Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:vyshaya_matem.pdf
X
- •Общая информация
- •Методические указания
- •Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска
- •Принцип построения и структура
- •Знакомство с ЭУМК
- •Рекомендации для преподавателя
- •Лекции
- •Организация практических занятий
- •Тесты
- •Рекомендации для студента
- •Изучение теоретического материала
- •Практические занятия
- •Тесты
- •Типовые программы курсов
- •Указатель по направлениям и специальностям
- •Список учебных программ
- •Рекомендуемая литература
- •Часть I. Теория
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Декартовы координаты
- •1.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •1.1.5. Общее уравнение прямой
- •1.1.7. Угол между двумя прямыми
- •1.1.8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.9. Расстояние от точки до прямой
- •1.1.10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Окружность
- •1.2.2. Эллипс
- •1.2.3. Гипербола
- •1.2.4. Парабола
- •1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
- •Глава 2. Предел последовательности и функции
- •2.1. Предел числовой последовательности
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые последовательности
- •2.1.4. Бесконечно большие последовательности
- •2.1.5. Сходящиеся последовательности
- •2.1.6. Предельный переход в неравенствах
- •2.1.7. Монотонные последовательности
- •2.1.8. Непрерывное начисление процентов
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Понятие функции
- •2.2.2. Способы задания функции.
- •2.2.3. Основные характеристики функций
- •2.2.4. Понятие обратной и сложной функции
- •2.2.5. Элементарные функции
- •2.2.6. Построение графиков функций
- •2.2.7. Функциональная зависимость в экономике
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.3.1. Предел функции по Гейне
- •2.3.2. Предел функции по Коши
- •2.3.3. Односторонние пределы
- •2.3.4. Бесконечно малые функции
- •2.3.5. Бесконечно большие функции
- •2.3.6. Свойства предела функции
- •2.3.7. Признак существования предела функции
- •2.3.8. Замечательные пределы
- •2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •2.4. Непрерывные функции
- •2.4.1. Непрерывность функции в точке
- •2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях
- •2.4.3. Точки разрыва и их классификация
- •2.4.4. Непрерывность элементарных функций
- •2.4.5. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.1.1. Понятие производной
- •3.1.2. Геометрический смысл производной
- •3.1.3. Физический смысл производной
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции
- •3.1.6. Логарифмическая производная
- •3.1.7. Производная неявной функции
- •3.1.8. Производные высших порядков
- •3.1.9. Применения производной в экономике
- •3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке
- •3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •3.2.3. Геометрический смысл дифференциала
- •3.2.4. Теоремы о среднем
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.3.1. Правила Лопиталя
- •3.3.2. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •3.4.1. Условие постоянства функции.
- •3.4.2. Достаточное условие монотонности функции.
- •3.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
- •3.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.4.5. Выпуклые функции
- •3.4.6. Асимптоты графика функции
- •3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределенный интеграл
- •4.1.1. Первообразная
- •4.1.2. Неопределенный интеграл
- •4.1.3. Таблица интегралов
- •4.1.4. Простейшие методы интегрирования
- •Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.2.1. Интегрирование рациональных функций
- •4.2.2. Интегрирование иррациональных функций
- •Простейшие случаи
- •Более сложные случаи
- •4.2.3. Тригонометрические интегралы
- •4.3. Определенный интеграл
- •4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •4.3.2. Свойства определенного интеграла
- •4.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении.
- •4.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции
- •4.3.5. Достаточные условия интегрируемости
- •4.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •4.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •4.4.2. Длина дуги кривой
- •4.4.3. Объем тела вращения
- •4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •4.5. Несобственные интегралы.
- •4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
- •4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Определения
- •5.1.2. Предел функции двух переменных
- •5.1.3. Непрерывность функции двух переменных
- •5.1.4. Частные производные
- •Геометрический смысл частных производных
- •5.1.5. Частные производные высших порядков
- •5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал
- •5.1.7. Производная сложной функции
- •5.1.8. Производная по направлению. Градиент
- •5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Локальный экстремум
- •5.2.2. Глобальный экстремум
- •5.2.3. Условный экстремум
- •5.2.4. Метод множителей Лагранжа
- •5.2.5. Экстремум выпуклых функций
- •5.2.6. Функция полезности
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
- •6.1.2. Составление дифференциальных уравнений.
