3)

Если

g(n) = u (п) sh ап

или

g (п) = и (п) ch ап, то

частное ре­

шение

ищется

в виде

J (п) = й (п) sh an + й (п) ch ап.

Здесь и

п. 2) й (п) и й (п) — многочлены, степень которых опре­

деляется по правилу, указанному в п.

I).

П р и м е р

5. Найти общее решение уравнения

/ (я + 2) - 4/ (я +

1) +

3/ (п) ^ 2 Я ( я + 1).

(8)

Р е ш е н и е .

Характеристическое

уравнение Я,2 — 4Я, + 3 = 0 имеет

корни

^

= 3,

Я,2= 1 .

Общее решение

соответствующего однородного

уравнения

/ (п) =

*

С1 • 3я +

С2.

Так

как

число

2

не

является

корнем

характеристического уравне­

ния,

то частное решение неоднородного

уравнения ищем в виде

-Г(я) =

2*(Л я+ А ),

(9)

где

А

и

В — неопределенные

коэффициенты. Подставляя (9)

в (8),

получим

2Я+3 (Ап + 2А + В) — 4 • 2Я+1 (Ап + А +

В) + 3 • 2я (Ап + В) = 2я (я + 1)

1003.

/ (л+ 2) — 2/ (n+ 1) — / (п) = п.

1004.

/ (/t +

2) +

2/ ( л

+

I ) + / ( « )

= 3 " • 32, / ( 0 )

= 0 ,

/ (1)==0.

1005.

/(л +

2) + / ( « ) - sin2«, /(0) = 0,

/(1) =

1.

1006.

/ (я +

3) -

3/ (я +

2) + 3/ (я + 1) -

/ (л) = е\

1007.

/(« + 3 ) + 8/ (я) = 2Л.

III. У с т о й ч и в о с т ь

р е ш е н и й

р а з н о с т н ы х

у р а в н е ­

ний . Решение f* (п)

разностного уравнения порядка /г, удовлетво­

ряющее начальным, условиям

/♦ (0 )= /*

/* (!)= /,* .........f *( k - l ) =f *k_v

такое,

что

для

любого

решения / (я)

уравнения (I),

удовлетворяю­

щего начальным

условиям

f(0) = fo,

/(D

= /i. ....

/ ( * - D = / A- I ,

из совокупности

неравенств

\ f o - f i \ < & ,

< б ,

|/* _1- / L

1 | < 6

следует

неравенство | / (п) —/* (п) | <

е

при

любом

0

0.

Если

при

сколь

угодно

малом

б (е) >

неравенство

I / (n) —f* (п) ! <

6 не выполняется для какого-либо решения /(я), то

решение /* (я) называется неустойчивым.

| f (я) —/* (я) | < е выпол­

Если

кроме

выполнения

неравенства

няется

также условие

lim [ /( я ) - /* ’ (я)] =

0,

п -+ 00

ф (п +

Щ+

<?1ф (п + ^ — !) +

••• +

а *ф (л ) =

0.

В дальнейшем

мы

ограничимся

исследованием

устойчивости только

тривиальных решений однородных

уравнений.

П р и м е р

6.

Исходя

из

определения

устойчивости

разностного

уравнения, исследовать

на

устойчивость

решение уравнения

2/ (п + 2) — 2/ (я +

1) + / (я) =

о,

(10)

удовлетворяющее

начальным условиям / (0) = 0,

/(1) = 0.

Р е ш е н и е .

Решение данного

уравнения,

удовлетворяющее на­

чальным

условиям

/ (0) = 0,

/ (1) = 0,

есть

ибо

из

(10)

/(") = о,

*

/(n + 2) = / ( « + О — 2 / И -

Любое

решение

этого уравнения,

удовлетворяющее

условиям f (0) =

— /о> / (l ) = /i>

имеет вид

I* (") = -^J2 ро cos 7

+ '(/i -

/о) sin J

j .

