8.1.3. Определители

Квадратной матрице может быть поставлено в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое | | или det .

Определение. Определитель первого порядка квадратной матрицы = ( 11)

равен единственному элементу этой матрицы, а именно det = | | = 11.

Замечание 8.4. Следует различать вертикальные линии, обозначающие определитель и модуль числа: они имеют совершенно различный смысл. Определитель, например, может принимать отрицательные значения.

Замечание 8.5. Правило вычисления определителя второго порядка иллюстрируется схемой на рисунке 8.2 и состоит в том, что из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали.

ваемое правило треугольников, представленное схемой на рисунке 8.3. Суть правила треугольников состоит в том, что со знаком «плюс» берётся произведение элементов главной диагонали, а также произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали. Со знаком «минус» идёт побочная диагональ и соответствующие ей треугольники.

Решение. По правилу треугольников

det = 1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 1 + (−1) · 1 · 1 − 1 · 1 · 1 − 2 · (−1) · 2 − 1 · 1 · 1 =

= 2 + 2 − 1 − 1 + 4 − 1 = 5.

Определитель квадратной матрицы произвольного порядка выражается через специальные определители порядка −1, называемые минорами.

Такой подход позволяет при вычислении определителя последовательно понижать его порядок до тех пор, пока не будут получены определители третьего или второго порядка, которые могут быть вычислены непосредственно.

Определение. Минором элемента квадратной матрицы порядка называется определитель квадратной матрицы ( − 1)-го порядка, получаемой вычёркиванием в матрице -й строки и -го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется минор этого элемента, умноженный на (−1) + :

= (−1) + .

Пример 8.12. Минор 23 и алгебраическое дополнение 23 для квадратной матрицы третьего порядка

Определение. Определителем квадратной матрицы = ( ) порядка называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:

Замечание 8.7. Это определение корректно в том смысле, что, как несложно проверить, применительно к определителям второго и третьего порядка формула (8.4) даёт такой же результат, как и рассмотренные ранее формулы (8.2) и (8.3).

Пример 8.13. Вычислить определитель из примера 8.3 с помощью формулы (8.4).

Как мы и предполагали, результат оказался тем же.

Для вычисления определителей четвёртого и более высоких порядков

Решение. Один из элементов первой строки матрицы равен нулю, что

освобождает нас от нахождения соответствующего минора. Для сокращения письма знаки алгебраических дополнений будем вычислять в уме:

(

+ 5 2 · (−3) · 1 + 6 · (−2) · 2 + 2 · 1 · 1 −

)

− 2 · (−3) · 1 − 1 · 6 · 1 − 2 · (−2) · 2 +

(

+ 7 2 · (−3) · 2 + 6 · 1 · 2 + 2 · 1 · 4 −

)

− 2 · (−3) · 4 − 1 · 6 · 2 − 2 · 1 · 2 =

= 1(6 − 16 − 6 − 2 + 12 + 24) + 5(−6 − 24 + 2 + 6 − 6 + 8) + + 7(−12 + 12 + 8 + 24 − 12 − 4) =

= 1 · 18 + 5 · (−20) + 7 · 16 = 18 − 100 + 112 = 30.