- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Если с_л Ф 0 и существует конечный |
предел |
|
|
|
||||
|
|
r = |
lim |
Iс - п - 1I |
|
|
(17) |
|
|
|
|
п -* со I |
с - п | |
|
|
|
|
то этот ряд сходится в области |
|
|
|
|
|
|||
♦ |
|
I z —г0! > г . |
|
|
(18) |
|||
|
|
|
|
|||||
П р и м е р |
8. |
Найти область |
сходимости |
ряда |
^ ^ |
^ — |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
Ре ше ни е . |
Здесь с_л = |
(1 + |
/)л+1-1, ^с_ л - 1 |
= (11++i)n+2,^ |
го = 0. По |
|||
этому |
|
1 (1 + 0 пЧ'21 |
|
|
|
|
||
' - Л |
lim |l |
+ t| = |
]/"2. |
|
||||
т. ч т + ¥ Т М |
|
|
||||||
Данный ряд сходится в области |
г | > |/*2. |
ряда |
|
|
||||
П р и м е р |
9. |
Найти область |
сходимости |
|
|
|||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
S1’ n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
L i (г + 0“" |
||
Р е ш е н и е . |
Имеем |
П= 1 |
|
|
||
|
|
|
||||
Поэтому |
с_п — sin in = i sh /г, |
|
— * sh (n + 0- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
.. | £ s h ( r t +l ) ' |
= lim |
sh (/г-Ь 1) |
— |
|||
r = lim -— , |
i sh |
— - |
v |
n |
||
I |
n ; |
|
_ sh |
|
||
tnVl —g-n- 1
= lim — — —— = lim en—e~n
c— g-Zn-l
------— = e.
1—er2n
Следовательно, ряд сходится |
в области z + i |
т. е. вне круга |
с центром в точке г0 = — i и |
радиуса £. |
|
Определить область сходимости следующих рядов:
п2= 1fr=W- 230- |
(1^2 + 1V 2)" |
/12= 1 |
|
229. |
z n |
|
ОО |
231.
233.
’35.
у - с - .
Ami cos in
п= 1
СО
У ... '
Ami 4,2(г + 1)"
п= 1
У3 "+ 1
мА (г+ 2 0 '1*
232.У en(iz)~n.
П= 1
234. |
У |
- ,,2~Л . |
|
L i |
(г- 2 — 0" |
|
П= 1 |
|
236. |
у |
<г + Щ . С , |
|
L i |
л + i |
а = I |
а = 1 |
Ряд вида
2 |
с»(г- |
г°)л= |
2 |
+ |
2 |
с»(г- |
г»)л |
|
|
|
П= 1 |
|
п = 0 |
|
|
|
|
|
|
+ |
- + |
г = 1г + |
с»+- |
|
|
|
(г — г0)а ' |
' |
г —г0 |
|
|
|
|
|
|
+С\ (г — г0) + . . . + с д (г —г0)п + • • • |
|||
сходится в области, |
в которой сходятся ряды |
|
|||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
С-П |
_ С-\ |
, |
С—2 , |
|
|
|
(г— г0)" |
г —г0 |
(г — г0)2 "г " ‘ * |
|||
|
П= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
с" (г—го)"= Со+ Cl (г~ го)+с2 (г—г0)г + ... |
|||||
|
а = |
0 |
|
|
|
|
|
(19)
(20)
(21)
Пусть ряд (20) сходится в области |
|
г —г0 |
> г , т. |
е. вне круга |
||||||||||||||
с центром |
в точке г = |
г0 |
|
радиуса |
г, |
а |
ряд (21) |
в |
круге |
| г — г0 К Я. |
||||||||
Тогда, |
если |
И> |
ряд |
(19) |
расходится |
всюду; |
|
|
|
|
|
|||||||
1) г > |
/?, |
г < |
\ г — z0 ! < R. Здесь |
|||||||||||||||
2) |
г < |
Я, |
то |
ряд |
(1Э) |
сходится |
в кольце |
|||||||||||
0, |
0 < |
R < + со. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
10. Определить область сходимости ряда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
е'п |
|
|
(2+1)" |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
VI |
|
|
|
- у |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
( * + Г ) « |
1 |
^ |
|
gi я+1/2 |
|
‘ |
|
|
||||
|
|
|
|
п |
*в 1 |
|
|
|
|
п = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для ряда |
^ |
(г+ 1 )" ИМееМ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
с_„ = |
е'", |
c_„_l = |
ei,"+1>. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
I е ‘ ,п+1’ |
| |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r^= |
Игл |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1 -*-00 |
1 в“ |
1 |
|
’ |
|
|
|
|
|
так что первый ряд сходится в области |
j г + |
1 | > |
L |
|
||||||||||||||
Для |
степенного |
ряда |
^ |
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л = 0 |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сл —е |
|
|
|
| |
сл+1 — е |
|
|
|
• |
|
|
|||
Его |
радиус сходимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R = |
Игл |
|
|
I сп ! = |
lim |
|
\ е - 1п - 1 Л \ |
■= 1, |
|||||||
|
|
|
|
|
| в-*Чя+1.)-1/а |
|||||||||||||
|
|
|
|
1.-0 0 |
!ся+1| |
л |
и |
|||||||||||