Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1235.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4531 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Решить интегральные уравнения:

798. \ е х- ‘< р ( 0 ф = х .

799. $ Ja (х —t) Ф (/) dt = sin X.

800. J cos (x — t) ф (t)dt = sin x. o.

801. $ (t) dt = sin x.

802. $ cos {x — 0'Ф (0 dt = x + x 2.

803. \ e 2 '-x - ‘)q ( t ) d t = x 2ex .

0 x

804.ch (x — i) ф (/) dt = sh x.

805. § ch ( x ^

t) cp'(t) dt = x .

Указанный

метод

решения

уравнений

(4), (11) приложим

также

к системам интегральных уравнений Вольтерра вида

Ф< (* )= /; (*) + 2

5 Kik (* -

О Ф* (О di

( /= 1, 2,

s).

(12)

/г = 1 О

Применяя

к обеим

частям

(12)

преобразование

Лапласа,

получим

ф/ (Р) =

Ft (Р) +

Uh (р) ф* (Р)

(< =

1 ,2 .........s).

/г = 1

Решая

эту

систему

уравнений, линейную относительно Ф,- (р)> найдем

Фj ( p )

( / = 1, 2, ...,

s),

оригиналы для

которых

и будут

решением

исходной системы интегральных уравнений ( 12).

уравнений

П р и м е р

2. Решить .систему интегральных

Ф1 М = X+ $

(/) dt +

])(« —о ф2 (0 dt,

оо

X X

Ф2 (* )= 1 sh (x — t) q>! (() d t —j е<*-'>ср2 (/) dt.

Р е ш е н и е .

Переходя

изображениям

и используя

теорему

о свертке, получим

(<Dj (р) =

фх (л:), Ф2 (р) === ф2 (*))

[

(р) = ^

(р ) + р1 ф 2 (р) ,

откуда

Ф2 (Р) =

+ у = т

ф ‘ (р) - р = Т

ф * (р)>

Р2+ Р - 1

,_ч

рЗ—р2+ 1

<М р )

Р(р - 1)(Р2+1)

’

(р— 1) ( Р + 1) (Р 2 +

1) *

Находим

оригиналы для

Фх (р)

и Ф2 (р):

1 ,

v ,

•

C0S*'

<Pi(*) =

1 + - 2 e

2" SI" * ~

ф2 (*) =

(cos x + ch x) — sin x.

Система

функций

ф! (х)

ф2 (х)

является

решением

исходной

системы

интегральных

уравнений.

Решить

следующие системы интегральных уравнений:

ф 1 ( X ) =

1 - 2 ] е 2

( 0 d t +

] ф 2 ( t ) d t ,

8 0 6 .

ф 2 (х ) — 4 х — $ фх ( t ) d t + 4 $ ( х — t ) ф 2 ( 0 d t .

Фг W = е х + ] Ф 1 ( 0 d t - ]

е (* - ' 'ф 2 ( 0 d t ,

8 0 7 .

ф 2 W

— X -

5 ( X -

ф , ( 0 d t

\<f>t ( t ) d t .

Ф 1 ( х ) — х + \ Ф 1 ( 0 d t + J ( х — t ) ф г ( 0 d t 9

8 0 8 .

ср2 ( х ) =

—

J e { x ~n (pi

( t ) d t

+ $ cp2

( t ) d t .

X X

Ф 1 (A-) = e x — $ ф , ( t ) d t - \ - 4 ^ е ( х - ‘ \ о ( t ) d t ,

оо

ф 2 (A ) = 1 - $ « г (* - <5ф 1 ( t ) d t + \ ф 2 ( t ) d t .

'	X		X.
ф] (х) = 2х — \(х — t) ф! (t) dt +J\ ф2 (t) dt,
810.	о		о
810.
ф2 (х) = - 2	-	4 \ ф1 (Оdt + 3 1 (х - 1) ф2 (Оdt.
		о	о

Ф1 (х) = 2 — $ (х — /) Фг (О dt — 4 ^ ф2 (/) dt,

о о

’ 8 U -

Фа (х) = 1 — ^ ф1 (О Л — $'(* — О Фг (О dt-

оо

§19. Дифференциальные уравнения

сзапаздывающим аргументом

В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференци альными уравнениями, в которые неизвестная функция входит при различных значениях аргумента, например:

		х(0 = Ф(/, *(0,						(О
				х(/).	х (/—х(/))в i ( / - T		(/))),	(2)
		* (О = ф (/,		X (/),	i (О, * (I - т! (/)),		х (/ т2 (/))).	(3)
Такие		уравнения		называются		дифференциальными уравнениями
с отклоняющимися			аргументами.			Если т, (/)■—постоянные, то		мы
имеем так		называемое		дифференциально-разностное уравнение. Если
т/ > 0 и	старшая		производная входит в дифференциально-разностное
уравнение только при одном значении аргумента, не меньшем								всех
других	аргументов		функций		и производных,		входящих в уравнение,

то уравнение называется дифференциальным уравнением с запаздываю щим аргументом.

