1.1.4.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки 1( 1; 1) и 2( 2; 2). Приняв в (1.6) точку( ; ) за 2( 2; 2), получим: 2 − 1 = ( 2 − 1). Таким образом, если2 ̸= 1, то для прямой, проходящей через точки 1 и 2, угловой коэффи-

циент

Подставляя вычисленное значение в уравнение (1.6), получаем искомое

уравнение прямой:

2 − 1− 1 = 2 − 1 ( − 1).

Это уравнение, если 2 ̸= 1, можно записать в виде

Если 1 = 2, то уравнение искомой прямой имеет вид = 1. Такая прямая параллельна оси . Если 1 = 2, то прямая, проходящая через точки 1 и 2, параллельна оси . Eе уравнение имеет вид = 1.

1.1.5. Общее уравнение прямой

Теорема 1.1. В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени

И обратно, уравнение (1.9) при произвольных коэффициентах , , (

и одновременно не равны нулю) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат . [Доказательство]

Определение. Линии вида (1.9) называются линиями первого порядка.

Определение. Уравнение вида + + = 0 называется общим уравнением прямой, или полным уравнением прямой. При различных значениях ,

, оно определяет всевозможные прямые.

1.1.6.Неполные уравнения первой степени. Уравнение прямой «в отрезках»

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение + + = 0 является неполным, т.е. один из коэффициентов равен нулю:

1)= 0; уравнение имеет вид + = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2)= 0 ( ̸= 0); уравнение имеет вид + = 0 и определяет прямую, параллельную оси . В частности, уравнение = 0 определяет ось ординат;

3)= 0 ( ̸= 0); уравнение имеет вид + = 0 и определяет прямую, параллельную оси . В частности, уравнение = 0 определяет ось абсцисс.

Рассмотрим теперь уравнение + + = 0 при условии, что ни один из коэффициентов , , не равен нулю. Преобразуем его к виду:

Вводя обозначения = − , = − , получаем

Определение. Уравнение (1.10) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа и являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

Пример 1.6. Прямая задана уравнением 2 −3 +6 = 0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.

Решение. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид:

y

M2

b = 2

Рисунок 1.7