477. Плоскости с разрезом.по отрезку [

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1235.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

2) С помощью линейной функции т = / + а2 сдвинем начало		раз
реза в начало координат. Расширенная	т-плоскость получается	раз
резанной от точки т = 0 до точки т= * +	о о .

3) С помощью функции w = y rx (точнее, ее ветви, принимающей положительные значения на верхнем берегу разреза) отображаем разрезанную т-плоскость иа полуплоскость 1 т д о > 0 . Итак,

W== У х = V j + 3 = V г2+ а 2.

Найти отдбражения на верхнююполуплоскость сле

дующих областей:
477.		Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
478.	Полосы 0 '< х < 1		с-разрезом	по	лучу	х = 1/2,
а ^ у < о о (в > 0 ).					у = 0,	— о о <
479.	Плоскости с разрезами по лучам				у = 0,	— о о <
< . х ^ а и у —0, Ь ^ х < + оо (а<СЬ).
3.		П о к а з а т е л ь н а я	ф у н к ц и я .	Отображение,			осущест
вляемое показательной функцией
		w = ez,
конформно во всей плоскости,			так как w' = ez ^	0 во всякой			конеч
ной точке		плоскости г.
Если		плоскость г разбить на полосы
		2kncy<2(k+\)n	(&= 0, ±1,	±2,

то каждая из этих полос отобразится функцией w=*ez взаимно одно значно на всю плоскость w с разрезом вдоль.положительной части

действительной оси. При этом			считаем, что нижней			границе у = 26л
полосы	соответствует	верхний		край	разреза, а	верхней	границе
у = 2 (k +	1) л — нижний	край	разреза.		При этом точки z&=xQ+ iy 0 и
2>==а*о+	*' &0 + 2&1) ( ^ = ± 1.		±	2, ...)	переходят в одну		и ту же

точку плоскости w. Это означает, что показательная функция является бесконечнолистной периодической функцией комплексной

переменной г с	мнимым периодом 2л*. Областью ее однолистности
является любая	полоса у 0 ^	у <	y Q+ 2л отображающаяся на полную
плоскость w с	разрезом по	лучу	arg сс’о~ £ /0 (рис. 2 1).

Отметим, что показательная функция w~c* не обращается в нуль

пи при каком значении г.
П р и м е р		18.	Во что	преобразуется полуполоса
			О < Im 2 < 2я,			Re г < О
с помощью функции w = ez?				г = х -(- iy,		w = ez = ех • е1У= ре*Ф. Тогда
Р е ш е н и е .		Положим
	р = ел\	ср = */, где			—с о < л : < 0,		0 <	у <	2я,
так что	0 < р < 1 ,		0 < с р < 2 я . Очевидно,				точки	щ= р<?*Ф, удовлет
воряющие этим		условиям, заполняют				круг	i w \ <	1	с разрезом по
отрезку	прямой, соединяющей				точки	w = 0	и w = \.		В самом деле,

обойдем контур у области D в положительном направлении, начиная

с участка	/	(— o o < ,v < 0, у —0),	далее	/ /	(* = 0, 0 < у < 2 п ) и,
наконец,	/ / /	(у = 2л\ а х изменяется	от 0	до	—оо). Очевидно, этим
участкам в плоскости w будут соответствовать					участки	/ / ', / / / ',
где участок		Г .совпадает с верхним	краем	разреза, а		И Г — с ниж
ним краем (рис. 22).
4. Л о г а р и ф м и ч е с к а я ф у н к ц и я

w = Ln 2

определяется как функция, обратная показательной. Для определен ности будем рассматривать главное значение логарифма г, т. е. то значение, которое соответствует главному значению аргумента

lnz = ln \г j + t arg2,			—я <	a r g z ^ .
Эта функция — аналитическая во всех			конечных точках		г Ф 0 и а/' -■=
= — =^0. Значит,	отображение	с помощью функции			к/=	In z кон
формно во всех таких точках. Отметим,				что точки	z = 0	и z = co
являются точками	разветвления	функции w = Lnz, причем				Ln0*=oo
и Ln оо = оо.			одном и том же направлении)
Любое конечное число обходов (в
вокруг точки z = 0 не приведет		вновь	к первоначальной ветви функ
ции L n2. Такие точки разветвления			называются логарифмическими.