Пусть дано дифференциальное

уравнение с запаздывающим аргу

ментом с постоянными» коэффициентами:

п — 1

*,я ,(0 =

в* * '* * (< -т* )+ /(о .

(4)

/г —О

где dk =

const, Tk =

const ^

(0 <

t < + oo). Возьмем

ради

простоты

нулевые

начальные

условия

х(0) = х' (0) = ... =

(0) = 0.

(5)

При

этом

мы полагаем

*(/) = /

(/) = . , . = х(п~т1>^t) == 0

для

t <

Применяя

к обеим

частям

(4) преобразование Лапласа

пользуясь

при

этом

теоремой

запаздывания

(см, §

14),

получим

операторное

уравнение для	X (p)r~x(t):
	п — 1
РПХ(Р)=	22 ahPkX {p )e~ XkP+F(p), где F {p)~f(t),	(6)
откуда	k = 0
откуда

*(/>)==---------------------	(7)
Рп— 2	акР"е Т*Р
4 = 0
Находя *(/) —оригинал для X (р), -определяемого формулой (7), полу

чаем решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (5).

П р и м е р

Решить уравнение

* '( * ) « * ( * - D + 1, * ( 0) = 0.

Р е ш е н и е .

Переходя к

изображениям,

получим

рХ (Р) = Х ( Р )

е-Р + ~

откуда

у /

\ _ 1

р р - е гР

Р2 { __<гР

е~Р

е~2р

е -лр

Для

x(t)

получаем

Р‘

x(t) = tT) (t) + ± « -

I )3

( '- « ) Л+1П(< -« ) +

. .. =

(<-»)•

( п + 1)1

Решить следующие уравнения:

812.

x " ( t ) - x ( t - l ) = tJ

* ( 0 ) = х ' (0 ) = 0 .

813. х"(0 —2JC' (<—1) = ^,

х(0) = х' (0) = 0.

814.

х"(t) = 2x' (t— \) — x(t —2)

* ( 0) = * ' (0 ) = 0 .

815.

хГ (t) + 2x* ( t - 2 ) + x ( t - A ) = t,

х(0) = х' (0) = 0.

Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом,

описывающих

процесс

с последействием,

часто встречаются задачи

следующей

постановке:

х (t) для t ^

t 0, причем для всех

для

Найти

решение уравнения

которых

значения

х (/) влияют

на

последующие значения реше

ния

при

0, функция x(t) задается.

Так,

например,

ставится задача:

найти непрерывное решение х (t)

при

t ^ /0 уравнения

x(t),

х (t — т)),

т > 0 = const,

если.дано,

что * (0 = ф (0 Для

^р —

Здесь ср (() — заданная непрерывная функция, называемая начадЬ* ной функцией. Отрезок [/0—т, /0], на котором задается функция (р называется начальным множеством.

Решение линейного уравнения (4) с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием в случае, когда начальная фун^ц^я отлична от тождественного нуля, также можно искать, используя преобразование Лапласа. Покажем это на примере.

П р и м е р 2. Решить уравнение

*'(/) = *(/-1), cp(0 = lf —

Р е ш е н и е .

* (0 .=• X (р),

(о = • р х ( р ) - х (0) = р к (р) - 1.

Применяя к обеим частям исходного уравнения преобразование Jjai\- ласа, найдем

0 0

рАГ (р) — I = ^ erP‘x ( t - \ ) d t .

Делая замену	переменных		1 = г, получим
0 0	00	trP '+!> (г)	=
j e-P'jt (<-l)d/=	j	trP '+!> (г)	=
		0	oo
=erP		lj е~Ргх{2) <fe-f e-Pj e~P*x(z)dz=
			g-pl I 2 = 0
			= e‘ p ^ L _ 1 + ^ w -
так как x (z )= 1 для		— I	Окончательно

p X { p ) - \ = —l f l + e - P X ( p ) .

Отсюда

Х{ р).	1	+	1— e - P	1	1 —e-P
	p -e -P		p ( p — e~P)	p ^ _ e Z	f . y

= £(1+T + 1?+ - +1F +-)+
+ ( i ^ £ Z ) ( 1	+ ? + . . . +		^	+ ...) =
					<r*P
	• ==7	+	^	+	7 Г + - ' ft+2 T - ...
Находя оригинал для X (p),	получаем	решение			исходного уравнения

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4531 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.46 Mб81225.pdf
#
15.11.202212.48 Mб81226.pdf
#
15.11.202212.5 Mб31227.pdf
#
15.11.202212.62 Mб21230.pdf
#
15.11.202212.64 Mб21232.pdf
#
15.11.202212.71 Mб71235.pdf
#
15.11.202212.77 Mб121236.pdf
#
15.11.202212.77 Mб31237.pdf
#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб131245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf