2.1.4. Бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность { } называется бесконечно большой (ББП), если для всякого > 0, сколь большим оно бы ни было, существует номер 0 N такой, что для любого > 0 верно неравенство | | > , т.е.

В таком случае пишут:

lim = ∞.

→∞

Если дополнительно известно, что последовательность { } для достаточно больших сохраняет знак, то есть

( )

то к символу бесконечности «∞» добавляют соответствующий знак:

Примерами бесконечно больших являются последовательности

√

= ln , = − , = (−2) .

Свойства бесконечно больших последовательностей

1.ББП — неограниченная последовательность.

2.Произведение двух ББП есть ББП.

3.Сумма ББП и ограниченной последовательности есть ББП.

4.ББП не может являться постоянной последовательностью.

Замечание 2.1. Сумма двух ББП не обязательно является ББП. Например, последовательности = и = − бесконечно большие. Однако сумма+ = 0 бесконечно большой не является.

Приводимая ниже теорема иллюстрирует связь между БМП и ББП.

Теорема 2.1. Если { } есть ББП и все ее члены отличны от нуля, то по-

следовательность {1/ } eсть БМП; и обратно, если { } — БМП, все члены которой отличны от нуля, то {1/ } — ББП. [Доказательство]

2.1.5. Сходящиеся последовательности

Определение. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, — расходящейся. Если

lim = ,

→∞

где — конечное число или бесконечность, то говорят, что последовательность { } сходится к .

Простейшим примером сходящейся последовательности является БМП. В качестве примера расходящейся можно привести последовательность

−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . , (−1) , . . .

Свойства сходящихся последовательностей

1. Для того, чтобы последовательность { } имела своим пределом число

, необходимо и достаточно, чтобы последовательность { − } была БМП.

[Доказательство]

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

[Доказательство]

Замечание 2.2. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Ограниченная последовательность может быть и расходящейся. В качестве такого примера можно рассмотреть последовательность

−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . , (−1) , . . .

4. Пусть lim = и lim = . Тогда

→∞ →∞

Решение. При → ∞ числитель и знаменатель стремятся к бесконечности (являются ББП). Следовательно, непосредственно применить свойство о пределе частного нельзя. Поэтому необходимо преобразовать общий член этой последовательности, разделив числитель и знаменатель на 2 (на в максимальной степени). Получим