Часть II. Элеатовский период 391

альной бесконечности и раскрывает свою точку зрения следующим образом. «Совокупности или классы можно задавать двояко: по объему и по содержанию. Первый способ состоит в прямом перечислении всех членов класса, второй — в указании общего им признака... Две совокупности называются равномощными, если между их элементами возможно установить одно однозначное соотношение, так что каждому элементу одной совокупности отвечает один и только один элемент другой... Одна совокупность является частью другой, если любой элемент первой входит в состав второй, причем эта последняя содержит элементы, не принадлежащие первой». Далее автор доказывает, что существуют совокупности, равномощные с одной из своих частей; это и есть актуальнD.бесконечные совокупности. Такой актуальнD.бесконечный класс нельзя задать по объему (ибо он был бы конечным, если бы можно было перечислить все его члены). Доказав существование актуальнD.бесконечных совокупностей, автор далее указывает, как разрешаются апории Зенона при свете учения об актуальной бесконечности. Попутно он выясняет тесную связь математических антиномий Канта с апориями Зенона, примыкая в оценке этого учения Канта к Гегелю («антиномии Канта не идут дальше того, что в этой области сделал уже Зенон») и Салингеру (Salinger. Kants Antinomien und Zenons Beweise gegen die Bewegung в Archiv f. Gesch. d. Phil., Bd. 19). Исключая явно неверные утверждения Зенона (как, например, что «вполне определенная совокупность должна быть конечной»), аргументы Зенона против множественности решаются с точки зрения учения об актуальной бесконечности благодаря введению нового понятия о контину-

392 Досократики

уме («протяженная величина, обладающая бесконечной делимостью, слагается из отдельных неделимых элементов»). Особенно подробно автор останавливается на аргументах Зенона против движения. Ошибку «стрелы» он видит в незнании Зеноном того, что «из отдельных вполне определенных положений возникает движение, которого предикатом является именно непрерывная перемена места» (автор исходит из «статической» теории движения: «в движении, — говорит он, — мы видим только установление известного непрерывного соответствия между моментами времени и точками пространства»). Что касается «стадия», то «при одном понимании он содержит явную ошибку, при другом — борется с явно ошибочным утверждением». При первом понимании ошибка аргумента в применении различных способов в измерении пройденного пути; при втором понимании (Таннери) «Зенон в сущности борется с допущением в пространственных и временных континуумах элементов, непосредственно следующих за данными. Такое допущение с современной точки зрения совершенно ошибочно, так как задолго до полного анализа понятия континуума ему уже приписывали свойство, по которому между каждыми двумя его элементами имеются еще элементы, так что нельзя говорить об элементе, непосредственно следующем за данным». Разрешение «дихотомии» — в возможности существования ряда, не имеющего первого члена. Понятие об актуальнD.бесконечных совокупностях доказывает законность рядов, не имеющих начала («отсутствие первого члена в так называемом открытом ряду содержало бы в себе противоречие лишь в случае конечного числа членов»). Если «дихотомия» основана на осD.