- •6.1.3. ДУ с разделяющимися переменными.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •6.2.1. Однородные ДУ первого порядка.
- •6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.2.3. Уравнение Бернулли.
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.1.1. Понятие числового ряда.
- •7.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •7.1.3. Достаточные условия сходимости.
- •7.1.4. Абсолютная и условная сходимость.
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы и определители
- •8.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц
- •8.1.2. Операции над матрицами
- •8.1.3. Определители
- •8.1.4. Свойства определителей
- •8.1.5. Элементарные преобразования
- •8.1.6. Обратная матрица
- •8.1.7. Матричные уравнения
- •8.1.8. Ранг матрицы
- •8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •8.2.1. Основные понятия
- •8.2.2. Матричный метод
- •8.2.3. Метод Крамера
- •8.2.4. Метод Гаусса
- •8.2.5. Критерий Кронекера — Капелли
- •8.2.6. Экономическая модель Леонтьева
- •8.3. Векторная алгебра
- •8.3.1. Векторы в пространстве
- •8.3.2. Скалярное произведение векторов
- •8.3.4. Линейная зависимость векторов
- •8.3.5. Базис и ранг системы векторов
- •8.3.6. Ортогональные системы векторов
- •8.3.7. Фундаментальные системы решений
- •8.3.8. Собственные векторы и значения
- •Предметный указатель
- •Другие
- •Определения
- •Абсолютно сходящийся ряд
- •Абсолютно сходящийся функциональный ряд
- •Алгебраическое дополнение
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Асимптоты гиперболы
- •Базисный минор
- •Бесконечно большая последовательность
- •Бесконечно большие функции
- •Бесконечно малая последовательность
- •Бесконечно малые функции
- •Бюджетное множество
- •Вектор валового выпуска
- •Вектор конечного продукта
- •Вектор предельных полезностей
- •Вектор-столбец и вектор-строка
- •Вертикальная асимптота
- •Вершина параболы
- •Вершины гиперболы
- •Вершины эллипса
- •Возрастающая и убывающая последовательности
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Второй замечательный предел
- •Выпуклая вверх (выпуклая) функция
- •Выпуклая вниз (вогнутая) функция
- •Выпуклое множество
- •Выпуклые функции
- •Гаусса метод
- •Гипербола
- •Градиент
- •График функции двух переменных
- •График функции
- •Диагонали матрицы
- •Диагональная матрица
- •Директриса параболы
- •Дифференциал функции двух переменных
- •Дифференциал
- •Дифференциальное уравнение Бернулли
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
- •Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
- •Дифференциальный бином
- •Дифференцирование
- •Дифференцируемая функция
- •Дифференцируемость функции двух переменных
- •Единичная матрица
- •Задача Коши
- •Знакочередующийся ряд
- •Изокванты
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегральная кривая дифференциального уравнения
- •Интегральная кривая
- •Интегральная сумма
- •Интегрирование дифференциального уравнения
- •Интервал монотонности
- •Интервал сходимости
- •Касательная
- •Квадратная матрица
- •Классификация точек разрыва
- •Крамера метод и формулы
- •Кривые безразличия
- •Критическая точка
- •Левый предел
- •Линейное дифференциальное уравнение
- •Линии первого порядка
- •Линии уровня
- •Линия на плоскости
- •Логарифмическая производная
- •Локальные минимум и максимум функции двух переменных
- •Локальный максимум
- •Локальный минимум
- •Локальный экстремум функции двух переменных
- •Локальный экстремум
- •Матрица прямых затрат
- •Матрицы
- •Матричная форма системы линейных уравнений
- •Матричные уравнения
- •Матричный метод решения системы линейных уравнений
- •Минор матрицы
- •Минор элемента матрицы
- •Многочлен Тейлора
- •Многочлен от квадратной матрицы
- •Монотонная последовательность
- •Монотонная функция
- •Наклонная асимптота
- •Направление
- •Направляющие косинусы
- •Невырожденная и вырожденные матрицы
- •Неограниченная последовательность
- •Неограниченная функция
- •Неопределенный интеграл
- •Неправильная рациональная функция
- •Непрерывная в области функция
- •Непрерывная на отрезке функция
- •Непрерывность функции двух переменных по одной из переменных
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Непрерывность функции на языке приращений
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функций двух переменных на языке приращений
- •Непрерывные справа и слева функции
- •Несобственный интеграл второго рода
- •Несобственный интеграл первого рода
- •Неэлементарные функции
