- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
.ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функ
ция |
f(t) |
действительного |
аргумента /, удовлетворяющая условиям: |
t |
||||||||||||||
|
1°. |
f |
(t) |
интегрируема |
|
на |
|
любом |
конечном |
интервале оси |
||||||||
(локально |
интегрируема). |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2°. Для |
всех отрицательных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( 0 - 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3*. |
! / ( 0 1 |
возрастает |
при |
/-*■-{-оо не |
быстрее |
показательной |
|||||||||||
функции, т. е. существуют такие постоянные М > 0 |
и s, что для всех*/ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ f ( t ) \ ^ M e st. |
|
|
|
|
(О |
|||||
Нижняя |
|
грань |
su всех |
чисел |
s, |
для |
которых |
справедливо неравен |
||||||||||
ство (1), называется показателем |
роста |
функции |
/(/). |
|
|
|||||||||||||
|
П р и м е р |
1 . 'Показать, |
что функция |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
/( 0 = |
J |
е-( sin 3/, |
/ > |
0* |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
0, |
|
|
|
I < |
0, |
|
|
|
|
|||
является |
функцией-оригиналом. |
|
локально |
интегрируема: |
|
|||||||||||||
|
Действительно, функция / (0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[i |
|
sin 3/ dt |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
е |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует |
для любых |
конечных |
|
и /2. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Условие 2е выполнено в силу задания функции. |
|
|
|||||||||||||||
|
Наконец, |
для любых |
вещественных t_ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i е-1sin 3/ |
| |
|
|
|
|
|
|
|||
так |
что |
в |
качестве М в |
|
условии |
3° можно взять любое число ^ |
I» |
|||||||||||
SQ г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
называемая еди |
||
|
Простейшей функцией-оригиналом является |
|||||||||||||||||
ничная функция Хевисайда |
|
( |
1, |
/>о, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, |
|
|
|
" « Н |
|
о, |
t < 0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (/)," / > о , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ф(0 п (0 - { J |
< < о , |
|
|
|
|
||||||||