Вычислить следующие пределы: ]

101.

Р„(z) = a0z" + a1zn-1

a,t, где ak {k = 0, 1,

.... «) —комплексные постоянные.

= Р (z)

102.

Доказать, что рациональная функция

Д ш = /(г+ Д г) —/(г),

Дг = Дл' + /Ду.

О п р е д е л е н и е

1.

Функция

w = / (г)

называется дифференци-

,

руемой в точке

_

если

ДW

имеет

..

предел

^

z<= и,

отношение —

конечный

при Дг, стремящемся к нулю произвольным образом. Этот предел

£,

называется производной функции /(г) в данной

точке г и обозначается

символом /'(г) ^нли

w‘ или

так

что

по определению

« ' - / ' ( г ) -

lim

(1J

Если

z = x-\-iy,

w = I (z) — и (х, y) + iv(x,

у),

то в каждой

точке-

дифференцируемости функции /(г) выполняются соотношения

ди __

ди

ди __

до

~дх~~~ду'

~ d y ~ ~ lh c '

(2)

называемые условиями Коши — Римана.

у)

Обратно, если в некоторой точке

(,v, у) функции и (я, у) и v{x,

дифференцируемы

как

функции

действительных

переменных х

и у

и,

кроме того, удовлетворяют соотношениям (2), то функция f(z) = u + iv

является дифференцируемой

в точке г = л'-|-п/ как функция комплекс­

ного переменного z.

2.

Функция

w = j (z) называется аналитической

О п р е д е л е н и е

в данной точке г е

D, если она дифференцируема как в самой точке г,

так и в некоторой ее окрестности.

Функция

/(г)

называется

анали­

тической в области

D,

если она

дифференцируема в каждой

точке

этой области. Для любой аналитической функции

/ (г)

имеем

с, . ч

ди

.

. ди

ди

. ди

ди

. ди

до

, . до

1 ^

= Ж

+

=

-oj = - Ш - 1Ц у = - Щ + 1-6 Г

(3)

П р и м е р

1.

Показать,

что функция

w = ez

является аналити­

ческой на

всей

комплексной

плоскости.

и (х,

у) = ех cos у,

v (х, у) = ех sin у.

Функции

и (х, у) и

v (.х, */) как

функции действительных перемен­

ных х и у

дифференцируемы в любой точке (х, у) (они имеют непре­

.Итак, (е2У = е2.

Пр име р

2. Является ли функция w=zz аналитической хотя бы

в одной точке?

Ре ше ние . Имеем zz = х2 + У2, так что

и (X, у) = хг+ у г,

V (X, у) = 0.

Условия Коши —Римана в этом случае имеют вид

2 * = 0

1

2у= 0 /

и удовлетворяются только в точке (0, 0).

Следовательно, функция w= z2

дифференцируема только в точке

2 = 0 и

нигде не анаЛитична.

1, что функция f(z) = zz диф­

Покажем,

пользуясь определением

ференцируема

в точке

2 = 0.

В самом деле, /(0) = 0, поэтому

и

Д/ = /(0 + А2)-/(0) = Аг. Дг

lim ~

=

lim

^ Z.

=

lim

A5=

lim (Ax— iky) = 0.

Az —*0 Д2

A z - 0

A z - 0

Д л : - 0

b y -♦0

Таким

образом, производная

/'(0) существует и равна нулю.

П р и м е р

3.

Является ли функция w = z = x — iy аналитической?

Р е ш е н и е .

Здесь

и (,х,

*/)=х,

у (х, у) = — у — всюду дифферен­

цируемые функции переменных х н у .

Далее

dw _.

1

du _

ay

0,

ау = - 1.

ах

“

а ^ - 0 ,

ах

Так^что

т. е- пеРвое

из условий Коши —Римана не вы­

полняется ни в одной точке комплексной плоскости.

Значит, функция

w — 2 — нигде

не дифференцируемая, а следова­

тельно,

и не

аналитическая.

Пользуясь условиями Коши — Римана, выяснить, какие

из следующих функций

являются аналитическими хотя бы

в одной точке,

а

какие —нет:

в)

w — \z\2', г) w = ezt\

104. а)

w — гЧ',

б)

w = zez\

д) ш=

I г | Re 2;

е)

ECJ = sin Зг — t.

2

М. Л. Краснов

и

др.

105.

a) w = 2Rez\

б) w = 2 lm z ;

в) oy = |z |Im z;

г)

w = chz.

R ez;>0

а; = Inz —ана­

106.

Показать, что в области

литическая функция.

107.

Показать непосредственным вычислением, что при

натуральном п

(гпУ == пгпЛ.

108.

Показать, что

если аналитические функции / (г)

и

cp (z)

удовлетворяют

условию

/' (г) = ф' (z), то / (z) =

ди _ 1 dv

dv __

1

*ди

др

р

дер ’

др ~~

р

дф *

' '

1 1 0 . Показать,

что

если

аналитическая функция

до =

111.

Показать,

что если

функция

f(z) = u(x,

у) +

+iv(x,

у) аналитцчна

в

области D,

то в этой области

выполняется равенство

ди

dv

,

ди

ди _~

1 х~ д х^г ~ду~ду~'[)т

112 . Пусть

/ (г) = и (х,

у) + iv (xt у) — аналитическая

функция в области D. Показать, что

семейства

линий

и(х, у) = const

и v(x,

у) = const ортогональны.

ИЗ. Показать,

что модуль

и Аргумент аналитической

функции

f(z) = R(xt y)eilJ){x>0

связаны соотношениями

д Я ==г)дФ

’

ду “

п дФ

дх

К ' ду

Ы

дх ‘

Пользуясь условиями

Коши —Римана,

аналитическую функцию

или мнимая

часть

v (ху у) (см. [17]).

окрестности

точки г0

функцию

Кроме

этого,

аналитическую

в

/ (z) можно восстановить по одной

из

следующих

формул

(см. [10]):

/(Z)= 2u (i± £ “,

V ° j

с -

(5)

/ (z) = 2«^i±i!L1

21

) + C°l

(6)