П р и м е р	19. Найти			функцию,			отображающую		плоскость г
с разрезом вдоль		отрицательной			части		вещественной		оси от точки
2 = 0 до точки	z — — со		на	полосу	— я < у < л в плоскости од.
Р е ш е н и е .		При	рассмотрении			показательной		функции w = ez
было указано (стр. 132), что любая						полоса у0^ у <		у0+ 2л; отобра
жается этой функцией			на	полную		плоскость,од с разрезом по лучу

arg w0 = y0.

Рассмотрим обратное отображение, а именно, отображение полосы

v0^ v < л ’о +	2я,	где	и0= — я, плоскости од	на	всю плоскость г
с разрезом	по	лучу	argz0= u0= — л (рис.	23).	Очевидно, такое

отображение дает функция

z = ew\

следовательно,

искомое отображе

ние

будет од =

In z =

In | z | -f- t arg z.

Когда точка

пробегает

по ниж

нему берегу

разреза

от‘х = — оо до х = 0, то

плоскости

од соот

ветствующая

точка

опишет

линию

/' от « = +

оо до « = — оо (и =

= — я).

Далее,

когда

точка г

пробегает

по

верхнему

берегу раз

реза II

от х = 0

до

х = — оо,

то

плоскости

од

соответствующая

точка опишет

линию 1Г от

и — — оо до

и ^ ^ с о

(и = л),

так

что

область D и соответствующая ей

область G остаются

при

обходе

контуров справа.

5. Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и

од =

sin z,

од = cos г.

Для любого комплексного z

sin z =

eiz — eriz

e{z-\-eriz

COS 2 =

П р и м е р

20.

Во

что

отображается

полуполоеа

0 < x <

л,

t / > 0 (рис.

24)

с помощью функции

cos г?

Р е ш е н и е .

Имеем

cos г =

cos (JC + iy) = cos x ch у —i sin x sh y.

Если точка z пробегает участок

границы /

от z/= ^ o o до */= 0 (при

JC =

0 ),

то соответствующая

точка

в плоскости

од

пробегает участок I '

от

н =

-[-оо до

« =

1 (при

с; = 0).

Если точка

пробегает участок

от

х =

0 до

х = п (при

// =

0), то од =

cos а: опишет участок

/ / '

от « =

до

« = — 1

(при

ц = 0). Наконец,

если точка

z пробегает

участок

/ / /

от у=^0 до у = + оо (при х =

я), то од = — ch у пробегает

участок

/ / / '

от

и —— 1

до « = — оо (при

и= 0). Итак,

если

точка г обходит

гра

ницу

полуполосы

0 <

л*<

л, у >

так,

что

полуполоса

остается


слева, то	точка		w пробегает справа налево всю действительную ось,
и поэтому	из	принципа взаимно			однозначного соответствия	границ
следует, что		функция 10= cos г			отображает рассматриваемую	полу-
полосу на нижнюю полуплоскость w.						О фун
Аналогично			показывается,	что полуполоса 0 < х < я, у с
кцией i0 = cosz			отображается	на верхнюю полуплоскость w.

		Рис.	24.
Стороне полуполосы		* = я, у с	0 соответствует отрезок				— о о <
< и С — 1 действительной		оси плоскости w, стороне 0 <				х с	л, у = О
(проходимой от я к 0)	соответствует			отрезок	—1 С и С	1 и стороне
* = 0, у С 0 —отрезок	1 < и < + оо.			Отрезок	—о о < ы < — 1 дей

ствительной оси плоскости w пробегается дважды, а именно, на него

отображается сторона х = я, у >	0 первой полуполосы и сторона
х —л , у с 0 второй полуполосы.	Чтобы отображение OJ = COSZ было

взаимно однозначным, надо в плоскости w сделать разрез вдоль дей

ствительной оси от		—сю до —1 (а также от 1		до	+ о о ) .
Итак,	функция	w = cos г	отображает полосу		0 < д ; < л на всю
плоскость	w с разрезами по		действительной	оси	от — оо до —1 и
ОТ 1 ДО +	0 0 .

6. Ф у н к ц и я Ж у к о в с к о г о

	" “ " И '+ т )				(12)
является аналитической	во всей		плоскости,	кроме точки	г = 0, где
она имеет полюс первого порядка.
Производная функции	Жуковского w' ==			^ 1 — ~ j ф 0 при гФ
Ф ± 1, а значит, отображение,		осуществляемое этой функцией, везде
конформно, кроме точек	z = ±	1 .	Функция	ay = - ^ - ^ z + y j	отобра
жает конформно область	\-г\С	1	на всю плоскость w, разрезанную

по отрезку	[—1, 1] действительной оси. Граница области —окруж
ность I z \| =	1 —отображается	на этот отрезок, прйчем верхняя полу
окружность	отображается на	нижний, а нижняя —на верхний край
разреза.


Аналогично		область \| z \| >		1	отображается	ца второй экземпляр
плоскости w,	разрезанной		по	отрезку [— 1 , 1		]	действительной оси,
причем верхняя полуокружность					\| z \| = l , Imz >		0. отображается на
верхний берег,		а нижняя полуокружность				\| г \| « = 1 , 1ш г < 0 —на
нижний берег	разреза (рис.		25).

Всякая	окружность радиуса	R Ф 1 отображается	функцией (12)
в эллипс с полуосями
		1
	“ - ? ( * + * ) •	b~ ' i R - R
и фокусами	в точках (—1 , 0) и (1 , 0). Лучи argz = <p		(кроме ф = 0;

я\

± 2~’	от°бРажаются		на	соответствующие ветви				гиперболы ,
				iig	____
			cos2 ф .			sin2 ф =	*
лучи	argz = 0,	a r g z = j i		%argz^=n отображаются, на					дважды	про
бегаемые бесконечные			отрезки			действительной или		мнимой осей.
' П р и м е р		21. Пользуясь				функцией	Жуковского,		найти	образ
области
		0 <	, г ' <		1 ,	0 < arg г < ~ .
Р е ш е н и е . Подставим					г = /г’*Ф в функцию Жуковского

и выделим действительную и мнимую части; получим

Обходя контур сектора в положительном направлении ОАВО (рис. 26), пол учим: отрезок ОА перейдет в бесконечный отрезок , действительной

перейдет в кривую

-£('-!). -* ? Н

или и2—-о-= 2~ (гипербола).

Согласно принципу взаимно однозначного соответствия границ получим, что заданный сектор переводится функцией Жуковского в область

\ f 9

v < 0 .

W^ - U2 > - 2- ,

и > - у ,

П р и м е р

22. Отобразить

на верхнюю полуплоскость

единич

ный круг

с разрезом, идущим от

центра по действительной

оси.

Р е ш е н и е .

1 ) С

помощью

функции

wl = V~z

отобразим

еди

ничный круг на верхний полукруг. При

этом

верхний

берег

раз

реза

ОА,

т. е.

отрезок

[—1,

0),

остаегся

на

месте,

нижний

бе

рег

ОА'

перейдет в отрезок. [—1,

0] на плоскости W

2) С помощью функции

отобразим полученную в 1) полуокружность в первый квадрант пло

скости W2. При	этом точка w1— 1 перейдет в точку w2^=оо,		а точка
= — 1 перейдет		в точку ш2= 0.
3) Наконец, с помощью функции ш= од\| отобразим первый квад
рант на верхнюю		полуплоскость.
Окончательно		получаем
		w = wl
П р и м е р	23. Найти функцию, отображающую область,		заклю

ченную между двумя окружностями, пересекающимися в действитель ных точках z= a и z —b (а < Ь ) под углом лЯ, 0 < Я < 1 (рис. 28), на верхнюю полуплоскость 1т и у > 0 так,

чтобы точка z — a перешла в точку ш= 0, а точка z = b— в точку w = оо.

Р е ш е н и е .	1) Преобразуем		луночку ab в угол	величины Ял,
0 < Я < 1, так,	чтобы	точка z = a перешла в точку		ш= 0,	а точка
z = b перешла	в точку	ш= оо.	Это делается с помощью		функции
(рис.	29).

