Часть I. Теория |
|
Глава 3. Теория дифференцирования |
|
3.4. Исследование функции с помощью производной |
|
Меню 3.4.6. Асимптоты графика функции |
Назад Вперёд |
3.4.6. Асимптоты графика функции
Определение. Прямая = называется вертикальной асимптотой графика
функции = ( ), если хотя бы один из односторонних пределов |
lim ( ) |
|||||||||||||
или |
0 |
|
равен |
+ |
∞ или −∞. |
|
|
|
|
→ +0 |
||||
lim |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
→ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Так, график функции |
= |
имеет вертикальную асимптоту = 0, |
||||||||||||
потому что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
= −∞. |
|
||
|
|
|
|
+0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
lim |
1 |
= + |
|
, |
lim |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
Теперь |
предположим, |
что |
функция |
|
определена на промежутке |
|||||||||
( ; +∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Прямая = + называется наклонной асимптотой графика
функции = ( ) при → +∞, если функция |
представима в виде |
( ) = + + ( ). |
(3.26) |
где ( ) — БМФ при → +∞. При = 0 эту асимптоту называют горизонтальной.
Очевидно, и в случае вертикальной асимптоты, и в случае наклонной асимптоты характерным признаком является неограниченное сближение графика функции и прямой, являющейся асимптотой.
Теорема 3.20. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту при → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:
|
lim |
( ) |
= , |
|
lim |
( ( ) − ) = . |
(3.27) |
|||||
|
|
|
||||||||||
→ |
+ |
∞ |
→ |
+ |
∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
[Доказательство]
Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 3.20 для случая → −∞.
Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения
Меню графиков функций Назад Вперёд
3.4.7.Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций
Для полного исследования поведения функций и построения графиков функций можно рекомендовать следующую схему:
1)найти область определения функции;
2)найти точки разрыва функции, вертикальные асимптоты (если существуют), точки пересечения с осями координат;
3)определить четность (нечетность), периодичность функции;
4)найти промежутки монотонности функции и точки локального экстремума;
5)определить промежутки выпуклости функции и точки перегиба;
6)выяснить вопрос о существовании наклонных асимптот;
7)на основании полученных данных построить график функции (иногда полученные данные сводят в таблицу).
Приведем пример, иллюстрирующий эту схему. Пример 3.17. Построить график функции = − 2 .
Решение. 1) Областью определения данной функции является вся числовая прямая.
2) Функция непрерывна на R. Вертикальных асимптот не имеет. График функции ось не пересекает, так как R: ( ) > 0. Если
= 0, то |
= 1, и ось график функции пересекает в точке (0; 1). |
|
||||
3) |
Функция2 |
является2 |
четной, так |
как |
|
R: |
(− ) = |
−(− ) |
= − = |
( ). Свойством |
периодичности |
функция |
|
не обладает.
Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения
Меню графиков функций Назад Вперёд
4)Найдем производную функции: ′ = −2 − 2 . Очевидно, ′( ) > 0,
(−∞; 0), и ′( ) < 0, (0; +∞).
Следовательно, функция является возрастающей на промежутке (−∞; 0) и убывающей на (0; +∞).
Стационарной точкой является только точка = 0. Из теоремы 3.15 следует, что точка = 0 является точкой локального максимума, (0) = 1.
5) Найдем вторую производную:
′′ = −2 − 2 + 4 2 − 2 = 2 − 2 (2 2 − 1).
Найдем точки, в которых вторая производная обращается в нуль, т.е. точки возможного перегиба:
2 |
|
1 |
|
|
2 − |
(2 2 − 1) = 0, |
1,2 = ±√ |
|
. |
2 |
||||
Отсюда следует, что
′′( ) > 0,
′′( ) < 0,
|
(−∞; −√2) |
|
(√2; +∞) |
, |
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
|
(−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; √ ). |
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
22
Таким образом, функция = − 2 является выпуклой вниз на проме- |
||||||||||||||||||||||||||||
жутках |
(−∞; −√1 |
|
)1 |
и (1 |
√1 |
|
; +∞) и выпуклой вверх на интервале |
(−√1 |
|
; √1 |
|
). |
||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
6) |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значит, точки ±√ |
2 |
; √ |
|
|
|
являются точками перегиба. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
− 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
→+∞ |
|
|
→+∞ |
|
|
→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
lim ( ( ) |
− |
) = |
lim |
− 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
+ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения
Меню графиков функций |
Назад Вперёд |
Следовательно, прямая |
= 0 (ось ) является горизонтальной |
асимптотой при → +∞. Очевидно, эта прямая является асимптотой и при → −∞.
7) Для построения графика полученные результаты сведем в таблицу 3.2.
Таблица 3.2
|
1 |
|
−1 |
−1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
(−∞, −√ |
|
) |
√ |
|
|
( √ |
|
, |
0) |
(0, √ |
|
) |
√ |
|
|
( √ |
|
, +∞) |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
+ |
|
|
−1/2 |
+ |
|
1 |
+ |
|
|
−1/2 |
|
|
+ |
||||||
′ |
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
0 |
− |
− |
|
|
− |
|||||||
′′ |
+ |
|
|
0 |
|
− |
|
− |
− |
0 |
|
|
|
+ |
||||||
На основании полученных данных строим график (рисунок 3.8). Полученная кривая называется кривой Гаусса. Заметим также, что в силу четности функции и симметричности графика относительно оси можно было исследовать функцию лишь на промежутке (0; ∞).
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e− 21 |
|
|
|
|
|
e−1 |
|
|
|
−1 |
1 |
O |
1 |
1 |
x |
−√2 |
|
√2 |
|
||
|
|
Рисунок 3.8 |
|
|
|