Л- 1

ер+1

т е т

(iгР — е )2 (еР— 1)

т = О

е Г еР

еР

е — 1

еР+1

^ Т у 2[ е Р - [

~ ё Р ^ е

е

(еР — е)

л— 1

л — 1

870.

2

т2 -

871.

2

tficosmoc.

ш = 0

т = 0

л — 1

Л — 1

872.

2

т (т

1 ).

873.

2

emcosma (/гэ=2).

т=0

m e 0

Формула ^э браще ния .

Пусть

решетчатая

функция / (/г)

имеет своим изображением функцию Z7* (р) комплексного переменного

p= a + iT,' где

F* (р), в

силу своей периодичности:

Е*(р + 2ш) =

= Z7* (р), рассматривается в основной полосе

— я <

Im р л.

Если

извесшо

изображение

F* (р), то

оригинал /(п) можно

найти по формуле обращения

с-f in

/(«) =

2Ш

J

F*(P)enpdP>

(24>

с — |’л

где с—любое действительное число, большее, чем

абсцисса сходи­

мости s*.

когда

F* (р)

есть

правильная рациональная дробь

В случае,

относительно еР, имеем

/(П) =

2

ге« [f* (р) e'n~v Р],

(25)

V

Р \

где сумма берется по всем полюсам функции F* (р),

расположенным

в полосе — л < 1 тр ^ л ;

и на

ее границе 1шр = д. Если pv—про­

стой полюс, то

res [f * (р) еР |л"11] =

11m

[ f * (р) ( е Р - Л ) е Р 1'1' 1'];

pv

р —Ру

874.

F*(p) = {^-

w .

875.

F* (р)

еР

е*Р — 1еР-\- ю*

876.

F* (р)=*

877.

F*(p) = ^

т .

878.

еР

F* (р)=е2Р + 2аеР + Ы> (а > 0)-

879.

F* {р)=

Р е ш е н и е р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й с п о м о щ ь ю

д и с к р е т н о г о п р е о б р а з о в а н и я

Л а п л а с а .

Уравнение

вида

F(n,

f(n),

/( я + 1 ) ........./(я +

А)) = 0

(28)

или

F(n,

f(n), Д/ (я),

A4/(«))*=0,

(29)

где /(л) — искомая

решетчатая

функция,

называется

разностным

уравнением k-eo порядка.

сводится

к уравнению вида (29) при

помощи

Уравнение вида

(28)

формулы.

/ ( « + А)= /

(л)+

q д/ (л)+ q дv (л)+ . . . + Д*/ («).

(30)

а при помощи формулы

_

(А =

0, 1,

2, ...),

(31)

где

^ • --JJ1 — т +

биномиальные коэффициенты,

урав-

нение (29) сводится к уравнению (28).

[ (п)

и ее разностей,

Если

уравнение (29) линейно

относительно

ностное уравнение

порядка

k с постоянными

коэффициентами

имеет

вид

Ь0 Д*/ (л) +

Ьх Д*-1/ (Л) + ... +

buf (Л) = Ф (Л),

(32)

где ф (п) —заданная

решетчатая функция, /(л) —искомая

решетчатая

функция, Ь0, Ьъ ...,

bk— постоянные/.причем

Ь0 Ф 0,

Ьк Ф 0.

k) по

Заменяя в уравнении (32) разности

Дmf (р)

(т= 1, 2,

формуле (31), получим другую форму

разностного

линейного

уравнения:

а0/ (л +

А) +

aJ (я + А — 1)

. . . + akf (л) = Ф (л).

(33)

Если

ф (л) =

0,

то

уравнения (32)

и (33)

называются однород-

ними, е^ли же ф (л)=£0, то эти уравнения

называются

неоднородными.

Разностное

уравнение,

содержащее

/(л)

и

называется

разностным уравнением

k-vo

порядка

(k > 0).

Таким

образом,

урав­

нение (Зз)

при

а0 Ф 0 и ак Ф 0 есть

неоднородное линейное разност­

ное уравнение

&-го

порядка.

Уъ У2>•••» Уп)

(*=1. 2» •••»

л),

(.0

где

(i, А = 1,

2.........л)

существуют

и

непрерывны,

и пусть

fyk

....

п)

есть

решение

этой

системы,

удовлетворяющее при

( i = l , 2,

t = t0 условиям

Ф;('о) = Ф<

(‘=

1 .2........«)•

Решение

ср/(/)

( i = l , 2,

...,

л) системы

(1) называется устойчи­

вым по Ляпунову

при

что

для

если для

любого е >

0 можно

подо­

брать б (е) >

0 такое,

всякого

решения y-L(t) (i = 1 , 2, ..., п)

той

же системы

(1),

начальные

значения

которого

удовлетворяют

неравенствам

IУ -1 (У -

Ф; | <

6 (в>

( * = 1 . 2 .........п),

для

всех

r ^ , t 0 справедливы'неравенства

|у«(0 - ф

| ( 0 | < 8

( / = 1.