2) Преобразование w2 = wlei<х

поворачивает'угол Vx раствора

Ал

против часовой стрелки на угол а. Таким образом, в плоскости W2

мы получаем

угол

V2 того

же

раствора,

что и угол Vг (рис.

30).

3) Прёобразование w = wl2/K переводит угол

V2 в полуплоскость.

Таким

образом,

искомое

преобразование

имеет

вид

2 — о\1А

6 —2

где с—некоторая

комплексная

постоянная,

ко

Рис.

30.

торая выбирается так, чтобы отображение

осу-

ществлялось

на

верхнюю

полуплоскость.

конформно на

П р и м е р

24.

Найти

функцию,

отображающую

верхнюю

полуплоскость

область

0 : | 2 | < 2 ,

| г — 1

; > 1

(рис.

31).

Р е ш е н и е .

1) Функция

(13)

- 2

отображает заданную

область

в полосу П1: | о < и < у1 , —с о < г <

< + о о |.

Действительно,

положив

z =

2e,,(P,

получим

wl — u-\-iv =

2<?*Ф

е*Ф

2е«*Ф— 2 .“

е'Ф— 1

(0 ^

ф <

2л).

Отделяя

действительную

мни

мую части,

будем иметь

COS уф

2 sin

Таким образом,

окружность

12 ,-= 2

преобразуется

функцией

прямую

= j — 2 в

COS у

11= 2 ’

2 sin

Пробегаемую снизу вверх (рис. 32). В частности, точки Zv==2f,

z2= —2 и 23= —2i перейдут в точки w = - - у -, w'— ~2 11 w =

’

Эта же функция переводит окружность ) 2— 1 1= 1 в прямую м = 0,

— о о < с /< + оо. В

самом

деле,

подставляя в

(13)

значение

2 =

= 1 +е*,(Р, получим

^ ф-ы

. cosl

ein

откуда

sm 2

ux=

C»J -

c o s i

•

sinT

где ф изменяется от 2л

до 0. Значит, когда точка г пробегает окруж

ность Y2> то соответствующая

точка wх пробегает прямую Г2 (ось

на

плоскости

ИЛ)

сверху

вниз.

При отображений

внут

ренняя

точка

г ——1 области D

переходит

во

внутреннюю

точку

(g)

■ / / / / . ’

/ ' . '.■■/>/ П /

№

■

' /

/я.;

и2

Рис. 32.

Рис. 33.

полосы rij

(рис.

32). Следовательно, функция

0^ = —~

осу-

ществляет отображение области D на полосу

Функция W2 = 2niwi

переводит

вертикальную полосу

П,

|o < u l < i - ,

—oo<u, < + coj

в горизонтальную

полосу

Па : {— сзо < и2<

+ оо,

0 <

v2<

л}

(рнс. 33).

Функция

w = eWi

полосу

Пг-переводит

в верхнюю

полупло

скость

плоскости

получаем

Итак, окончательно

W= -ew>= e27Xlw' =

* -* .

480. Найти функцию, отображающую единичный круг на плоскость с разрезом вдоль положительной действи тельной полуоси.

481.

Найти

функцию,

отображающую

угол

между

лучами

z = z0 +

e‘w ,

2 = z0 -f е‘ф2<,

где ^

0, 0 < ф 1 < ф 2>. на

верхнюю полуплоскость.

482. Найти функцию, отображающую горизонтальную

полосу

{О ^лгС + оо,

на

верхний полукруг

| z | < i .

483. Отобразить на верхнюю полуплоскость полупо-

лосу { 0 ^ л :< +

со,

0 s c г/=^я}.*

w = In z полукольцо

484.

На

что отображает функция

{г ==s; р «s; R,

0 sg; ф ^

я}

плоскости

я /2 <

485.

Найти

функцию,

отображающую область

< а ^ г < я

на

область

0 <

а ^ д а < я /4 .

486. Отобразить плоскость с прямолинейным разрезом

по вещественной оси

на верхнюю полупло

скость

раз

487.

