973.

i f v + I f

+

1.8//"+ 22у’ + 1 2y = 0.

974.

//'v +

2//'" + 3//" + 2//' + у = 0.

975.

f

v +

11f

+

59//" + 1 07//' + 60// = 0.

976.

f

v +

5//"' +

18//" + 53//' +

60// = 0.

977.

//IV +6//'" +

15//"+ 18г/' +

10// = 0.

978.

f

v +

4//"' +

10//" + 1 2 //'+ 5// = 0.

Пусть имеем линейное

дифференциальное уравнение с постоян-

ными вещественными коэффициентами

аоУш +

а#'"-*' + - - + апу = 0.

(1)

Е го характеристическое уравнение имеет вид

аа*п+

alZn~i + ... + ап= 0.

(2)

уравнение

(2)

aQzn+ а$п~1+ ... + ап = 0.

ствует

такая

область,

что каждой ее точке соответствует

характери­

стическое уравнение,

все корни

которого лежат в левой полуплоско­

сти, то

эта

область

называется

областью устойчивости,

а гиперпо­

верхность, ограничивающая

ее,

называется

границей области устой­

чивости.

Пусть, например,

в

характеристическом

уравнении

(2) все

коэффициенты, кроме двух,

скажем ах и а2, — конкретные числа.

Предположим,

что

при

некоторых определенных значениях ах и

а2 данное

уравнение в

плоскости корней (т. е. в

плоскости

г) имеет

k корней, лежащих

слева, и (я —k) корней,

лежащих справа

от мни­

определяет

многочлен,

также

имеющий k корней, лежащих слева, и

n —k корней,

лежащих справа

от мнимой оси. Эту область обозначим

через 0(/г,

n — k) (k — целое, O ^ k ^ n ) .

Например, если характеристическое уравнение имеет третью сте­

пень, т. е.

п = 3,

то в общем

случае

в пространстве

коэффициентов

могут быть

указаны области

0 (0 ,3 ),

0( 1, 2) , 0( 2, 1) ,

0 (3 ,0 ) .

Область 0 (3, 0) и будет областью устойчивости.

0 (3, 0), могут

Заметим,

что

некоторые

области,

в

частности

отсутствовать.

пространства

коэффициентов характеристического

Разбиение

корней, расположенных в левой полуплоскости

плоскости z, чназы­

вается 0-разбиением пространства коэффициентов.

Аналогично

можно ^построить

0-разбиение

пространства любых

параметров,

от

которых *могут зависеть коэффициенты

характеристи­

ческого

уравнения.

коэффициенты

Положим, что в характеристическом уравнении (2)

зависят

от

двух параметров £ и ц

'этими параметрами могут быть,

в частности,

просто два коэффициента рассматриваемого уравнения).

Рассмотрим

семейство многочленов

где (£, ^ — вещественные

параметры,

а Р, Q, R — известные

много­

члены от г с вещественными коэффициентами.

Задача ставится

так:

w)

В

плоскости параметров

(£,

т])

(плоскость

найти

область

D (л,

0) такую,

что для любой

точки

(£,

ц) <= D (л, 0) многочлен

(3)

будет

иметь все корни г в

левой

полуплоскости,

или

убедиться,

что

такой

области

нет.

Построение областей D (&, n —k) основано на следующих

сообра­

жениях:

1.

Корни

алгебраического

уравнения

непрерывно зависят от его

коэффициентов,

т. е.

если

коэффициенты

многочлена

/(г,

л) мало

изменить, то и корни его изменятся мало. ,

D (к, л —£),

то

2.

Если

точка

(g, г|)

лежит

на границе области

Действительно, если, например, точка (£,

г]) е

D (л, 0), то много­

член (3) имеет при этом все корни в левой полуплоскости.

хотя

бы

Если

(£, 1]) лежит

вне D (л, 0), то

многочлен

(3) имеет

один

корень в правой

полуплоскости.

(£,

л)

из

области

D (л, 0)

При

непрерывном

движении

точки

в соседнюю непрерывно

меняются

корни многочлена /(z,

£,

rj).

Так

как

при этом появляется

хотя

бы один

корень

в правой

полуплоско­

сти,

то в

процессе изменения

(£, л) он

должен

пересечь

мнимую ось

Пусть

г = х + iy — корень

многочлена

/(г, 4 ,

л)*

Равенство

(z, €> л)= 0 равносильно

равенствам

(*. У) + Ч“г (х,

у) + иа(лт,

у) =

0,

(4)

{i^i (х,

У) + 11С2 (х,

у) + 1’3 (х,

у) =

0,

где uv

л2, и3 и vlt с2. 1'з —вещественные и мнимые

части ^многочленов

Р, Q и R соответственно.

(4)

Если определитель системы

то система

(4) однозначно

разрешима

относительно £ и гр

(5)

Уравнения (5) в точках, где A=^0, определяют однозначное

отображение плоскости

корней

многочлена

/(z, £, г|)

на

плоскость

параметров (£, л)-

неоднозначно: фиксированной

паре значе­

Обратное отображение

ний (£, л)

отвечает,

вообще говоря,

л корней.

Если

определитель

системы (4)

в точке

z0 = x0 + iy0 обращается

в нуль, то система либо

несовместна, либо одно уравнение является следствием другого.