2 ,

.... л).

(2)

т. е. близкие по начальным

значениям

решения

остаются близкими

для

всех

t

/0.

п) устойчиво,

Иными словами, решение

ф /(/)

(/= 1 ,

2,

...,

если

Достаточно близкое

к

нему

в

начальный

момент t = t0 решение

</; (*)

(i= 1, 2,

...,

п)

для

всех

t ^ t 0

содержится

в сколь

угодно

узкой

е-трубке,

построенной

вокруг

решения

ф /(/)

( / = 1 , 2,

... , п).

реше­

ния

Если

при сколь

угодно

малом

б > 0

хотя бы для одного

yi(t)

(< = 1,

2,

...,

п)

неравенства

(2) не выполняются, то

решег

ние

(pi (0

( i = l ,

2,

...,

л)

называется неустойчивым.

устойчиво, но.

Если решение ф,- (t)

(i =

l, 2, ...,

п)

не

только

кроме того,

удовлетворяет

условиям

lim

|* //(0 -< P i(0 i =

0

(i =

l,

2,

...,

л),

(3)

<.— оо

если | У; (^о) ~ ф? | <

то

решение

ф; (/)

называется асимптотически

устойчивым.

устойчивости

решения

ф /(<)

системы

(1) может

быт*,

Вопрос об

вреден к

вопросу

об устойчивости

нулевого

решения

(t) = 0 некфч

Xi(t)=yi(t) — q>i(t)

(1 = 1, 2,*..., п),

(4)

■^- =

'ф/г(0 *i, х2,

,

хп)

( t = l , 2, ..., п),

(5)

Вместо термина

«нулевое

решение» будем употреблять

термин три­

виальное решение.

*/(0 = 0 (/= 1 , 2,

п)

условие

В применении к точке покоя

устойчивости выглядит так:

п) системы (5)

устойчива по

Точка

покоя xt ( 0 = 0

(i =

1,

2,

...,

Ляпунову,

если для каждого е > 0

можно подобрать б (е) >

0 такое,

что из неравенства

|*/(/0) 1< б(в)

(* = 1,

2, ..., п) следует |* /(/)|< е

(/ = 1, 2,

..., п)

при всех i ^

t0.

П р и м е р

1.

Каждое решение уравнения

x2(io) = 4-

(7)

Для этих

решений

имеем

| х2( 0 ~ * i (0 1= 1*§—*? I Для

всех

дователыю, для

всякого

е > 0 существует

б > 0, например, 6 = е

такое,

что

как только |хЗ —* ; |< б , то

для

решений

х2(0 и * i (0

будет

выполняться неравенство

|* 2 (0 —* i (0 1=

1*2 —*! I < е

при

всех

1*2 ( О ”

*1

( 0 | =

| *§ —

| - т ^ О -

Пр и / - * - + 00 .

П р и м е р

2.

Каждое

решение уравнения

dx .

л

(8)

л + л г = 0

асимптотически

устойчиво.

уравнения имеет вид

В самом деле,

общее решение

х (/) =

Се~(.

(9)

Решения хх (/),

х2(/)

уравнения

(8), удовлетворяющие начальным

условиям *I (/O) = *P

*2 № ))=*3» сУть

( 0 =

4 е~

~ 'о).

*2 (0 =

4 е~ и ~ и)‘

П р и м е р

3.

Решение

dx

х (t) = — 1 уравнения — = \ — x2 (t) не­

устойчиво,

так

как при

/- > + о о все решения

уравнения

(1 + х 0) е2 (<

<о) — (1 —х0)

(1 +*а)«2(' -

<,) +

(1 -

^

стремятся

к + 1 .

Решение

*(<) = 1 этого

уравнения

согласно опре­

делению

асимптотически

устойчиво.

Пользуясь определением, исследовать на устойчивость

решения следующих уравнений и систем:

896.

dx .

,

'

x (0) = 1.

Ш+ х = 1>

897.

я —

< ( * - » ■

лг (0) = 1.

898.

~ — 2x = t

dt

хх

899.

dt

zxl>

X (0 ) = 0 .

900.

dx

.

* ( 0) = 1.

ш =

cos/>

901.

( * - » .

x (0) = «/ (0) = 0 .

( а —

dx

902.

Ш=У>

x(0) = tj (0) = 0 .

k^

=

+ 3x,

П р о с т е й ш и е т и п ы

т о ч е к

п о к о я .

Пусть

имеем систему

дифференциальных

уравнений

d x

Ш- Р ( х ,

У),

М)

dtdy = Q(х, У)-