Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.5. Элементарные функции |
Назад Вперёд |
2.2.5. Элементарные функции
Значительную роль в математике и ее приложениях играет небольшой набор функций, которые принято называть основными элементарными функциями. Перечислим их.
1.Простейшей является постоянная функция = .
2.Степенная функция имеет вид = , где R. Примеры степенных функций с различными показателями приведены на рисунках 2.12–2.17.
|
y |
|
y |
|
y = x3 |
|
|
|
|
1 |
|
y = x2 |
O 1 |
x |
|
||
1 |
|
|
O 1 |
x |
|
Рисунок 2.12 |
Рисунок 2.13 |
|
3.Показательная функция имеет вид = , где > 0 и ̸= 1. На рисунках 2.18 и 2.19 представлен график показательной функции в случаях, когда > 1 и когда 0 < < 1.
4.Логарифмическая функция = log задана для > 0, ̸= 1. Ее графики для случаев > 1 и 0 < < 1 изображены на рисунках 2.20 и 2.21.
5.Тригонометрические функции = sin (синус, рисунок 2.22), = cos
(косинус, рисунок 2.23), = tg (тангенс, рисунок 2.24) и = ctg (котангенс, рисунок 2.25) являются периодическими.
|
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
|
|
|||
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
|
|
|
||
Меню |
2.2.5. Элементарные функции |
|
|
Назад |
Вперёд |
||
|
y |
|
|
y |
y |
= x1/3 |
|
|
y = x1/2 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
O |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
O |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.14 |
|
Рисунок 2.15 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
y = x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
|
|
|
Рисунок 2.16 |
Рисунок 2.17 |
|
|
||
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y = ax |
|
y = ax |
|
|
|
|
|
(a > 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
(0 < a < 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
O |
|
x |
|
|
|
Рисунок 2.18 |
Рисунок 2.19 |
|
|
||
|
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Меню |
2.2.5. Элементарные функции |
|
|
|
|
|
|
|
Назад |
Вперёд |
|||
|
y |
y = loga x (a > 1) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
O |
1 |
|
|
x |
|
O |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = loga x (0 < a < 1) |
|
||||
|
|
Рисунок 2.20 |
|
|
|
|
Рисунок 2.21 |
|
|
|
|||
|
|
y |
|
y = sin x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−π |
|
O |
π |
π |
x |
−π |
π |
O |
|
|
x |
|
|
−1 |
|
2 |
|
|
− 2 |
−1 |
y = cos x |
|
||||
|
|
Рисунок 2.22 |
|
|
|
|
Рисунок 2.23 |
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
π |
|
x |
|
π |
|
π |
π |
|
x |
|
− 2 |
|
2 |
|
− |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
y = tg x |
y = ctg x |
Рисунок 2.24 |
Рисунок 2.25 |
|
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
|
|
|
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
|
|
|
Меню |
2.2.5. Элементарные функции |
|
|
|
Назад Вперёд |
|
|
|
|
|
|
6. |
Обратные тригонометрические |
функции |
= arcsin |
|
(арксинус), |
|
= arccos (арккосинус), = |
arctg (арктангенс) и |
|
= arcctg |
|
|
(арккотангенс) представлены на рисунках 2.26, 2.27, 2.28 |
и 2.29. |
|||
y |
|
|
|
π |
|
y = arcsin x |
|
2 |
|
|
|
−1 |
O 1 |
x |
|
|
|||
|
−π2 |
|
|
|
Рисунок 2.26 |
|
|
|
y |
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
y = arctg x |
|
|
|
||
|
|
O |
x |
|
|
−π2 |
|
Рисунок 2.28 |
|
||
|
y |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
y |
= arccos x |
|
|
|
|
||
|
O |
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
x |
|
|
|
||
|
|
Рисунок 2.27 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
y = arcctg x |
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
|
|
|
Рисунок 2.29 |
|
|
Определение. Функция, составленная из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и супепозиции, называется элементарной функцией.
Следующие функции являются элементарными:
= − arctg , |
= |
, |
= √1 − 2, |
= 2− |
. |
||
|
|
sin |
|
|
|
2 |
|
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.5. Элементарные функции |
Назад Вперёд |
Определение. Простейшими элементарными функциями являются целая рациональная функция, или алгебраический многочлен
( ) = |
+ |
−1 + −2 + . . . + |
−2 |
2 + |
−1 |
+ |
, |
|
Z+ |
, |
|||
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
а также дробная рациональная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) = |
0 + 1 −1 + . . . + −1 + |
, |
, Z+. |
|
|
||||||||
0 + 1 −1 + . . . + |
− |
1 + |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество целых и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.
Определение. Функции, не являющиеся элементарными, называются неэлементарными.
В качестве характерных примеров отметим неэлементарные функции= | | и = sign (см. рисунок 2.6).
В данном курсе мы сосредоточим внимание преимущественно на элементарных функциях.