Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции 2.3. Предел функции. Два замечательных предела

2.3.Предел функции. Два замечательных предела

2.3.1.Предел функции по Гейне

2.3.2.Предел функции по Коши

2.3.3.Односторонние пределы

2.3.4.Бесконечно малые функции

2.3.5.Бесконечно большие функции

2.3.6.Свойства предела функции

2.3.7.Признак существования предела функции

2.3.8.Замечательные пределы

2.3.9.Эквивалентные бесконечно малые функции

Рисунок 2.40

Пример 2.8. Постоянная функция ( ) = в каждой точке имеет предел. Действительно, пусть R и { } — произвольная последовательность, сходящаяся к . Тогда N ( ) = , и последовательность { ( )} будет иметь своим пределом число .

Пример 2.9. Функция

( ) = sin

определена всюду на R, за исключением точки = 0. Выясним, существует ли предел этой функции в точке = 0. С этой целью возьмем следующие две последовательности.

Пусть первую последовательность составляют числа > 0, где

= 0, 1, 2, . . ., такие, что sin = 1, т.е.

ющая последовательность значений функции будет состоять из единиц и иметь своим пределом число 1.

Теперь возьмем другую последовательность значений аргумента { },

где > 0 и N, такую, что sin = 0, т.е.

Очевидно, в этом случае последовательность значений аргумента { } сходится к нулю, и соответствующая последовательность значения функции {sin } также сходится к нулю.

Таким образом, в первом случае последовательность значений функции сходится к 1, а во втором — к 0. Это означает, что у функции ( ) = sin в точке = 0 предел не существует. Это факт хорошо иллюстрируется на графике рассматриваемой функции (рисунок 2.41).