Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1235.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

ТО

—^ 4 1 - 0 0 3 (^ - 2 )] п(< - 2)

(здесь применяем теорему запаздывания: если f(t)\LF(p)t то

f(t-T)~e-P*F(p)).

Значит,

^ (0 = (1 — COS 011(0 — 2[1 — cos(/— 1)]Л — 1)+ [1 — соз(/— 2)]т|(/ — 2) или

* (0 = 2 [sinJ i- ii(/) —2sin2

11 (/— lH -sin2* - ^ ^ —2)J.

Решить следующие задачи Коши:

я " + 4* = /( /) , * ( 0) = * ' (0) = 0 .

					x" + x = f(t),
					х (0) = 1,	х' (0) = 0.
		/ft)			х" -]- 9х= / ((),
720.		1			х" -]- 9х= / ((),
720.		1			.V(0) = 0,	х' (0) = 1.
		17 2	\		.V(0) = 0,	х' (0) = 1.
		17 2	\	3
		/ft)			х”— 2х' -\-x=*f(t),
721.	1	•	1	!	х”— 2х' -\-x=*f(t),
721.	1	•	1	!
		>	1		х (0) = л-' (0)=0.
		*	1	i	х (0) = л-' (0)=0.
		т	_i	i

q 2d За t

722. Частица массы т движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы пй.х,' пропорциональ ной смещению, и силы сопротивления 2/мру, пропорцио нальной скорости. В момент времени 1 — 0 частица нахо дится на расстоянии хп, от положения равновесия и обла дает скоростью и«. Показать, что если имеет место равен ство п2 = Х2 —р2, то смещение частицы определяется выра жением

e~nt [/i.v0 cos nt + (o0 + M-Vo) sin nt\.

723. Частица массы m может совершать малые коле бания относительно положения равновесия и находится под воздействием восстанавливающей силы гпп2х, пропор циональной смещению. Она выводится из состояния покоя постоянной силой F, действующей в течение времени Т. Показать, что амплитуда колебания равна

2F	■ пТ	гг,
---;Sin„-		при /> 7 \
mu'	2	v

724.Математический маятник длины I выводится из положения равновесия малыми отклонениями точки под веса в горизонтальном направлении. Показать, что если точка подвеса переместилась иа расстояние а, то отклоне ние маятника равно а (1 — cos /г/), n2= g/l.

725.Частица брошена вертикально вверх со скоростью t»„. На нее действуют сила тяжести и сила сопротивления 2kmv. Показать, что в момент времени t она будет нахо

диться на расстоянии — (1 — <г2к/) от точки

бросания.

726. Материальная точка массы 2 грамма движется


прямолинейно		под действием -силы F,				возрастающей на а
дин в секунду.		В	начальный		момент	точка		находилась
в начале	координат		и имела скорость			уо= 10		см/с. Зная,
что начальная		величина силы			F0 —4 дн и что на расстоя
нии 450 см от начала координат скорость							v = 105 см/с,
определить, значение			величины а.
727. Материальная точка массы m движется прямоли
нейно, отталкиваясь от начала координат							О с силой F,
прямо пропорциональной				расстоянию (F = 4m.v). На точку
действует	сопротивление			среды R = 0mv.			В	Начальный

момент расстояние от начала равно 1, а скорость равна нулю. Найти закон движения точки.

728.Тяжелая точка массы т падает в среде, сопротив ление которой прямо пропорционально первой степени скорости. Определить наибольшую скорость трчки, если при v — 1 м/с сила сопротивления равна одной трети веса точки и начальная скорость vn — 0.

729.Материальная точка массы пг движется в среде, сопротивление которой прямо пропорционально первой степени скорости (коэффициент пропорциональности к). Какое расстояние пройдет точка до остановки, если" ей сообщена начальная скорость v0 и кроме силы сопротив ления никаких других сил нет?

730. Тяжелая однородная цепочка массы т и длины 2/. лежит на гладком горизонтальном столе так, что поло вина ее свешивается со стола. Определить закон движения цепочки во время ее соскальзывания со стола и найти вре мя соскальзывания.

731. Точка массы т находится на прямой, проходящей через два центра А и В, расстояние между которыми 2d. Центры притягивают точку с силами, прямо пропорциональ ными расстоянию до центра; коэффициент пропорциональ


ности	mk% одинаков		для	обоих центров. В начальный
момент	точка	находится		на расстоянии а от середины О
отрезка	АВ, не имея начальной скорости. Определить
закон движения точки.				,	массы
732.	Неподвижный		центр О притягивает точку
т с силой F = \xmr,			где	г —расстояние точки от	этого
центра	и р. — постоянный коэффициент. В начальный мо
мент г = а и скорость			ц = 0. Через сколько времени точка
достигнет центра О?				начальная скорость t'0 = 6 м/с.
733.	Лодке	сообщена

Через 69 с после начала движения эта скорость уменьша ется вдвое. Найти закон движения лодки, если сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости ло дки.

734. Материальная точка массы т — 2 совершает прямо линейные колебания по оси Ох под действием восстана вливающей силы, пропорциональной расстоянию точки от начала координат (коэффициент пропорциональности ра

вен 8),	и возмущающей силы F —4 cost. Найти закон
движения	точки, если в начальный момент ,v = 0 и ц = 0.

735. Определить движение материальной точки масс!71 т, притягиваемой к неподвижному ueHfpy О силой, прям0 пропорциональной расстоянию и равной k2m на расегой' нии, равном единице длины.

Вначальный момент точка находилась на расстояний

аот центра О и имела скорость vn, пёрпендикулярну)0

кпрямой, соединяющей начальное положение с центром О-

736.Решить задачу 735, предполагая, что точка М отталкивается от центра с силой, прямо пропорциональ' ной расстоянию, при том же коэффициенте пропорциональ' ности.

