ражении w = га и длину его границы.

ражении

треугольника,

ограниченного' линиями

х =

О,

у = 0 , х-\-у= 1 , с помощью функции w = l+ iz.

§ 5.

Интегрирование функций комплексного

переменного

Пусть

однозначная функция

f (z) определена и непрерывна

в

области D,

а С —кусочно-гладкая

замкнутая или

незамкнутая ориен­

тированная кривая, лежащая в D.

Пусть

z = x + iij,

f(z) = u + iv,

функции

перемен­

где и = и(х, у), v — v(x,

у) — действительные

J /

(z) dz —J

u dx — v dy-\-i J v dx-{-udy.

(1)

Интеграл

^ f(z)dx, вообще говоря, зависит от пути интегрирования С.

Если

с

области £>,

/ (г) — аналитическая функция в односвязной

то интеграл не

зависит

от пути интегрирования. В

этом случае

j

/ (г) <fc = $([z(0] *'(/)#.

(2)

где

z(t) = x(t) + iy (/).

Если функция / (z) аналитична в односвязной области

D, содер­

жащей точки г0 и

zlt

то имеет место формула Ньютона— Лейбница

5

/(г)* = Ф(г,)-Ф(г0)=Ф (г)|^

(3)

*0

,

Ф '(* ) - /(* )

в области Д.

Если

функции / (г) и ф (z) — аналитические в односвязной

обла­

сти D, а

г0 и zx — произвольные точки этой области, то имеет

место

П р и м е р 4.

Вычислить

интеграл

2+1

[ (3z2 + 2z) dz.

\ - i

Р е ш е н и е .

Так

как

подынтегральная

функция / (г) = 3z2 + 2z

аналитична всюду, то, применяя формулу

Ньютона — Лейбница,

найдем

2-М

5 (Зг2 + 2г) dz =

(г3 +

г2) |* ± ‘ = .

П р и м е р 5.

Вычислить интеграл

i

J г cos z dz.

о

Р е ш е н и е .

Функции f(z) = z и cp(z) = cosz являются аналити­

l

i

i

\zzo szd z = \ z (sin z)' dz = (z sin z) |Q— j sin zdz =

5

о

о

i

1—6

= i sin i + cos z

= — sh 1 + ch 1 — 1 = ——

о

e

О д н о з н а ч н ы е в е т в и м н о г о з н а ч н о й ф у н к ц и и .

Т о ч к и р а з в е т в л е н и я

Пусть

функция

до = /(г ),

аналитическая

в области

D,

отобра­

жает D на область G и такова,

что

обратная

функция г = ср(до) мно­

гозначна в области G. Если

существуют

однозначные,

аналитические

в-области

G функции

г =

<р1(до), г =

<р2(до),

.... для которых

данная

функция

до =

/(г)

является

обратной, то функции фх (до), <р2 (до), ...

называются

однозначными

ветвями

функции

ср (до),

определенными

в области

G.

Например, функция до = гп каждой точке г0 ставит в соответствие

единственную

точку до0,

но

одной и

той

же точке дои(до=^0, до =5^ 00)

функция

z= |/T 5

ставит

в

соответствие п различных

точек

плоско­

сти-^; при этом

если

до = ре*0, то

эти

п

значений

г находятся по

формулам

Z/t —re

k,

где

r = V р,

ф *=

(— л < 0 й £ я ,

* = 0 , 1 , 2 .........п

1),

Пусть

односвязНая область G содержит точку до0, но не содержит

точек

до = 0

и до = оо. Тогда

различным

фиксированным

значениям k

(/г=

0,

1,

2.........п — 1) при одном и том же

выборе числа

60 (напри­

мер,

0О= arg до0) соответствуют различные

ветви функции

z= )fw .

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее в доста­

точно

малой

окрестности

влечет за

собой

переход от одной ветви

пг-

А

ции у w являются точки до = 0 и ш= оо.

После л-кратного обхода

вокруг точки w = 0 мы вернемся‘к пер­

п г -

п /----

е. различные

ветви функции

в этих

значение: у 0 = 0,

у со = оо, т.

точках совпадают.

w = Lnz

точками

разветвления

Для

логарифмической функции

являются г —0 и z = oo-, причем

Lri0 = oo

и Lnoo = co.

Любое конеч­

ное число обходов (в одном

и том же

направлении)

вокруг

точки

г = 0 не

приведет к

первоначальной

ветви функции Lnz. Такие точки

ветвления называются логарифмическими. При

интегрировании необ­

Если контур интегрирования С замкнут,

то

начальной

точкой

гп

пути интегрирования

считается та

точка,-в

которой задано

значение

подынтегральной функции.

интеграл

П р и м е р 6.

Вычислить

где С —верхняя

дуга

окружности

|z | =

l. Для

V г ' берется та ветвь,

для которой V \ = — 1.

Функция V г имеет

Р е ш е н и е .

П е р в ы й

с п о с о б .

два. зна-

чейия:

f is h l J ) .

где <р = arg z.

Так как значения г берутся на

единичной окружности,

то ^ , =

1,

и, следовательно,

V z =

cos'-5- +

( sin

,

V г = — cos

—i sin .

Условию \'r \= — 1 удовлетворяет

второе значение

,/■-

Ф

.

. ф'

Г z =— — cos

2

—I siSill 2'

•

В самом деле, пусть

г= 1, тогда a rg ? = 0 и

]/"! = — cos 0 — i sin 0 = —1.

-1-

-1

= 2 ( К - 1- / Т ) .

Полагая

в формуле

(4)

г — — 1,

найдем

/ = Т

= -

[cos

arg

- I^Sill -" 8 ( - »

] = -

(cos |- - И

sin ! )

= --.•

2

1 ■

2

Согласно

выбору

ветви

имеем Y \ =

—1 и окончательно получим

j 7 Т

-

2 (,- ° -

В т о р о й

с п о с о б . Полагаем

z = р^'Ф,

где р = 1 ,

а ср меняется

от 0 до я. Из условия У 1= — 1 следует, что у

el(P= e ' J

\

Теперь

t

(

? ’ *

, ( , / й - " ) йф_

с

0'

1 ^е,ф

0

е''(т + л )

о

_ 2е' ( I —

_ 2 ( „ - '" _

_

2

_ 0 .

П р и м е р

7.

Вычислить

интеграл

/

In3 Z

dz по дуге окруж­

- s

ности ! z | =

1 (In z —главное

значение

логарифма,

In 1=0).

Р е ш е н и е .

П е р в ы й

с п о с о б . Применял формулу Ньютона —

Лейбница, получим

г

С In3z

С

i q J /,

ч

In42

r =

\ —- — dz =

\

In3 zd (ln^) = ——

In4 i — In4 1

In4 i

1

/ ni

\ 4 __ .л4

“

4

4

4

l~2~J

64 *

В т о р о й

с п о с о б .

Делаем

замену .переменной

In z =

dw=