( 2 + 2 + 2); |
|
||||||||||
11) |
= |
|
2 − 1 |
|
; |
|
|
|||||
( − 1)2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
12) |
= − ln( 2 |
− 4 + 5); |
|
|||||||||
13) |
= |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 − 2 |
|
|
|
|
||||||||
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
1
14) = 1 − √1 − ;
√
15) = 3 3 2 + 2 ;
16) = 15( 3 − 6 2 + 25);
2
17) = 2 + + 1; 18) = + 1 ;
19) = 2 − 1; 20) = 2 − 2 ; 21) = 2−−14.
272.Предприятие производит единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства составляют = ( ). Зависимость между удельной ценой и количеством единиц продукции , которое можно продать по этой цене, описывается формулой = ( ). Рассчитайте, при каких условиях прибыль будем максимальной, найдите эту прибыль.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
( ) = |
|
+ 15 + 800, ( ) = 50 |
− |
|
; |
[Решение] [Ответ] |
||
50 |
10 |
||||||||
2) |
( ) = 2 − 2 + 3, ( ) = 20; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||
3) |
( ) = 10 ln( + 5), ( ) = 10; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||
4) |
( ) = 10 ln( + 1) − 5, ( ) = 4 + |
|
1 |
|
, — целое. |
[Ответ] |
|||
|
|
||||||||
+ |
1 |
||||||||
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
273.Завод отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город на км (считается по кратчайшему расстоянию). Под каким углом к железной дороге следует построить подъездной путь, чтобы транспортировка грузов из в была наиболее экономич-
ной, если стоимость провоза 1 т груза на расстояние 1 км составляет по подъездному пути ден. ед., по железной дороге ден. ед. и городрасположен на км севернее завода ? Какова стоимость транспортировки в этом случае?
1) |
= 8, = 4, = 2, = 15; |
[Решение] [Ответ] |
||
2) |
= 6, = 8, = 4, = 17; |
[Ответ] |
||
3) |
= 7, = 10, = 8, = 18; |
[Ответ] |
||
4) |
√ |
|
|
[Ответ] |
= 8, = 5, = 5 3, = 16. |
||||
274.Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен в банке под 1% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вло-
жения ожидается в размере 2%, а издержки задаются квадратичной зависимостью с коэффициентом . Кроме того, прибыль при вложении
средств в производство облагается налогом в 3%. Сколько денег следует вложить в производство и сколько в банк, чтобы максимизировать прибыль?
1) |
1 |
= 50, 2 |
= 100, 3 |
= 10, = 3; |
[Решение] [Ответ] |
2) |
1 |
= 40, 2 |
= 150, 3 |
= 20, = 2; |
[Ответ] |
3) |
1 |
= 60, 2 |
= 200, 3 |
= 10, = 1; |
[Ответ] |
4) |
1 |
= 30, 2 |
= 100, 3 |
= 5, = 0, 5. |
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
275.Функция издержек производства имеет вид: ( ) = 100 + 3 + 2, где— количество товара. Цена за единицу товара составляет 20 денежных единиц. Найти функцию прибыли и функцию предельной прибыли. Вычислить и объяснить экономический смысл ′(30), а также вычислить и объяснить смысл величины (31) − (30).
276. Функция предельных издержек имеет вид:( ) = 60 − 0, 04 + 0, 003 2, где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 7000 денежных единиц в месяц; б) фиксированные издержки; в) издержки производства 250 единиц продукции; г) максимальное значение прибыли, если продукция продается по цене 65, 5 денежных единиц.
277.Функция средних издержек имеет вид: ( ) = 120 + , где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек; б) издержки производства 100 единиц продукции; в) максимальное значение прибыли, если продукция продается по цене 250 денежных единиц.
278.Пусть спрос на некоторый товар зависит от цены следующим образом
( ) = 250002 − 15 . Найти: а) скорость изменения спроса, при цене 10 денежных единиц и 25 денежных единиц; б) эластичность спроса относительно указанных цен. Сделать вывод. При каком значении цены спрос будет эластичным?
279.Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой ( ) = 40 − 0, 03 3. Определить средние и предельные издержки при объёме продукции = 15 ден.ед. Объяснить экономический смысл полученных величин.
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню Назад Вперёд
280. |
Для следующих |
функций спроса ( ) |
= 6 − |
и |
предложения |
||||||
|
( ) = + 2, где — цена товара, найти аналитически и графиче- |
||||||||||
|
ски точку рыночного равновесия. Вычислить эластичность спроса и |
||||||||||
|
предложения относительно равновесной цены. Сделать вывод. |
||||||||||
281. |
Найти эластичность спроса по цене и найти значение эластично- |
||||||||||
|
сти при указанных значениях цены |
а) |
( ) = |
3 |
|
, = 10; |
|||||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 +7 |
|
||
|
б) ( ) = 14 |
2 |
|
, = 25. |
|
|
|
|
|
||
|
|
+ 7 − √ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
282. |
Для следующих |
функций спроса |
= |
−2 + 150 и предложения |
|||||||
|
= 4 +30, где — число единиц товара, найти аналитически и графи- |
||||||||||
чески точку рыночного равновесия. Вычислить эластичность спроса и предложения относительно равновесного объема продаж. Сделать вывод.
283.Уравнение спроса имеет вид = 100 − 10 . Известна функция издержек ( ) = 50 + 3 , где — цена товара, а — число единиц товара. Найти максимальное значение прибыли. При какой цене прибыль будет максимальной?
284.Функция предельных издержек имеет вид: ( ) = 50+0, 02 , где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек, если фиксированные издержки составляют 25 000 денежных единиц в месяц; б) максимальное значение прибыли, если продукция продается по цене 75 денежных единиц.
285.Функция издержек производства некоторой продукции определяется формулой ( ) = 3 + 15 − 6 2. Найти функцию предельных издержек, функцию средних издержек и функцию скорости изменения средних издержек. При каком объеме производства средние издержки минимальны?
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
функцию предельных издержек, функцию средних издержек и функцию скорости изменения средних издержек. При каком объеме производства средние издержки минимальны?
293. Функция совокупных издержек монополии и уравнение спроса на этот товар имеют вид ( ) = 900 + 40 + 5 2; = −2 2 − 4 + 280, где — цена товара, а — число единиц товара. При каком объеме производства достигается максимальное значение прибыли?
294. Функция издержек производства некоторой продукции определяется формулой ( ) = 96 − 2 2 + 3. При каком объеме производства предельные и средние издержки совпадают? Найти эластичность полных и средних издержек при этом объеме.
295. Функция предельной прибыли имеет вид: ( ) = 25−0, 004 , где — количество единиц продукции. Прибыль предприятия составляет 35, 8 тысяч денежных единиц, если продано 1 200 изделий. Найти функцию прибыли. При каком значении прибыль будет максимальной?
296. Пусть зависимость издержек производства от объёма выпускаемой продукции выражается формулой ( ) = 15 − 6 3. Определить средние и предельные издержки при объёме продукции = 15 ден.ед.
297. Пусть производственная функция задается следующей эмпирической
√
формулой: ( ) = 300 − 4 , где — численность персонала. Вычислить предельную производительность при = 1; = 9; = 100;= 2500; = 225 000. Сделать вывод, как изменяется предельная производительность с ростом численности персонала.
298.Пусть зависимость между себестоимостью продукции и объёмом производства задается формулой ( ) = 50 − 0, 4 . Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции а) = 15 единиц и б) = 150 единиц. Сделать вывод.
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню Назад Вперёд
299. Издержки производства некоторой продукции имеют вид( ) = 100+3 2. Цена на товар изменяется по закону: ( ) = 400− 25 . Определить, при каком объеме производства прибыль будет максимальной.
300.Функция предельных издержек имеет вид: ( ) = 30 0,001 2 , где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек, если фиксированные издержки составляют 20 000 денежных единиц в месяц; б) функцию средних издержек; при каком объеме производства средние издержки будут минимальны?
301.Для следующих функций спроса найти эластичность и найти значение эластичности при указанных значениях цены а) ( ) = 154 − 2+13 ,
= 7; б) ( ) = 3 + 7 − 3, = 4.