Отобразить плоскость z с прямолинейными

резами

(— оо,

Ь),

(а, +оо),

где а и b вещественны, Ь < а,

на полуплоскость

Im tei>0.

488.

Найти функцию,

отображающую первый квадрант

0 sgarg 2 ==sn/2

на

круг

| ш | < 1

так,

чтобы

точкам

г —

= 1 + i, z±=0 отвечали

точки w = 0,

w — l.

В следующих задачах" найти область плоскости w, на

которую функция

w = f(z)

отображает данную область D

плоскости z:

489.

w = z2-|-1, D: четверть круга |z |'< l, 0 < a rg z< я /2 .

490.

w = e2i, D: полуполоса

0 < 1 т г - < я /4 , R e z < 0 .

491.

w = In z-J- 1, D: часть кругового кольца 1 < | z |< e ,

заключенная

в угле 0 < a rg z < ;e .

Найти функцию,

отображающую конформно на верх

нюю полуплоскость каждую из указанных областей:

492.

Сектор

| z | < 2 , 0 < a rg z .< ^ /4 .

493.

Полосу

a < R e z < b , a > 0 .

Найти функции,

отображающие:

по

радиусу от

точки

494.

Круг

| z | <

разрезом

z = 0 до точки z = —1 на полуполосу

— я < и < я ,

« < 0 .

495.

Полуполосу

0 < 1 т г < я ,

R e z > 0

на полупло

скость

Imtw>-0.

— o o < ;R e z < + co,

0 < 1 т г < ! я /2

на

496.

Полосу

плоскость w

разрезами

— оо <

и ^

—1,

у = 0

и 1 <

^ и < + оо,

и =

0 .

497. Лунку,	ограниченную окружностями \|z —1\| = 1,
\| z —2 1= 2, на	полосу 0 < Й е ш < 1 .

498.Найти дробно-линейную функцию, отображающую область D: {jz+l |> 1 ; jz+2j<:2} на полосуР:

499.Найти функцию, отображающую лунку между

двумя

окружностями

| z — 1 1= 1, | z —f-1"| = 1

на

полупло

скость

R etw >0.

500. Используя функциктЖуковского, найти функцию,

отображающую

кольцо

1 <

ц2

| z | ==s 2 на область gg +

-д

разрезом —4sg«==s4,

а = 0.

полуплоскость

l m z > 0

501. Отобразить

верхнюю

исключенным

полукругом

| г | < 1 / 2

круг | ш | < 1 .

502.

Найти

конформное

отображение

сектора

0 <

< a rg z < ;n /8

на

единичный

круг

| а ' | < 1

так,

чтобы

точка

. Л

перешла

в центр ^ = 0,

а точка

2 = 0

пе

zt = e 16

решла

в точку

w = 1 .

0 < х < я / 4

на

первый

квад

503.

Отобразить-

полосу

рант 0 <

arg ш <

JT/2.

которые

функция

ш = tg 2г

504.

Найти

области,

переводит:

а)

полосу — ^ < R e z <

б) полосу 0 < R e z < j T .

§ 13. Комплексный потенциал. Его гидродинамический смысл

Пусть дано стационарное плоское векторное поле


				а=*Р(х,	y)i + Q(x, ij)'j,						.(1)
где / п j — орты координатных					осей	Ох и Оу соответственно.					г —
Так	как		точка	(х, у) в плоскости			хОу и ее радиус-вектор
= xl-\-yj		являются		изображением		комплексного		числа	z =	в свою
где t-.-мнимая единица, то вектор						а	— Р(х, y)i + Q(x, у)J
очередь	будет		являться изображением комплексного					числа	Р (х,		у) 4*
-MQC*»	У)•	Поэтому		вектор а наряду			с (1) можно зависать			в виде
				а**Р(;V,	y) + iQ(xt у).

Следовательно, векторное поле (1) можно задать, указав две действительные функции Р (л*, у) и Q(x, у) двух действительных переменных х и у или одну функцию комплексного переменного г

f (z) = P (A-, </)+ iQ(*. у).

