§ 7. Ряды в комплексной области

г, + г2 + ... + г„+ ...=

2

г«>

(1)

где zn ==*„ + iyn.

п — 1

тогда и только тогда,

когда сходится

как

ряд

Ряд (1)

сходится

со

*1+ *2+ *" + *Л"К“ =

2

^

так и ряд

п = 1

со

У \-\гУ гЛ ~ ■ ■ •-\-У п -3г

■ • • =

2

УЯ-

^

Я=1

Ряд

(1)

называется абсолютно

сходящимся,

если сходится

ряд

с»

,| 21! +

Z2 + • • • +

Z/l

+ ••• =

2

Zn

= 1

Ряды

(2), (3), (4)

являются

рядами

с действительными

членами,

Каждый из этих

рядов сходится

абсолютно. Следовательно, данный

ряд сходится абсолютно.

П р и м е р 2.

Исследовать на сходимость ряд

Р е ш е н и е .

Имеем

л= 1

п

я

,

. . я

е п

* cos —

sin —,

Л ч*

л

„

Я

_

. я

"

cos -

°°

sin -

Ряд

^

~ 1 Г

РасХодигся» а Ряд 2

~ИГ сходитсяСледова-

п= 1

/1= 1

тельно,

данный

ряд расходится.

193.

^L1 sh i

п

194.

У

In Л

sin М

^

I

sh *л

п =

~

. Я-

“

ch ('

-

195.

У

-TST-

,96*

^

У

т-2 —-■

^

„1|1Л

tginn

п = I

/1= 1

С т е п е н н о й р я д

Ряд вида

со

C0 “iL ' l ? + c2Z2

- \ - CnZn

2

®

/1 = 0

где с0, ct и т. д .—комплексные

постоянные, « 2—комплексная пере­

менная, называется степенным рядом в комплексной области.

Т е о р е м а

А б е л я .

Если степенной

ряд (5) сходится при неко­

тором значении z = z0, то

он

сходится

и

притом абсолютно при

всех значениях z, для которых

\ z | <

|г„ |.

Если ряд (5) расходится

при z = zv

то он

расходится и при

любом значении z,

для которого

I г I > I г, |.

ряда

(5)

есть

круг с центром в црчале

Область сходимости

координат.

сходимости степенного

ряда

определяется

по формулам

Радиус

R =

lim

if ." .!

(cn Ф 9)

(6)

rt

оо I Сл + 1

1

ИЛИ

о

1

(7)

# =

пт —------,

п -*со/Т Г п1

если указанные

пределы существуют.

сходимости степенного

ряда

П р и м е р

3.

Определить

радиус

2 cos in • zn.

л ==0

Р е ш е н и е .

Имеем

£—П_J_ g/l

= ch п.

сп= cos in = ---- -—

R =

lim

! ch п 1

lim

ch n

n oo Jch (n 4" 1) I

n — oo ch {n-f* 1)

=

lim

ch n

n -+oo ch n • ch 1+

sh n • sh 1

=

lim

ch 1 + sh 1

так

как

n —oo ch 1-f- th n • sh 1

lim

th n =

lim

g ± . r " „

lim

1—<г2л

>en —e-n

Итак, радиус сходимости данного степенного ряда

R — e~\

П р и м е р 4.

Найти

радиус сходимости степенного ряда

оо

2 ( 1 + о в*я.

п = О

Р е ш е н и е .

Находим модуль коэффициента cn = (\-\-i)n:

\Сп 1=

1(1 + ‘)п ! = I 1+«

;»= (У 2 )" =

2«/*.

R = lim - 1

— — .

Л-ОО уГ2П12

у 2

197. ^ ё "г'1•

198. 2 е‘п гп•

П= 1

In (1 + * ) - * - |

+

|

- . . .

+

( -

l)»-1 J

+

. .. ( * =

1).

(10)

( 1 + г )а = 1 - |- а г +

^ р ! 1 г а

+ а((Ж~ з } (- ~ 2 )гз + ...

. .. +

“ (” - * )

"п/ а + ” ~

1)гП + —

(К = 1 ).

(Ч)

В частности,

при а = — 1 получим

^ 1 - =

1 _ г +

2г _ .. . + ( _

1)«г« + ...

(Д = 1).

(12)

Формула (10) дает

разложение в ряд Тейлора в окрестности точки

2 = 0 главного значения логарифма;

чтобы получить

ряд Тейлора для

других значений многозначной функции Ln (1 +

г), следует к ряду (10)

прибавлять числа

2пл1, п = ±

1,

:£ 2,

Ln (1 + г ) = г ~

\ +

гъ — •

• +

2пш.

П р и м е р

5.

Разложить

в ряд

Тейлора

в

окрестности

точки

г0 = 0 функцию

^ (г) =

г2 — 2z —3 ’

используя разложение (12), и найти радиус сходимости

ряда.

дроби

Р е ш е н и е .

Разложим данную

функцию

на

простейшие

1

1

1

г2 — 2г — 3 ’ 4 z + 1 * 4 г - 3 *

Преобразуем правую часть следующим образом:

г /

\

1

1

1

1

^

4

1+ s

4

I -

3

Используя разложение (12) функции

1+г>

получим

( | + } + £ +

. . ) -

4

, 8 „

28 „ .

\

г

. 2 ч

7

.

■т(- 3 2*+ 9 Q 2 -

0 7 г + . . - J

з + 3 2 2-

з э 2 + • • •

Ближайшей

к точке

zo = 0 особой

точкой

данной функции

явля­

й ся ^ точка 2 = — 1. Поэтому

радиус

сходимости

полученного ряда

П р и м е р

6.

Разложить

по

степеням

разности

z —3 функцию