В этом

последнем случае на плоскости параметров w существует

целая

прямая,

состоящая

из

точек (£, г\),

для которых zQ= x0 + iy0

является корнем

многочлена / (г, £, г|). Такую

точку (*0, у0), а также

соответствующую ей

прямую будем

называть

исключительными.

{ ^

m

(—о о < ( / < + оо)

(6)

I

П = Л(0. У)

и которую можно

получить, полагая х = 0

в уравнениях (5), а т^акже

из

исключительных

прямых,'

отвечающих

исключительным

точкам

оси

Оу (если таковые имеются).

нии

Заметим, что

уравнения

(6J дают образ оси Оу при отображе­

(5).

Это геометрическое место точек, будем называть линией L.

Линия L разбивает плоскость параметров на некоторое число

связных областей.

ее

Каждая из таких областей обладает тем свойством, что для любой

точки (£, г|) многочлен /(z,

г|) имеет одно и то же число корней,

=

У).

\ 4 = 4

(*. у)-

Проведем

через

точку

(дг0, у0) две линии: горизонтальную /

й вер­

тикальную

//.

Если

направление

поворота от / к //

сохра­

О п р е д е л е н и е .

няется при

отображении

(5),

то говорят,

что отображение сохраняет

У, \

В

' (х о,Ю

‘*

Л 1

1

(хО’Уо)

1° (хф )

^ = = = = ^ 7

(to ,1} о) 1,

0

' х

0

Рис.

42.

Рис. 43.

ориентацию в точке (л'0, у0)\ в противном

случае — что оно не сохра­

няет ориентацию (рис. 42 и 43).

Если

определитель

3 .

3

дх N дх > 0

3

3

ду

ду

па

области D (&,

n — k)

( k ^ n )

и

обозначим

через L границу этих

областей. Положительным направлением на L будем считать ю,

которое соответствует возрастанию у (начиная

с // = — со);

при этом

кривая L может состоять из нескольких ветвей, и при

полном обходе

оси

Оу ее участки

могут

проходиться по нескольку раз (не более я,

где

я —степень многочлена /( 2,

£, i])).

предположим,

что

Рассмотрим

некоторый

участок

кривой L и

при

полном

обходе

оси Оу он

обходится

г раз,

т. е. что этому

J f

Уг'

2

У?'

0

' Л

Рис.

44.

FHC. 45.

участку

соответствует

г

участков

у ^ у § (JLL=

1, 2..........г )

оси О у .

Положим

8^= 1,

если

направление

у^у2 совпадает с направлением

оси

Оу,

и

е^ = — 1 в противном

случае. Положим также 6 ^= 1 , если

на yfy*

определитель

Д >

0,

и 6Ц = —1—в противном

случае. Пусть

пересекает дугу wxw2 слева направо (рис. 44). Этому

пути в плоско­

сти

соответствует

г путей, пересекающих

отрезки

yfy$

оси Оу.

Если

бц • бм > 0,

то

соответствующий

путь

идет

из

левой

полупло­

скости в правую

и многочлен

/(*, Б. Л) = ^ ( * ) +

Ч 0(*)+Ж *)

„

частью

п

теряет

корень

с отрицательной действительной

частью;

в случае

е„ • 6Ц<

0 — наоборот.

случаях:

Действительно, пусть

ец • 6„ > 0. Это может быть в двух

О ец = 1,

2) в ц в —1,

6Ц = —1. В первом случае направление

отрезка

yfy^ оси

Оу совпадает

с положительным направлением этой

оси (ей = 1 ) и сохраняется

ориентация (6^=1), т. е. если в плоско­

сти до мы переходим дугу

w}w2 слева направо, то и в

плоскости z

мы переходим с

левой полуплоскости в правую (т. е. ось

Оу пересе­

каем тоже слева

направо,

рис. 45).

Аналогично

рассматривается

случай

< 0.

L на пра­

Итак, при переходе с левой стороны дуги

WjW2 кривой

вую сторону многочлен /(z,

£,

rj)

теряет

N =

+

е262 + .. . +

ггдг

корней с отрицательной действительной частью.

f (z) — z3 -f-

П р и м е р

В ы ш н ё г р а д с к о г о .

Дан

многочлен

-j- £z2+

+

1•

Найти область

О (3, 0).

Р е ш е н и е .

Полагая z =

iy и разделяя действительную и мнимую

части,

найдем

параметрические

уравнения

кривой L:

1 =

^ ,

П=</2-

Это —лежащая

в первом квадранте ветвь гиперболы

При пол­

ном обходе

оси Оу (у меняется

от

—со до

+ о о ) гипербола описы­

вается

два

раза; т. е. г — 2;

при этом

один

раз гипербола

проходится

в одном направлении при изменении

у

от

—со до 0.

отрезку wvw2

кривой

L отвечают два

отрезка оси Оу:

у[у\ и

y'jy'i

(рис. 46 и 47).

Определитель

А. на оси

Оу равен Д = — у*. Следова­

тельно, 61= \

(ибо при i i = l

у< 0), а б2 =

—1 (ибо при

ц =

2 у >0 ) .

При

переходе точки

w через

wxw2 слева

направо теряется

N корней

с отрицательной частью, где

iV =

e16l + e262 =

2.

В начале координат

5 = т)= 0

многочлен

/(z) принимает

вид & + \ и

имеет

,

z2.3 =

i + i У г

следовательно,

область

под

корни z1= —1,

------^------ *