- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
940.
941
'
942.
946. ника, к
Гi = x - y + x2-
+У2,
\У = х _ + у -г/.
I % =— 2ах-+\ 8 sin у,
Ь = 2 - |
Зу — cos у. |
7
х = — 4л* -{- 2 sin г/ —За-2,
У = — 2х + х2 + у + у3. ( A = 10sinA -29// + 3y3,
\ у = 5а — 14 sin у + У2.
х = — 4у — х3,
943.
У = За - у3.
945( х = у — ху2,
*I у = ~ А3.
Исследовать на устойчивость точки покоя маят которому приложен вращающий момент L:
x-\-ax-{-b sin x = L, где
§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
^ = |
fi ((, А,.........*„), |
fi (t, 0, .... |
0) = 0 |
|
(/= 1 . |
2, ... , «). |
(1) |
|
и пусть эта система определена в полупространстве |
|
|||||||
|
Q : | а < t < + со , ^ |
х\ < + со |
|
|
||||
|
I |
|
i= i |
|
|
|
...» п) системы (1) |
|
Говорят, что тривиальное решение |
= 0 |
( i = l , |
2, |
|||||
асимптотически устойчиво в целом, если оно |
|
|
|
|||||
|
1) асимптотически устойчиво по Ляпунову; |
п) |
системы (1) обла |
|||||
2) всякое другое |
решение xt (/) ( i = l , |
2, |
||||||
дает |
свойством |
*/(/) = 0 |
( / =1, |
2, |
п). |
|
|
|
|
lim |
|
|
|||||
|
/-*■00 |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяется асимптотическая устойчивость в целом нетривиального решения системы (1).
Ограничимся автономными системами, т. е. такими, правые части которых не зависят явно от времени t:
§ |
= и |
(л-!, .... *„), fi (0......... |
0) = |
О |
(< = 1........... |
я). |
(2) |
|
Функцию |
Ляпунова |
v (A*b .... |
л'„) |
назовем бесконечно большой, |
||||
если для |
любого положительного числа М существует положительное |
|||||||
число R |
|
|
*п |
х'\ = |
|
|
|
|
такое, что вне |
сферы 2 |
# 2 |
имеет место |
неравенство |
||||
|
|
|
1= 1 |
|
|
|
|
|
v > M .