8.2.2. Матричный метод

Предположим, что основная матрица системы (8.10) квадратная и невырожденная. Тогда существует обратная матрица −1. Умножив левую и правую части системы в матричной форме (8.11) слева на −1, получим

−1( ) = −1 , ( −1 ) = −1 , = −1 , = −1 .

Единственность найденного решения гарантируется единственностью обратной матрицы −1.

Определение. Метод решения системы линейных уравнений = с невырожденной квадратной матрицей по формуле = −1 называется мат-

ричным.

− + = 6,

Пример 8.25. Решить систему уравнений 2 + + = 2,

+ + 2 = 1.

Решение. Выпишем основную матрицу и вектор свободных членов:

Матрицу мы уже рассматривали в примере 8.21. Там мы убедились, что она невырожденная, и нашли обратную

Итак, = 2, = −3, = 1 — решение системы. Чтобы убедиться в его правильности, проводим проверку:

− + = 2 − (−3) + 1 = 6,

2 + + = 2 · 2 + (−3) + 1 = 2,

+ + 2 = 2 + (−3) + 2 · 1 = 1.

Как это и требуется, все уравнения системы обратились в верные равенства.

Замечание 8.10. Матричный способ является весьма трудоёмким с вычислительной точки зрения, так как требует отыскания обратной матрицы, что влечёт за собой вычисление 2 + 1 определителей.

8.2.3. Метод Крамера

Теорема 8.4. Единственное решение системы линейных уравнений = с невырожденной квадратной матрицей = ( ) можно получить по формулам

[Доказательство]

Определение. Формулы (8.13) называются формулами Крамера. Метод решения системы линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера называется методом Крамера.

Пример 8.26. Решить систему линейных уравнений из примера 8.25 методом Крамера.

Решение. Определитель основной матрицы системы в данном случае совпадает с определителем, рассмотренным в примере 8.11. Там мы нашли, что

Замечание 8.11. Метод Крамера требует отыскания определителя системы и определителей . Это делает его, как и матричный метод, весьма

трудоёмким и не очень оправданным для практического применения.