V

( - 1)*

,

(-О '"

(-1 .)-2

L i

п- + а2

"

(— л)2 + а2

(—2)2 + а2

П

(

-

1)0

( -

1)1

( - D 2

+

Н

Ц

. . . +

(—1)”

,

(—1)2 + а2 0- + Q2 ^

12 + а2 'т

22 + а2

Я ч ^ 5 +

(— 0 я

я2 + а2’

Отсюда

2

(

- 1)"

(-0яL

л2 + а2

л2 + а2

2а2’

а значит

I = 1

V ( - 0 я - 1 V

(~ 0Я , i

Ал л2 + а2

2

L i

л2

а2. ‘

2а2

1 = 0

л = —оо

= _ £ _ + - L = _ L f 1+ -И 5 -'

2а sh ла ^

2а2

2а2 \

sh яа,

ОО

( - 0 я

00

412.

^

413.

(- 0

я

(л + а )2

(2л + 1)2-

п = —

12— Г

ОО

(—1)л cos ап

414.

^

я < а <

л.

/I2 + а2

’

П= —

00

415.

2

( - 0 я

(л2 + а2)2 ‘

§

11.

Логарифмический

вычет.

Принцип

аргумента.

Теорема Руше

Логарифмической производной

функции

/ (г) называется функция

<р(г), являющаяся

производной от логарифма функции /(г):

Ф (г)= [Ь п /(г)]' = ^ .

Особыми точками

функции

ср (г) могут быть только

нули или особые

точки функции / (г).

Вычет

логарифмической производной функции

/ (г)

относительно

точки,

являющейся нулем

функции / (г), равен порядку нуля, а отно­

сительно

точки,

являющейся

полюсом

функции,— порядку* этого

полюса

со знаком

минус.

П р и м е р

1. ^Найти

вычеты

логарифмической

производной функ-

ции

f

ч •

sin z

ее

нулей

и полюсов.

/ (г) —

- относительно

Р е ш е н и е .

Данная

функция имеет бесконечное множество про­

стых

нулей

z = kл

(Л;= 0,

± 1 ,

± 2 ,

...)

н один

простой

полюс г =

= — 1. Отсюда

res

(6 =

0.

: t

1,

± 2 ,

res

Ш

=-----I

2 = kTt / (2)

z =

- l

/ Й

Найти вычеты логарифмических производных данных

функций относительно их нулей и полюсов:

416.

/(г) = —

. _417.

/ (г) = cos3г.

418.

а)

/ (z) =

COS 2

б) / (2г) =

sin z.

Пусть

функция

/ (z) ^

0

аналитична

во

всех

точках

замкнутого

контура

С. Величина

2ni

J

f(z>

называется

логарифмическим

вычетом

функции

j (г)

относительно

замкнутого контура

С.

в ы ч е т е .

Пусть

функ­

ция

Т е о р е м а

о л о г а р и ф м и ч е с к о м

I (г)

является

аналитической в замкнутой области D, кроме

конечного

числа

полюсов,

и на границе С этой области не имеет ни

ну.гей, ни

полюсов. Тогда'разность между числом нулей и полюсов f (г)

в D,

подсчитанных

с их

порядками,

будет равна логарифмическому

вычету функции j (z)

относительно замкнутого контура С:

мс Чй*-*-Я,

еде N — число нулей

/

(z) в Ъ, Р — число полюсов /

(г) в D.

Логарифмический

вычет многочлена

п

Qn (г) =

2

а*2*

6=0

относительно

контура

С

равен

числу нулей этого многочлена (с. уче­

том их кратности) в области D, ограниченной контуром С.

/ (z) =

П р и м е р

2.

Найти

логарифмический

вычет

функции

=

ch z

j

-

Q

относительно контура C: |z; = 8.

Р е ш е н и е .

Находим

нули

zk функции /(z). Для этого решаем

уравнение

chz=r0

или

ez -\-er~ = 0.

Записав последнее

уравнение

положительным, если вектор вращается против часовой

стрелки,

и

отрицательным в противоположном случае).

является аналитической

В частном случае, когда функция с0 = /(г)

в области

D и

на

ее

границе

С,

на

которой

она

не обращается

в нуль,

логарифмический

вычет / (z) относительно С дает число нулей

/ (z)

в

D,

которое

равно

изменению

Arg/(г)

при обходе

контура

С.

деленному

на

2л:

П

а^гк,

Это

имеет

место,

например, для многочлена

Qn (z) =

2

П р и м е р

4. Найти

число

корней

-в

ft= о

правой

полуплоскости

Re г >

0 уравнения

Qb(z) = z 54: z4 + 2z3 — 8z— 1= 0 .

нулей внутри

Р е ш е н и е . - . В

силу

принципа

аргумента

число

контура С равно

N= ±

дс АгИ<Ш ,

где

контур

С состоит

из полуокружности

: [ зг [ =

/?,

R e z > 0 ,

и

ее диаметра

на

мнимой

оси;

радиус R считаем

столь большим, что

все -нули

многочлена

Q6 (z),

находящиеся

в правой

полуплоскости,

попадают внутрь

полукруга | г | <

Rt Re z >

0- Имеем

= Arg Л + Arg (l + 1 +

- 1- - 1 ) =

полуокружности Сд будет равно

%

Аг2 (*У= 5 ДСд Arg г + д с л Arg ( I + 7 +

|

^ ) •

Перейдем в этом равенстве к пределу при R-+co:

lim

л св Arg& (z) =

R - * со К

= 5 кЧтсоДС«А'Г2 г+ л1Т 00ЛСЛ

Arg (l4 - ] + -2

_

S . - I ) .

Оба

предела в правой части существуют

й равны •соответственно

lim

Arg г = л,

/?

оо

Л

*i!neA /? Ar* (1+

* +

I -

? ”

-? ) - 0,

Таким

образом,

lim’

Дс

Arg С6 (г) =

5я.

Я

R-+ со

Пусть

теперь

точка

г

движется

по v мнимой

оси от z = iR до

г —— iR. Положим

z = i7,

— R ^ t ^ R .

Тогда

откуда

Qb (U) = u(t) + iv (0 =

i*-

1+

i (t° -

2P -

8/),

U==zl*— \'

/

/П

\

v = fi — 2t3 —8t.

[ 4

Это —параметрические

уравнения

линии,

которую

описывает точка

w = Qb{z)

в плоскости

(и,

L»)>

когда

точка г пробегает мнимую ось

сверху вниз. Для построения этой линии найдем

точки ее пересечения

с координатными

осями

Ои

н Ov. Приравняв и

и

и нулю,

получим

соответственно

/ 4 - 1 = 0

или

t = ± \ ,

(2)

« —2*»т-8/ = 0

или

/ = ±

2,

/ = 0.

(3)

Заметим, что уравнения (2), (3) не

имеют общих

корней

(действи­

тельных),

так

что

многочлен

(г)

не имеет нулей на мнимой оси.

Следовательно,

применение

принципа аргумента

к

контуру

законно.

Корни

уравнений

(2)

и

(3)

располагаем

в порядке убывания, т. е.

1

2

15

0

2

1

0

—9

3

0

- 1

0

4

- 1

0

9

5

—2

15

0

Рис.

12.

Из рис. 12 видно,

что вектор

aj =

Qft(z) повернется на угол <р = 3л

в отрицательном

направлении. Следовательно,

Дс Arg Q6 (г) = 5л — Зл = 2л,

откуда число нулей

в правой полуплоскости будет равно

N = — = 1.

2л

П р и м е р

5. Найти число

корней уравнения

Q7 (г) =

г" — 2г — 5 = О

Q? 00= «(0+

i v

(0'—- 5+ * ( - A - 20»

откуда

u ~ — 5,

(

{

c/=

- * 0 e+ 2).

l

Так как иф О , то применение принципа аргумента

законно (Q7(z)

на мнимой оси не имеет

нулей).

Эта

линия — прямая (рис.

13).

Вектор w = Qf (г)

делает

пово-

рот

в отрицательном направле­

нии

на п

радиан.

Значит,

ДСя Ar2 Qi (*)

7я -

я = 6я

и

т. е. данное уравнение имеет

три корня в правой полуплос­

кости.

Для

следующих

урав­

нений

определить

число

корней

в правой полупло­

скости:

425.

z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2 =

0.

426.

г3 — 2z — 5 = 0.

427.

z3- 4 z 2 + 5 = 0.

428,

2z3 — z2 —7z + 5 = 0.

429.

z5 + 5z4 — 5 = 0.

430,

г12 — z +

1 = 0.

Т е о р е м а

Р у ш е .

Пусть функции f (г)

и ф (г),

аналитические

в замкнутой области D,

ограниченной

контуром

С,

во всех*точках

этого контура удовлетворяют неравенству

/ (г) }>

ф (z)

Тогда их

сумма F (г) = / (г) +

ф (г)

и

функция / (z)

имеют в области D одина­

ковое число нулей (с учетом их кратности).

П р и м е р

6.

Найти

число нулей функции

F (г) =

г8 —4г5.+ г2— 1

внутри

единичного

круга

\г

< 1 .

Р е ш е н и е .

Представим функцию F (z) в виде суммы двух функ­

ций f(z) и ф (z), которые

выберем, например,

так:

/ (z)'= —4Z6,

ф (z) = 2« + г2 — 1.

Тогда

на окружности |z | = l

будем

иметь

I / (z) i =

| —4z* | = 4,

| ф (z) ! =

| z84-Z2 — 1 ! ^

| z8

+

z2 1+ 1 = 3 .

Итак,

на границе

jz | =

l

круга

выполняется

неравенство

| / ( z ) l >

>

Функция

/(z) = —4z5-

имеет

пятикратный

нуль

в начале

координат. В силу теоремы Руше функция

F (z) = / (г) + ф (z) =

z*-

4А +

z2 - 1

имеет в круге

| z | <

1

пять

нулей. Заметим,

что возможен

и другой

выбор функций

/ (г)

и ф(г),

например,

такой:

/ ( г ) « 2« —4Z5,

ф (г) =

г2 — 1.

П р и м е р

7. Определить

число корней

уравнения

внутри

круга ! z

< 1 .

2в~ б 2 + 1 0 = 0

Р е ш е н и е .

Положим,

например /(г) = 10

и ф (z) = 2e—6г. На

окружности

| г | =

1

имеем

| / (г) | =

10,

! ф (г) 1=

| г»—6г | ==S I г« |+

61 г |= 7 .

Итак,

во всех

точках

окружности

| г | = 1

выполняется неравенство

| / (г) | >

ф(г) |.

Функция

/ ( г ) = 1 0 н е

имеет

нулей

внутри

круга

| г ! <

1,

а значит,

по

теореме

Руше,

не

имеет

нулей и функция

2е—6 г+ Ю.

П о л ьзу ясь

теоремой

Р уш е,

найти

число корней данны х

уравнений

в

у к азан н ы х

областях:.

431.

г4 — Зг3 — 1 = 0 ,

| г | < 2 .

4 3 2 .гз-} -г-М = 0,

| z | < i .

433.

г5 + га+

1 =0,

| г | < 2 .

434.

г8 +

6г +

10 = 0,

| г | < 1 .

435.

27гп - 1 8 г +

10 = 0,

| г | < 1 .

436.

гя — 6г* — г3 + 2 = 0,

12 1<

1.

П р и м е р

8. Сколько

корней

уравнения

г4 —5z+ 1 = 0

(4)

находится в

кольце

1 <

j г I <

2?

корней

уравнения

(4) в кольце

Р е ш е н и е .

Пусть

N — число

1 < I г j

<

2.

Тогда

N =

N2— Nlt где Nx — число корней уравнения (4)

в круге

\г

< 1 ,

JV2 — число корней уравнения

(4)

в

круге

| Z | < 2

(N2^ N

X).

Нетрудно

видеть,

что

на

окружности

|z | = l

уравне­

ние (4) корней не имеет: если

г | = 1 ,

то

z4 —5 г + 1 1 ^ 3 .

Для

нахождения

Nx возьмем / (г) = —5z, ф(г) = 24+ 1 . На окруж­

ности

г | =

1 имеем

/ (г)

>

2.

ф (z) ,

так

как

| / (г) | = | —5z | = 5 ,

| ф (г)

=

г4 +

1

^

| г4 , -f 1 =

Функция

f

(z) =

—5г

в круге

| z | < 1

имеет

один

нуль, следовательно,

А^1= 1 .

ф (z) = 1 —5z. На

окруж­

Для

нахождения

N2 возьмем

/(z) = z4,

н о с т и ^

| =

2

имеем

! f (z) | >

i ф (z)', так

как

| / (г) | =

| г4 | =

24 = 16,

| ф (г) ! =

| 1 —Зг I ^

1 + 5

! z | =

11.

Функция

/(z) = z4

имеет

четыре

корня

в

круге

! z I <

2,

и,

следовательно,

N2 = 4.

2 будет N =

Число

корней

уравнения

(4)

в кольце

1 <

| г | <

= 4 - 1 = 3 .

В

следую щ их

задачах

определить

количество

корней

данны х

уравнений

в

у казан н ы х к ольц ах:

437.

4z4-2 9 z 2+ 25 = 0,

2 <

| Z

|< 3 .

438.

Z7- 5

Z4+

Z2- 2 = 0,

1<

Iz I< 2 .

439.

ze - 8 z + 1 0 = 0,

1 < | z |< 3 .

П р и м е р 9.

Найти число корней уравнения

z2 — а& = 0,

где 0 < а < ег1,

в единичном круге ! z \ <

1.

/ (z) = z 2 и ф (г) = — аег.

На

окружности

Р е ш е н и е .

Положим

*| z | = 1 имеем

1/(2)! =

; 22 1=

1,

е2 \ = а \ ехНУj = аех ^

ае <

| ф (z) | =

[—

| =

о

1

в силу

условий

—

и 0 < а < е -1.

Итак,

| /(z) | >

! ф(г) |,

если

| г ( = 1.

Функция /(z) = z2 в круге

| г ! < 1

имеет

двукратный

корень в начале координат. Следова­

тельно,

по теореме

Руше

исходное

уравнение

в круге

имеет два

корня.

F (х) =

З а м е ч а н и е .

Рассмотрим

действительную

функцию

~ х ? — аех. Эта функция

на отрезке

—

непрерывна. Кроме

того,

F (—1) =

1 — ае~1>

0,

так

как

0 < ае*1.< е“2 <

1,

Z7 (0) =

— а < 6,

F (1)"= 1 — аг >

0,

так

как

а < е " 1.

Таким

образом,

на концах

отрезков

—

и

функ­

ция F (х)

принимает

значения

разных знаков. Отсюда

следует, что

данное

уравнение в

круге

\г

< 1

имеет два действительных корня

разных

знаков.

задачах

определить

число корней дан­

В следующих

ных уравнений в указанных областях:

440.

^

= 2

(Х >1),

| z ! <

1.

еR

441.

e* = azn,

где

п — натуральное

число

и | а | > ^ .

| 2 | < Я .

442.

г2 — cosг = 0,

| г | < 2 .

443.

24 — sin2 = 0,

| г | < я .

444.

22 +

cht 2=0,

| г | <С 0,5.

445.

ch г = г2 — 4г,

| г | <

1.

446.

2* = 4г,

|г | <

1.

П р и м е р

10.

Найти

число корней

уравнения

Х - г - е - * = 0, Я > 1 ,

в правой

полуплоскости

Re г >

0.

составленный

из

отрезка

Р е ш е н и е .

Рассмотрим

контур,

[-—*#, Ш] и правой

полуокружности |z , = /?. Положим

/( z ) = z — X

и ф (z)= e”z. На

отрезке

[— 17?,

iR]> где z = ty,

имеем

| / ( г ) | =

iy —k \ =

№ — 'к> 1,

-!<р(2) ;= ! е~г ,= е-‘У, =

1,

и следовательно,

| / (г) >

| <р (г) |.