Возьмем

произвольное

е > 0

и

покажем,

что

существует 6 ( е ) > 0

*такое,

что при

| /0 —0 | <

б

и

| f1 —0 j < б

имеет

место

неравенство

Ю—/• («)

1

г

ЯЛ

I

/г

г \

•

ял

<

е

2 л /2

/о C O S —

+

( / i —

/о )

S in

—

4

4

для

всех

я ^ 0 .

Это и будет означать согласно

определению, что

нулевое

решение /* (я) = 0

устойчиво.

Очевидно,

что

пп

г

П71 .

/I

fо cos т

+

(/, - - fо) sin

l/ol + l/i-/ol

2"/®

2п/г

~-

I /о l-H A —A i ■5 ! in !+

A | +

l /о I;

; 2( i f „i +! / , I)

для

всех

n ^ O .

Поэтому,

если

I /о +

A I <

у

.

то

и подавно

10 —/ * ( я ) |

<

е

для всех л $ : 0.

Следовательно,

если,

например,

g

то

при

| /0 \ <

5

и

| /! I <

б будет выполняться нера­

взять б(е) = — ,

венство

] О — f* (я) ( <с е

для

всех

п ^ 0,

так

что нулевое решение

данного

уравнения

устойчиво.

Эта

устойчивость

асимптотическая,

так

как

п

.

/Ш

lim

[О — /*

(Л)] — — lim

/о

C0S

“ У + ( / l * -/о)

sin

-£

= 0.

2П/2

П-+00

Л-*-00

Исходя

из

определения

устойчивости,

исследовать на

уравнения (1) пользуются следующим общим правилом

1.

Если

все корни

характеристического уравнения (2) по модулю

меньше

единицы,

то

решение / (п) =

0 уравнения

(1)

асимптотически

устойчиво.

хотя

бы

один

корень

характеристического

уравнения

по

2.

Если

модулю

больше

единицы,

то решение /(л) = 0

неустойчиво.

корни

с

3.

Если

характеристическое

уравнение

имеет

простые

модулями,

равными

единице,

а остальные

корни,

если

они

есть,

по

модулю

меньше

единицы,

то

решение f {п) =

0 устойчиво,

но не

асимптотически.

хотя бы один крат­

4. Если характеристическое уравнение име.ет

ный корень с модулем, -равным единице, то решение

/ (п) =

0 не­

устойчиво.

правило сводит вопрос об устойчивости

нулевого

ре­

Указанное

шения

уравнения

(1) к выяснению того, каковы

модули корней

ха­

рактеристического

уравнения

(2).

на

устойчивость

нулевое

решение

П р и м е р

7.

Исследовать

/ (п) =

0 уравнения

2/(п + 2 ) - 2 /( п + 1 ) + /( п ) = 0.

Р е ш е н и е ,

Составляем

характеристическое

уравнение

2Л2 —2Я-Ы = 0 .

(до+ l)* +

0, (щ-(- 1)*”*

— 1) +

... +

Ц* (оу— 1)л = 0

или

+ 6 1ш*-1 +

... +

Ьл =

0,

(\\)

лежащие в левой полуплоскости плоскости w.

(11) может быть ре­

Вопрос о расположении

корней

уравнения

шен с помощью

критерия

Рауса — Гурвица или критерия Михайлова.

П р и м е р

9.

Найти

необходимые

и достаточные условия

того,

что корни

характеристического

уравнения

Х~-{“Q^X-j-

=

0

(12)

находятся

в единичном круге ] Я | <

1.

Р е ш е н и е .

Полагаем

X =

-

Тогда

уравнение (12)

при­

мет вид

(w+ I)2 + aY(w+ I) ( ш - 1) + а2 ( ш - 1)2 = 0

или

( \ + a l + a2)w n- + (2 — 2a2) w + (l — а2+ д 2) = 0.

(13)

К многочлену

(13)

применяем

критерий

Рауса —Гурвица

(см,

§ 26). Матрица

Гурвица имеет вид

/2-—2д2

1"Ь^1“г^2\

\

0

1 -^ 1 + ^ /*