Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
Меню 2.3.7. Признак существования предела функции |
Назад Вперёд |
2.3.7. Признак существования предела функции
Теорема 2.8 (о пределе промежуточной функции). Пусть функции ( ), ( ),
( ) определены в некоторой окрестности точки = , кроме, быть может, самой точки , и удовлетворяют неравенствaм
|
|
( ) 6 ( ) 6 ( ). |
|
Пусть lim ( ) = lim ( ) = . Тогда lim ( ) = . |
[Доказательство] |
||
→ |
→ |
→ |
|
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
Меню 2.3.8. Замечательные пределы |
Назад Вперёд |
2.3.8. Замечательные пределы
Теорема 2.9. Справедливо равенство
lim |
sin |
= 1. |
(2.5) |
|
|
||||
→0 |
|
|
[Доказательство]
Определение. Равенство (2.5) называется первым замечательным пределом.
Следующие соотношения являются следствиями первого замечательного предела:
lim |
tg |
= 1, |
lim |
arcsin |
|
= 1, lim |
arctg |
= 1. |
||
|
|
|
||||||||
→0 |
|
→0 |
|
→0 |
|
|||||
Теорема 2.10. Справедливо равенство |
|
|
|
(2.6) |
||||||
|
|
|
→∞ (1 + ) |
= . |
|
|||||
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение. Равенство (2.6), представляющее собой обобщение уже известного предела (2.2), называется вторым замечательным пределом.
Часто встречаются следствия второго замечательного предела:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(2.7) |
|
|
lim (1 + ) |
= , |
|||||
а также |
→0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− 1 |
|
||
lim |
log (1 + ) |
= |
1 |
, |
lim |
= ln , |
||
|
|
ln |
|
|||||
→0 |
|
|
→0 |
|
(2.8) |
|||
|
lim |
(1 + ) − 1 |
= |
|
( > 0). |
|||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
Меню 2.3.8. Замечательные пределы |
Назад Вперёд |
В частности, |
|
|
|
|
− 1 |
|
|
lim |
ln(1 + ) |
= 1, |
lim |
= 1. |
|||
|
|
|
|||||
→0 |
|
→0 |
|
||||
Пример 2.15. Найти lim |
sin 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→0 |
|
|
|
|
|
||
Решение. Первый способ. Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, в выражении под знаком предела выполним замену переменной, полагая 3 = , = /3:
|
lim |
sin 3 |
|
= lim |
|
sin |
|
= 3 lim |
|
sin |
= 3. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
→0 |
→0 |
3 |
|
|
→0 |
|
|
||||||||
Второй способ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim0 |
sin 3 |
= lim0 |
sin 3 |
· 3 = 3 |
lim0 |
sin 3 |
= 3 · 1 = 3. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||
1
Пример 2.16. Найти lim (1 + 2 ) .
→0
Решение. Здесь удобно использовать замену 2 = , чтобы свести этот предел к следствию второго замечательного предела 2.7. Действительно, в этом случае имеем, что если → 0, то → 0. Значит,
1 |
2 |
1 |
1 |
= 2. |
lim (1 + 2 ) |
= lim(1 + ) |
= lim(1 + ) (1 + ) |
||
→0 |
→0 |
→0 |
|
|
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
Меню 2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции |
Назад Вперёд |
2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции
С целью сравнения значений двух бесконечно малых при → функций в окрестности точки вводится следующее определение.
Определение. Две бесконечно малые при → функции ( ) и ( ) называются эквивалентными в окрестности точки , если
lim ( ) = 1.
→ ( )
В этом случае пишут, что ( ) ( ) при → .
Определение. Таблицей эквивалентностей называется следующий список часто встречаемых пар эквивалентных БМФ. Если ( ) — БМФ при → , то при →
|
sin ( ) |
|
( ), |
|
|
arcsin ( ) |
|
( ), |
|
log (1 + ( )) ln , |
||||
|
|
|
|
( ) |
( |
( )−1 ( ) ln , |
|||
) |
( ), |
|||
|
1 + ( ) |
|||
tg ( ) ( ), arctg ( ) ( ),
ln(1 + |
( ) |
)1 ( ), |
( ) |
||
|
|
− ( ), |
√1 + ( ) |
2 . |
||
|
|
|
( ) |
Замечание |
2.3. Из |
таблицы эквивалентностей следует, что функции |
( ) = sin |
и ( ) |
= являются эквивалентными в окрестности точки |
= 0, т.е. sin при → 0. Иначе говоря, значения многочлена ( ) = в окрестности точки = 0 мало отличаются от значений функции ( ) = sin ; или, можно сказать, многочлен ( ) = приближает функцию ( ) = sin в окрестности точки = 0 (смотрите рисунок 2.44).
|
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
|
|
|
|
|||||
Меню |
2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции |
|
|
|
Назад |
Вперёд |
|||||
|
y |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cos x |
|||
|
|
|
|
|
y = sin x |
|
|
|
|||
|
−δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−δ |
O |
δ |
|
x |
||
|
O |
δ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 − |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
Рисунок 2.44 |
|
|
Рисунок 2.45 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.17. Показать, что 1 − cos |
|
|
|
при → 0. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
Решение. В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
cos |
|
2 sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
lim0 |
1 − |
|
= lim0 |
|
|
|
|
|
= lim0 |
|
|
|
|
= 1. |
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Значит, функция cos приближается многочленом 1 − 2/2 в окрестности точки = 0 (смотрите рисунок 2.45). 
Следующие две теоремы существенно упрощают вычисление некоторых пределов.
Теорема 2.11. Если ( ) и ( ) — эквивалентные БМФ при → , а функция ( ) имеет предел при → , то ( ) ( ) ( ) ( ) при → .
Теорема 2.12. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Пример 2.18. Найти lim |
sin 3 |
(сравните с примером 2.15). |
|
|
|||
→0 |
|
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
Меню 2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции |
Назад Вперёд |
Решение. Функция ( ) = 3 бесконечно малая при → 0. Согласно таблице эквивалентностей отсюда следует, что sin 3 3 при → 0. Тогда по теореме 2.12
lim |
sin 3 |
= lim |
3 |
= 3. |
|
|
|
||||
→0 |
→0 |
|