точки Zi —0 и г2 = 1 + г,

б) отрезок

прямой, соединяющий

этй

же

точки.

151.

$cos zjiz,

С: отрезок прямой, соединяющий точки

с

=

у

и г2 = я

i.

152.

(*

'dz

\ ■—rrr-, С: а) верхняя половина окружности |г| = 1;

с

2

выбирается

та ветвь функции ]/г, для которой | / 1 = 1 ;

-б) | г | =

1,

Re г 5:0;

=

- / ) .

153.

\

| С: верхняя

половина окружности \z\=\\

J

i z:*

_

берется

с

ветвь

функции

та

w = yrz39 для которой у 1 = 1.

154.

2t

22

155.

I

j

(2з _ г) е~2

J z cos 2 dz.

1-f i

t

\{z-i)e-*dz,

1 5 6 .

\ z sin zdz.

157.

l

1пД.~\ ~~dz по дуге окружности \ z\ = 1, Im z^O ,

158.

^

162.

^

со1—

по

прям ой, соединяю щ ей точки

Zj— — 1

J

У sin г

и z3 =

i;

вы бираем

ту

ветвь

ф ункции

] / s in z ,

д л я

которой

] / s i n

(— 1 ) = »•■)/ s i n l .

163.

\

Re (s in z ) cos z d z ,

C: | I m z | = s S l ,

R e z = +

c

164.

$ z l m ( z 2) dz,

C: | I m z | ^ l ,

R e z =

l .

c

i

f (г) dz

(г0 f

О),

(1)

г — г0

щается в нуль в точке

г0 = — 1. Для применения

формулы (1)

пере­

пишем интеграл в следующем

виде:

. ch iz

ch iz

ch iz

C

f*

2+ 3

dz.

22 + 4* + 3 tfZ-

)

(2+ 1 ) (2 + з Г

2“

J

г — (—1)

\21=2

|г ;=2

Здесь ZQ= -—1 и функция / (г) = — ^ является аналитической в круге

I 2 I ^ 2.

Поэтому

2 + 0

5

~г* + Аг + 3 dz =

2jI,7 ( - l) - 2 m - ch

l) = я / ch <= ni cos 1.

175.

sh

^-(z +

i)

176.

J

d z.

|г |$= 1

г-— 2г

121—2

Если функция f (г)

аналитична в области

D и на ее границе С,

то для любого

натурального

п имеет место формула

С

Пг)<ь

(2)

' " ' « -

я г

£ (г -г ь )п+1’

где г , е О ,

г е С . Формулой (2) можно пользоваться для вычисления

некоторых

интегралов.

П р и м е р

3.

Вычислить интеграл

sin лг

dz.

i2'1— l)2

1*-||

sm лг

Р е ш е н и е .

Подынтегральная функция

——

является

ана-

литической в области 12 — 1

(г- — \)г

I всюду, кроме точки Z o=l. Выделим

под знаком интеграла

функцию

/(г),

являющуюся

аналитической

в круге | z — 1 [ ^

1. Для этого перепишем подынтегральную функцию

в виде

sin л2

SU1 Я2

(

*

+ 1

)

а

(г2 — 1)’-

(г-1)2

и в качестве f (г)

sin лг

Полагая

в

формуле (2)

п = 1 ,

возьмем

получим

sin лг

- | ± {

| +

г =

2я»/'(1).

! 2 —1. =1

Находим производную

/' (г)=

( 5|ПЯг

л cos лг • (z +

1^— 2 sin лг

(2+1)3

Отсюда

\( г + 1 ) г)':

2л cos л

/'(!) =

4 *

Следовательно,

23

sin лг

! г—1, =1

{z2 - \ y 2 dZ-

2

^

П р и м е р

4.

Вычислить

интеграл

С

ch 2 dz

(z+

I)3 (г — 1) *

Р е ш е н и е .

П е р в ы й

с п о с о б .

Знаменатель (г +

I)3(z— 1)

подынтегральной функции обращается в нуль в'двух

точках г , = — 1,

z2 =

1, лежащих

внутри круга

| z | ^ 2 .

Разложим

на простейшие

дроби функцию

1

1

1

1

1

1

1

1

1

( z + i p ( z - l ) ~ 8 г — 1

8 z + 1

4. (z + 1)-

'2 ( z + l ) 3#

Используя

линейность

интеграла, получим

f

chz

_

1

ch z dz

1

j

ch г

)

(z + l)3 (z -l) Z~~ 8

z — 1

8

T+T dz —

| 2| — 2

1-2 1=2

1

(*

ch z

1

Г

ch z

dz.

4 J

V + W

2

J 1 F + W

| 2 j = 2

I 21=2

К

первым

двум

интегралам

применяем

интегральную

формулу

Коши (1):

С

Z- dz =

2л/ ch 1,

Ui = 2 2

Г

— г т

=

2ni ch 1.

J

2+1

ch z — dz — 2л/ (ch z)'

=— 2л/ sh 1.

(2+1)

k— i

) z i = 2

chz

,

2ni

. ,

•

=

л/ ch 1.

7 ? + - |У а г = " 2 Г (сЬг)

1*1 = 2

Окончательно получим

ch z dz

2 л /ch 1

2 л /ch

I

1

.

1 . . .

(Z + 1 ) 3 (Z_ | )

----- 5------- 1-

. 2л< sh 1—

»

m ch 1=

1*1=2

o

4

Z

sh 1 — ch 1

.

ni

"

2

Ш“

2e

В т о р о й

с п о с о б . Построим,

окружности

Vi и

V2 с центрами

в точках гх = — 1

и z2= l

достаточно малых

радиусов

таких,

чтобы

окружности не пересекались и целиком лежали

в круге

| z }^

2. В

трехсвязной

области,

ограниченной

окружностями |z | = 2,

Vi и Y2»

подынтегральная

функция

всюду аналитична. По теореме Коши для

многосвязной

области

имеем

f

ch z dz

С

ch z dz

?

ch z dz

'

(г+ 1 ):,( г - 0

J

( z + \ y '( z - l )

+ 3 ( 2 +

l):t (*“

0 ‘

1*1 = 2

y t

V.