737.К цепи, состоящей из емкости С и индуктивности L, соединенных последовательно, в момент времени t —О

приложена	э.д.с.		E co s(со*-fa).	Начальные.ток и заряД
равны нулю. Показать, что ток в момент t равен
Е {со sin (oai -fa) —п cos a sin nt —со sin a cos nt)
где у2 =	;	предполагается, что		/г Ф со2.
738. К цепи предыдущего примера, с нулевыми начала
ными током		и зарядом в момент времени t = 0, приложена
э. д. с. Esinnt с			резонансной	частотой. Показать, что
ток равен	Е	sin nt,	где /z2 = £1g.

739. К сопротивлению R, обладающему индуктивностью L, приложена э. д. с. Е sin (со/ + «)• Начальный ток равен нулю. Показать, что ток равен

__ 1

Е{sin (у — а)е с + sin (сot + a — y)} (R2+ L2со2) 2,

, о)L

где tgy= -£ -.

740. К цепи, в которую последовательно включены L, R, С с начальными током и зарядом, равными нулю,

приложена		э.	д. с.,	равная Ех при	0 < Ц ^ Т и Е2 при
t > T \	Ех,	£2 —постоянные. Показать, что				при	ток
в цепи	равен
		e-Mt sin nt -		г >sin п (t -		Т),
где р = 21'		и	nt =	причем	предполагается,		что
д2>0.

		741.	Цепь,		состоящая		из индуктивности L,			сопротив
ления R и емкости С, соединенных последовательно,
включается				на постоянную э. д: с. Е.					Начальный	заряд
и	ток равны			нулю. Показать,			что ток / в момент времени
t	равен
				£			при	«2>	О,
				^-e-^sin nt			при	«2>	О,
				^	tervt		при	пг= О,
где		=				R
						2ТУ
		Р е ше н и е н е к о т о р ы х л и н е й н ы х
		д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й с п е р е м е н н ы м и
		к о э ф ф и ц и е н т а м и
		Пусть	имеем уравнение
		Оо (0		(0 + « 1 (0 х'”- ' 1 ( 0 + ... + « » (О х ( 0 = / (0-						(7)
где		а0 (/),	аг (/), ... , а„ (/) — многочлены					от I степени sgm, а /( 0 —
функция-оригинал. Будем						предполагать,		что задача Коши
			х 7-0 — х0,		х'	1/_о= АГо	„(Л -1) I		— г ! " - 1)	(8)
			х 7-0 — х0,		х'	1/_о= АГо	*	1г—0— ло		(8)

для уравнения (7) имеет решение. Пусть

х(0~.‘ Х(р).

В силу теоремы о дифференцировании изображения

(*v,sl (0 =■

(- 1)ft

{L{X<S)(0 ) ! = ( - D * ^ K

A' ( р ) - р

у1*~Щ

Здесь

L {*(S) (/)} — изображение

функции

x<s)-(().

уравнения (7)

преоб

Таким

образом,

применяя

к обеим

частям

разование

Лапласа,

мы

превратим (7)

в дифференциальное

уравне

ние m-го порядка относительно изображения

X (р)

функции х (/)•

Если

т <

я,

то

задача

интегрирования

уравнения (7)

упрощается.

П р и м е р

4. Найти

общее

решение

уравнения

tx"— 2х' —0.

(9)

Р е ш е н и е .

Пусть

х (/)

X (р). Тогда

х' ( 0

рА' (р)—х (0),

л " ( 0

- Х

( р ) - р х ( 0 ) - х ' (0),

Уравнение (9) принимает вид

- р-	~ 2рХ W +* (°) -		2рх (р)+ 2* (°)= 0
ИЛИ	dX (р)
		- Х(р) =	3* 10)
	dp
		р	р-

Интегрируя это уравнение как линейное неоднородное уравнение относительно X (р), найдем

откуда
				*(/) =		*(0 ) + С, 3!
есть решение	исходного			уравнения.				Бесселя
П р и м е р	5.	Рассмотрим уравнение						Бесселя
Г-х" (/) + Ы		if) +	(/2-		л2) * (0 =		0	(/ >	0,	п - целое)	(10)
и будем искать решение уравнения							(10), удовлетворяющее				началь
ным условиям	х(0) = х0, х/ (0) = дг1.
Пусть А' (/) =т= X (р).				Тогда
х' (/) =		рХ (р) -			х0,	х" (/) = р-х (р) —рх0 —
Далее
° Х"					(р} ~ РХ°					W b
<х’				1рх (Р)- * • ! - - £					fPx	(Р)Ь
и уравнение ( 10) перейдет в следующее:
$	ip** <p>i -			1	IP* ( p		) i +	^ - « 2* (р)=°
или
(Н -Р 5)		^	^	+	3Р	^ ^	+ ( 1 - /Г - )* (р ) = ° .				(И)
Для решения уравнения (11) введем новую независимую пере
менную и новую искомую функцию формулами
		p = sh«,				А'(р) =		^ .
Уравнение (11) перейдет пруи этом в следующее:
Его общее решение				г =		+ Car* « .
				г =		+ Car* « .

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.46 Mб81225.pdf
#
15.11.202212.48 Mб81226.pdf
#
15.11.202212.5 Mб31227.pdf
#
15.11.202212.62 Mб21230.pdf
#
15.11.202212.64 Mб21232.pdf
#
15.11.202212.71 Mб71235.pdf
#
15.11.202212.77 Mб121236.pdf
#
15.11.202212.77 Mб31237.pdf
#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб131245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf