172 |
Дж. Паркер |
ной и той же не имеющей ослабления геометрической форме, чтобы можно было непосредственно сравнивать скорректированные интенсив ности.
6.6.3Двухмерная модель
Âдругой общепринятой геометрии анализа детектор просматривает цилиндрический образец с боковой стороны (рис. 6.8). Если высота (длина) образца меньше его диаметра и расстояние от детектора до центра образца по крайней мере в несколько раз больше диаметра образца, то для расчета величины коэффициента CF(AT) может использоваться простая двухмерная модель. Модель представляет собой точечный детектор, находящийся на расстоянии D от центра круглого образца радиуса R (рис. 6.9). Эффективность детектора постоянна для гамма-квантов, выходящих из любой точки в пределах объема образца. Коэффициент поправки относительно образца без ослабления, может быть записан в виде
CF(AT) |
|
|
(π / 2) ln[1 − R 2 |
/ D2 ] |
|
|
|
|
|
|
. |
(6.15) |
|
∑M |
∑N |
{exp[−µlt(m, n)] |
A(n) / L2 (n, m)} |
|||
|
m=1 |
n=1 |
|
|
|
|
Ðèñ. 6.8. Типичная геометрия анализа, для которой обычно приемлема двухмерная модель расчета значения коэффициента CF(AT)
Вывод этого выражения приведен в работе [2]. Отношение коэффициента CF(AT), рассчитанного для образца без ослабления, к коэффициенту CF(AT), рассчитанному для точки, в которой нет ослабления, равно –(D2/R2) ln(1–R2/D2). Для постоянной величины Т коэффициент CF(AT) является только функцией отношения D/R. На рис. 6.10 приведен график коэффициента CF(AT) в зависимости от D/R для нескольких значений Т. Существенным моментом является то, что коэффициент CF(AT) медленно снижается при уменьшении отношения D/R; большие изменения проявляются при небольших значениях величины Т. Такое поведение является следствием закона обратной квадратичной зависимости. Для заданной величины Т коэффициент CF(AT) асимптотически приближается к максимуму, когда отношение D/R стремится к бесконечности. Отклонения от случая больших расстояний (D/R=∞) представлены на рис. 6.11. Для Т > 0,001 и D/R > 50 все отклонения не превышают 1 %. Поэтому D/R ≥ 50 может считаться
Глава 6. Процедуры учета ослабления |
173 |
Ðèñ. 6.9. Двухмерная модель для расчета коэффициента CF(AT). На рисунке показаны расстояния, которые должны быть определены, и переменные, чер ез которые они выражаются. Следует заметить, что 0 £ a £ p, b £ p/2 и 0 £ g £ p
случаем дальней геометрии. Изменение коэффициента CF(AT) в зависимости от Т намного сильнее, чем от отношения D/R.
Результаты, представленные на рис. 6.10 и рис. 6.11, были получены с помощью компьютера при значениях М=200 и N=200, для которых все значения в пределах 0,1 % согласуются с величинами, которые дали бы действительные интегралы. Общее число рассчитанных элементов площади составило 40000, а требуемое время на определение каждой величины — около 2 мин. Время, необходимое для точного определения поправочного коэффициента, во многом зависит от вычислительной аппаратуры и используемого языка программирования. При двухмерном численном интегрировании результаты с высокой точностью могут быть получены за время около 1 мин. Для трехмерной модели, если третья размерность также задается с помощью 200 интервалов, требуемое время для выполнения интегрирования увеличивается до сотен минут.
6.6.4Трехмерная модель
Âкачестве заключительной модели геометрии анализа рассмотрим пример сегментированного анализа цилиндрических образцов. В этом случае (рис. 6.12) детектор просматривает образец через горизонтальный коллиматор, который выделяет сегменты образца, которые просматриваются индивидуально. Образец обычно располагается настолько близко к коллиматору, насколько это возможно. Детектор часто представляет собой круглый цилиндр из германия диаметром 5,0 см и длиной 5,0 см. В этом случае необходимо точно учитывать эффекты обратной квадратичной зависимости, обусловленные коллиматором. Двухмерная модель в этом случае неприменима.
174 |
Дж. Паркер |
Ðèñ. 6.10. Рассчитанные по двухмерной модели коэффициенты поправк и относительно образца, не имеющего ослабления. Они изображены графически в зависимости от отношения D/R для различных значений коэффициента пропуск ания Т.
D — расстояние от центра цилиндрического образца до точеч ного детектора, R — радиус образца
Модель состоит из идеального коллиматора (исключающего утечки) и вертикального линейного детектора, центр которого расположен с задней стороны коллиматора. Предполагается, что эффективность детектора не зависит от местоположения источника или угла, под которым гамма-кванты попадают в детектор. Расстояние от излучающего элемента до детектора увеличивается на постоянную величину, приблизительно равную средней глубине взаимодействия в детекторе. Поскольку материалы часто упаковываются в металлические контейнеры, которые существенно ослабляют испускаемое гамма-излучение, то упаковка также включена в модель. Получение трехмерной модели выходит за рамки настоящей книги; этот вопрос подробно рассматривается в работе [2].
6.6.5 Приближенные формулы и интерполяция
Наиболее точным способом расчета коэффициента CF(AT) для приемлемых геометрий образцов является использование простой математической модели и численного интегрирования. Однако, ввиду длительных временных затрат на выполнение расчетов, часто требуется выполнить расчеты коэффициента CF(AT) всего для нескольких значений величины Т (или l ) и использовать процедуру интерполяции для нахождения значения коэффициента CF(AT) при промежуточных значениях. К проблеме интерполяции можно подойти несколькими способами.
Глава 6. Процедуры учета ослабления |
175 |
Ðèñ. 6.11. Зависимость отклонения значений коэффициента CF(AT) для бли жней геометрии от значений коэффициента для дальней геометри и в зависимости от коэффициента пропускания при различных значениях отнош ения D/R
Ðèñ. 6.12. Типичный случай сегментного анализа образца, для которог о пригодна трехмерная модель расчета коэффициента CF(AT)
176 |
Дж. Паркер |
Так как коэффициент CF(AT) имеет приближенную логарифмическую зависимость log(T) (см. рис. 6.3), то целесообразно использовать функцию подгонки в виде
CF(AT) = A + B log(T) + C[log(T)]2 . |
(6.16) |
Для расчетов требуется, чтобы для каждой геометрии образца в памяти компьютера хранились постоянные А, В и С. Эта схема работает очень хорошо в широком диапазоне значений Т. При типичном случае сегментного сканирования могут определяться постоянные А, В и С, чтобы дать значения коэффициента CF(AT) с погрешностью не более 0,3 % в диапазоне 0,008 < T < 0,30.
Наиболее простая схема основана на формуле для коэффициента CF(AT) в дальней геометрии для образца в форме пластины: -ln(T)/(1-T). Учитывая, что круг не сильно отличается от квадрата (см. рис. 6.3), можно перейти к выражению
CF(AT) − ln(Tk ) , |
(6.17) |
(1 − Tk ) |
|
для k < 1 в качестве приближенной функции для цилиндрических образцов даже в случае ближней геометрии. Эта формула также имеет логарифмическую зависимость ln(T) для Т K1 и содержит только одну постоянную, которая должна быть определена. На рис. 6.13 и рис. 6.14 показано, насколько точной может быть приближенная формула. На рис. 6.13 приведено относительное отклонение уравнения (6.17) от точных значений для дальней геометрии для цилиндра (уравнение (6.11)) в зависимости от T и k. На рис. 6.14 сравниваются приближенные и точные значения при анализе образца цилиндрической формы в случае малого расстояния от образца до детектора, когда D/R=5/1. На рис. 6.13 для k=0,82 даны значения коэффициента CF(AT) с погрешностью до ± 0,01 % для 0,01 < T < 1,0, а на рис. 6.14 для k=0,75 даны значения коэффициента CF(AT) с погрешностью до
± 1,5 % äëÿ 0,01 < T < 1,0.
Ðèñ. 6.13. Отклонения значений коэффициента CF(AT), рассчитанных по при ближенному выражению CF(AT)= -k ln T/(1-Tk), от значений этого коэффициента при дальней геометрии для цилиндра при нескольких значениях парамет ра k