П р и л о ж е н и е ф у н к ц и й к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о к г и д р о д и н а м и к е

Стационарное безвихревое плоское течение несжимаемой жидкости


полностью характеризуется					аналитической функцией f{z) —u(x\ у) -f-
+ iv (,х, у), которая			называется комплексным потенциалом или харак
теристической		функцией		течения. Действительная			часть и (х, у) и
мнимая	часть	v (х,	у)	называются		соответственно	потенциальной
функцией	и функцией тока.				называются	эквипотенциальными линиями
Линии и (х,		у) = const

или линиями уровня.

Линии v(x, у) = const называются линиями тока.

Каждая частица

жидкости

движется

по линии тока.

Известно,

что скорость V течения

жидкости,

задаваемого функ

цией /(г)

в любой

точке

z = x + iy, определяется

как

по величине,

так и по направлению комплексным числом

V - V e f* = V 0x+ iV 0y= r ¥ ) = j ; + i ^ ,

т. е. числом, сопряженным со

значением'

производной

комплексного

потенциала

в точке г. Величина

скорости

равна

V = \v\ = \ r

(z)\ = \ r

(2)!,

а направление вектора скорости V образует с положительным направ

лением оси Ох угол

___

ф =

arg /' (z) = — arg /' (z).

Проекции

VQX и V0y вектора

скорости

V на

оси

координат Ох

и Оу равны

VОх — nPoxV —

V0y — np0yV — ^

или, в силу условий

Коши —Римана,

Отсюда следует, что

VOx

ду ’

VOy

дх ’

ди

. ди

шг

K = grad „ =

/ +

_ у = ж

Будем считать, что координаты V0x= V Qx(xt у)

и V0y= V 0у(х, у)

вектора скорости V в области

их определения

являются непрерывно

дифференцируемыми функциями, за исключением, быть может, конеч

ного числа точек.	Циркуляцией вектора скорости V вдоль
- О п р е д е л е н и е .
замкнутой кривой L, обход которой совершается в положительном
направлении, называется	величина

Циркуляция TL характеризует степень завихренности течения жид

кости. Здесь предполагается, что кривая L не содержит особых точек скорости V, а внутри L их может быть конечное число,

О п р е д е л е н и е . Потоком вектора скорости V через замкнутую кривую L называется величина

NL = § V 0t d y - v oy dx = § ^ d y - ^ d X± & ^ d x + 2jL-dy.

L L L

Кривая L обходится в положительном.направлении, т. е. при обходе L область, ограниченная ею, остается ■слева (здесь берется внешняя нормаль к замкнутой кривой. L). Предполагается, что кривая L не проходит через особые точки скорости К, т. е. производной /' (z).

Поток NL вектора скорости V определяет количество жидкости,

протекающей через линию L за единицу времени.

скорости V

Формулы

для

циркуляции TL и

потока

NL вектора

объединяются

в одну формулу

r A+

w l

(2)

позволяющую

находить

циркуляцию

поток

помощью

вычетов.

В том случае, когда производная f' (z)

(а

значит, и скорость

V ~ f ' (z))

имеет конечное число

особых

точек

zk (k ~ 1 , 2,

л),

TL + iNL= 2ni

2 res f'(zk).

Точки,

которых

К = 0,

значит,

/' (z) = 0,

называются

критическими точками течения.

задается

комплексным

потен

П р и м е р

Движение

жидкости

циалом

/( 2) = г2.

Найти

потенциал

скоростей,

функцию

тока,

линии

уровня,

-линии тока,

величину

и направление

вектора

скорости К,

проекции

вектора

скорости

V0х и

VQy на

оси

координат Ох и Оу.

Р е ш е н и е . Полагая г = х +

Ч/,

имеем

f{z) = (x ~ -y 2) + i2xyt

откуда потенциал скоростей и (х, у)==х2 — у2 и функция тока о (*, у) = = 2ху. Линии уровня и(х, у) = const — гиперболы х2 —у*= const. Линии тока и(х,- у) = const — гиперболы ху = const. Величина вектора скорости __ "

Направление вектора скорости определяется углом

ф = — arg /' (z)= — arctg .