- •Неявная функция
- •Нормаль
- •Нулевая матрица
- •Нулевое решение однородной системы линейных уравнений
- •Область сходимости
- •Обратная матрица
- •Обратная функция
- •Общее решение дифференциального уравнения
- •Общее уравнение прямой
- •Общий интеграл
- •Ограниченная последовательность
- •Ограниченная функция
- •Одноресурсная производственная функция
- •Однородная функция
- •Однородное дифференциальное уравнение
- •Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
- •Однородные функции
- •Односторонние пределы на бесконечности
- •Односторонние пределы
- •Окрестность точки на плоскости
- •Окрестность точки
- •Окружность
- •Определённая и неопределённая системы
- •Определенный интеграл
- •Определители второго порядка
- •Определители первого порядка
- •Определители третьего порядка
- •Определитель произвольного порядка
- •Оси гиперболы
- •Оси эллипса
- •Основная матрица системы
- •Основной прямоугольник гиперболы
- •Особое решение дифференциального уравнения
- •Остаток числового ряда
- •Остаточный член в форме Лагранжа
- •Ось параболы
- •Парабола
- •Параметр параболы
- •Первообразная
- •Первый замечательный предел
- •Перестановочные матрицы
- •Периодическая функция
- •Полное приращение функции
- •Полуоси гиперболы
- •Полуоси эллипса
- •Последовательность числовая
- •Постоянная последовательность
- •Постоянная функция
- •Правильная рациональная функция
- •Правый предел
- •Предел последовательности
- •Предел функции двух переменных на языке окрестностей
- •Предел функции двух переменных по Гейне
- •Предел функции двух переменных по Коши
- •Предел функции на бесконечности
- •Предел функции на языке окрестностей
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Предельная производительность труда
- •Предельная фондоотдача
- •Предельные полезности
- •Приращение аргумента и функции
- •Приращение функции по направлению
- •Присоединённая матрица
- •Произведение матриц
- •Произведение матрицы на число
- •Производная второго порядка
- •Производная по направлению
- •Производная
- •Производственная функция Кобба — Дугласа
- •Производственная функция
- •Простейшие рациональные дроби
- •Противоположная матрица
- •Равенство матриц
- •Равнобочная гипербола
- •Равномерно сходящийся функциональный ряд
- •Радиус сходимости
- •Разность матриц
- •Ранг матрицы
- •Расширенная матрица системы
- •Рациональные функции
- •Решение дифференциального уравнения
- •Решение системы уравнений
- •Ряд матрицы
- •Система линейных уравнений
- •Сложная функция
- •Смешанные производные
- •Совместные и несовместные системы уравнений
- •Согласованные матрицы
- •Соотношения баланса
- •Сопряженные гиперболы
- •Стационарная точка
- •Стационарные точки функции двух переменных
- •Степенной ряд
- •Степень квадратной матрицы
- •Строго возрастающая и строго убывающая последовательности
- •Строго возрастающие и строго убывающие функции
- •Строго монотонная последовательность
- •Строго монотонная функция
- •Ступенчатая матрица
- •Сумма матриц
- •Сходимость в точке
- •Сходящаяся и расходящаяся последовательности
- •Сходящийся несобственный интеграл
- •Сходящийся числовой ряд
- •Таблица эквивалентностей
- •Точка безубыточности
- •Точка перегиба
- •Точка разрыва функции двух переменных
- •Точка рыночного равновесия
- •Точка спроса
- •Точки локального условного максимума и минимума
- •Точки разрыва
- •Транспонированная матрица
- •Треугольная матрица
- •Угловой коэффициент прямой
- •Угол между прямыми
- •Угол наклона прямой
- •Уравнение линии
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение, записанное в дифференциалах
- •Уравнение, разрешенное относительно производной
- •Условно сходящийся ряд
- •Условный экстремум
- •Фокальные радиусы гиперболы
- •Фокальные радиусы эллипса
- •Фокальный радиус параболы
- •Фокус параболы
- •Фокусы гиперболы
- •Фокусы эллипса
- •Формула Маклорена
- •Формула Тейлора
- •Функции спроса и предложения
- •Функциональный ряд
- •Функция Лагранжа
- •Функция выручки
- •Функция двух переменных
- •Функция издержек
- •Функция полезности двух товаров
- •Функция полезности
- •Функция прибыли
- •Функция спроса на товары
- •Функция
- •Центр гиперболы
- •Центр эллипса
- •Частичная сумма ряда
- •Частное и общее решения системы уравнений
- •Частное приращение функции
- •Частное решение дифференциального уравнения
- •Частные производные второго порядка
- •Частные производные
- •Четные и нечетные функции
- •Числовая функция
- •Числовой ряд
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Эквивалентные матрицы
