Часть I. Доэлеатовский период 143

геометрическое и гармоническое среднее вошли в современную математику под названием непрерывных пропорций (арифметическая непрерывная пропорция а-c=cЧb, геометрическая а:с=с:b, и гармоническая (а-b):(b-с)=а:с; таким образом, среднее арифметическое двух величин равно

, среднее геометрическое и среднее гармоническое . Из пифагорейской же школы

вышла Пифагорова таблица умножения, вписанная в четырехугольник. Размышления над основами математического счета привели пифагорейцев к поклонению священной декаде. Все остальные числа суть для них простые повторения первых десяти. Декаду они отождествляли с четверкой, так как сумма первых четырех цифр равна 10. Священными числами считались по преимуществу единица, как первоначало чисел, троица, так как истинное единство представлялось им триединством, четверица, как заключающая в себе тайну декады, и, наконец, сама десятка. Впоследствии мистика чисел у пифагорейцев сильно развилась. Переходя к пифагорейской геометрии, прежде всего отметим применение ими числа к пространству. Элементы пространства и геометрические фигуры они сводят к числам. Так, точка есть пространственная единица, линия — пространственное 2, поверхность 3, тело 4. К пифагорейским открытиям в геометрии принадлежит прежде всего так наз. Пифагорова теорема (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Другая теорема, открытая Пифагором, говорит о сумме углов в треугольнике

144 Досократики

(=2d). Вообще содержание двух первых книг «Элементов Эвклида» — собственность пифагорейской школы. Сам Пифагор открыл несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной1. В стереометрии пифагорейцы первые открыли 5 правильных геометрических тел: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

По Эвдему, Пифагор первый сделал геометрию подлинной наукой. И мы полагаем, что именно его, а не Фалеса, следует считать основателем дедуктивной геометрии. Впервые у Пифагора математика из практического искусства становится чистой наукой2.

Наконец, Пифагор полагает начало математическому естествознанию. Он создает математическую акустику (а именно, тот отдел ее, который назывался каноникой или гармоникой, т. е. учение о музыкальных интервалах) и теоретическую астрономию (сферику, т. е. начала небесной механики). Он открывает математическую закономерность, с одной стороны, в музыке3, с другой, в обращении небесных светил и, исходя отсюда, постулирует существование такой же математической закономерности во всех явлениях. И не только физические и метафизические, но также социальные, этические и теологически понятия получают математическую окраску. «Все есть число» становится основоположением пифагорейского мировоззрения и универсальным методом их научных построении. Но так как поставленная ими

1 Отсюда вышло учение об иррациональных величинах.

2 Поэтому Н. Hankel (Zur Geschichte d. Mathematik in Alterthum u. Mittelater, 1874, стр. 92) называет Пифагора «отцом математики».

3 А именно он открыл зависимость высоты тона от длины колеблющейся струны.