Проекции вектора скорости на		координатные оси Ох и Оу
^Ох-	ди		ди
^Ох-	дх~~^Х' ^Ои~-~577 — ~~2у.
		°У	ду
Начало координат 0 (0, 0) является точкой покоя жидкости.
П р и м е р 2. Движение жидкости			задается комплексным потен
циалом /(z) = lnshnz.	Найти	величину	потока NL через окружность
2Jz\| = 3 и циркуляцию	по	ней.

Р е ш е н и е . Находим производную комплексного потенциала!

			/' (г)—я cth яг.
Применяя формулу (2),		получив
r L + iN L ==iJl		^	cth я г& = я		^	сЬяг	dz.
						sh яг
	12 i = 3 /2				12 \| =	3/2
Подынтегральная	функция		имеет внутри		окружности		2 j z \| = 3 три
простых полюса:	гг= ^ - 1,		z2= 0, z3	= t.	Ее вычеты в этих полюсах
равны
	ге5/-(г)~яЛ = 1			, k = 1 , 2 , 3 .

Тогда

?cth яг^г=»6я*\

„

121 = 3/2

Следовательно,

vL+ iN L= w i .

Отсюда циркуляция 1^ = 0, поток А^ = 6я2.

П р и м е р

Найти комплексный

потенциал

/ (г) течения жид

кости, если

известны уравнение эквипотенциальных

линий

ch х sin у + 2ху = с,

где с= const и / ( 0) = 0.

следует,

что

потенциальная функция

Р е ш е н и е .

Из

условия

и (*> 1/)» т.

е.

действительная

часть аналитической

функции

/ (z) —

искомого комплексного потенциала,—равна

и *

2ху +

ch х sin у

и вопрос сводится

восстановлению

аналитической

функции

по ее

действительной

части.

/ (z),

зная

ее действительную

часть и (х, у).

Найдем

функцию

Имеем

ди

п ,

__ ^

- ^ = 2y + shxsmy.

ди _ dv

так что

По первому

из условий

Коши —Римана дх

ду

2r/+

--^==

sh х sin у.v

Отсюда находим

v (х,

у )= у 2 — Sh х cos у +

ф (х),

где ф (х) — произвольная дифференцируемая функция. Дифференцируя


v (х, у)	по х	и используя второе из условий Коши —Римана, найдем
	-\| j =	— ch х cos у -f- (p' (х)— —		=	2.v — ch л cos у,
откуда	ф '(л')= —2х, а		значит, ф (х) = —-х2+		с, с= const. Итак,
		v (х,	у) = у2— х- — sh л' cos у + с.

Следовательно,

f (z) = 2xy + ch х sin y + i (t/2—x2 — sh JCCOS y)-\-ic.

Из условия / (0) = 0 находим: 0 + i0 =*c, с = 0.

Таким образом, искомый комплексный потенциал

f(z)^2 xy + chx sin-y+t (у2—х2—sh х cos у)

или

/ ( z ) = _ l ( Z2 + Shz).

Течение жидкости определяется комплексным потен циалом. Найти потенциал скоростей, функцию тока, линии уровня, линии тока, величину и направление вектора скорости, проекции скорости на оси координат.

505./(z) = z2 + 2? + 2.

506./(2) = ^ - .

507./(г) = 1п(2 — 1).

508.Построить комплексный потенциал течения жид кости, если известно уравнение линий уровня

х2— у2+ 2ху + х = const и f(0) = 0.

509. Построить комплексный потенциал течения жид кости, если известно уравнение линий тока

cos xshy = const			и f (0) = 0.
510. Найти	циркуляцию	по	окружности \| г ± : а \| = а,
если известен	комплексный	потенциал течения жидкости

/ (г) = 5t 1п(г2 —аг).

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.46 Mб81225.pdf
#
15.11.202212.48 Mб81226.pdf
#
15.11.202212.5 Mб31227.pdf
#
15.11.202212.62 Mб21230.pdf
#
15.11.202212.64 Mб21232.pdf
#
15.11.202212.71 Mб71235.pdf
#
15.11.202212.77 Mб121236.pdf
#
15.11.202212.77 Mб31237.pdf
#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб131245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf

Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].