- •Эквивалентные системы уравнений
- •Эксцентриситет гиперболы
- •Эксцентриситет эллипса
- •Эластичность функции двух переменных
- •Эластичность
- •Элементарные преобразования
- •Элементарные функции
- •Элементы матрицы
- •Эллипс
- •Эпсилон-окрестность на плоскости
- •Доказательства теорем
- •Часть II. Задачи
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Общие задачи
- •1.1.2. Экономика
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Общие задачи
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Общие задачи
- •2.2.2. Экономика
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.4. Непрерывные функции
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.3. Определенный интеграл
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Общие задачи
- •5.1.2. Экономический профиль
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Общие задачи
- •5.2.2. Экономический профиль
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Решения и указания
- •Ответы к задачам
- •Часть III. Тесты
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательности
- •2.2. Предел, непрерывность точки разрыва функции одной переменной
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Дифференцирование функций одной переменной
- •3.2. Исследование функции одной переменной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределённый интеграл
- •4.2. Определённый интеграл с приложениями
- •Глава 5. Функции двух переменных
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1. Элементарные дифференциальные уравнения
- •6.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные и степенные ряды
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы, определители, обратная матрица, системы уравнений
- •8.2. Векторная алгебра
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.4. Частные производные |
Назад Вперёд |
5.1.4. Частные производные
Геометрический смысл частных производных
Определение. Рассмотрим функцию двух переменных = ( , ), определенную в некоторой окрестности точки 0( 0, 0). Зафиксировав переменную = 0, получим функцию одной переменной ( ) = ( , 0). Если функция ( ) дифференцируема в точке = 0, то есть существует конечный предел
lim |
( 0 + |
) − ( 0) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 |
+ |
, 0) − ( 0, 0) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
= lim |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то этот предел называется частной производной функции |
= ( , ) по |
|||||||||||||||||||||||||
переменной в точке 0 и обозначается как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∂ |
( |
|
, |
|
), |
|
∂ |
( |
|
, |
|
), |
′ ( |
|
, |
|
), |
′( |
|
, |
|
). |
|
|
|
|
∂ |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналогично определяется частная производная по переменной :
∂∂ ( 0, 0) = ∂∂ ( 0, 0) = ′ ( 0, 0) = ′( 0, 0) =
= lim |
|
= |
lim |
( 0, 0 + |
) − ( 0, 0) |
. |
|
|
|
||||
→0 |
|
→0 |
|
|||
Замечание 5.3. Из определения следует, что частную производную функции двух переменных следует вычислять как обычную производную функции одной переменной, считая вторую переменную постоянной.
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.4. Частные производные |
Назад Вперёд |
Пример 5.10. Найти частные производные функции
= 3 2 + 2 ln + .
Решение. При нахождении частной производной функции по считаем переменную постоянной:
∂∂ = 3 2 2 + 2 ln + −1.
Вычисляя производную по , считаем постоянной переменную :
∂∂ = 2 3 + 2 + ln .
Геометрический смысл частных производных
На поверхности, являющейся графиком функции = ( , ), выберем точку0( 0, 0, 0) (смотрите рисунок 5.6). Построим сечение этой поверхности плоскостью = 0, параллельной координатной плоскости . Получим плоскую кривую, задаваемую уравнениями
= 0, = ( ) = ( , 0).
Производная ′( 0) функции одной переменной ( ) равна угловому коэффициенту касательной к этой кривой. Но по определению частных производных также верно равенство ′( 0) = ( 0, 0).
Итак, если — угол между осью и касательной, проведенной к
кривой = ( , 0) в точке 0( 0, 0, 0), то ( 0, 0) = tg . Аналогично,( 0, 0) = tg , где — угол между осью и касательной, проведенной к
кривой = ( 0, ) в точке 0. В этом и заключается геометрический смысл частных производных.
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.4. Частные производные |
Назад Вперёд |
z 
z0 z = f (x, y)
b P0
Oy0
x0 
y
α
x
Рисунок 5.6
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]