- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
вообще, |
#_ |
|
|
|
|
(9) |
|
|
dp* {F* (p)}V ( - 1 ) л л*/(я). |
||
П р и м е р 5. |
Найти изображение функции f{n) = nen% |
||
Р е ш е н и е . |
Имеем |
|
|
|
еР |
|
|
|
еп —■— — . |
|
|
|
еР —е |
|
|
По теореме о дифференцировании изображения |
получим |
||
|
пеп ^ _ ± ( - J L - ) = |
-J .p+l |
|
|
dp \ еР— е 1 |
(<г Р - е у |
|
Найти изображения следующих функций:
846.f(n) = n2en.
847.f (л) = л2.
848.f (п) = л sin (п
V. Т е о р е м а об и н т е г р и р о в а н и и |
и з о б р а ж е н и я . |
||||
Пусть решетчатая функция / (п) удовлетворяет условиям |
|
||||
/ ( 0) = о, - ф |
-1 |
= ]■'- |
t |
- = 0. |
(10) |
t |
I/-0 |
t- + о |
|
|
|
Тогда |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F* (Р) dp, |
|
|
(П) |
m. е. деленце оригинала на. п соответствует интегрированию изо бражения в пределах от р до со.
З а м е ч а й и‘я.* а) При / (0) 0 интеграл в правой части (II) будет расходящимся и, значит, теорема об интегрировании изобра
жения |
не будет |
справедлива, |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ \ |
= |
lim |
Ш |
= аФ 0, |
|
||
то |
|
t |
1/-о |
+ о |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ ж |
^ + 1 F*(p)dp. |
( 12) |
|||||
в) |
Если для |
т = 1, |
2, .... k выполнены /словия |
|
|||||
|
|
|
lim |
М |
|
- |
0. |
|
|
то |
|
|
/—+ о |
tm |
|
|
|
||
|
|
со |
со |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
/(*)nk ^ jj jj F*(p)dp...dp,
к
т. е. деление оригинала на nk соответствует /г-кратному интегриро ванию изображения от р до со.
П р и м ер |
6. Найти |
|
|
g T l __ |
J __ Y I |
||
изображение решетчатой функции----- - |
------. |
||||||
Р е ш е н и е . |
Пусть |
/ (п) = еп — 1—л. |
|
||||
Проверяем |
|
выполнимость условий (10). Имеем |
|
||||
|
|
|
|
/( 0) = |
0, |
|
|
1- |
fit) |
= |
lim |
е(- \ *-t |
= |
.. |
|
lim |
|
-------------t |
lim |
|
|||
t -*■-)- 0 t |
|
/ - + 0 |
|
/-> + 0 |
|
||
Находим изображение функции
|
eP |
eP |
eP |
6 |
П ' eP—e |
eP— \ |
(eP— l)2' |
Так как условия (10). выполнены, то
1— п |
? Г eP |
eP |
eP 1 |
п |
•' } [ е Р —е |
еР— 1 |
( e P - l ) 2] dp~ |
|
р |
|
|
= [in (eP- е ) - In (eP- 1) |
|" |
= |
|
|
|
|
eP— 1 |
|
![1п 5 = Т + ^рЗ г ] |
= 1п : — |
|
|
о |
еР—е |
|
П р и м е*р 7. |
Найти изображение решетчатой |
функции |
|
(а Ф 0). |
Пусть / (n) = sh ап. Имеем |
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
1
еРг-1 #
sh ап
|
|
|
/ (0) = 0; |
ф |
-1 |
= |
lim |
|
0. |
|
|
Изображение функции |
f (п) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
и |
. |
Ч |
еР |
|
е р \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 \eP-eP- |
еР — ега ) |
|
|
||
Изображение |
данной |
функции найдем, |
используя соотношение (12): |
||||||||
sh ап . |
|
1 |
С ( |
еР |
|
еР |
\ . |
|
|
|
|
п |
• |
“ + |
2 |
J \ер—еа ~ eP—e-о- ) dp~ |
|
|
|||||
|
|
|
= |
а + ^ [In (eP — еа) — In (еР— *-«)] |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
еР -е0- |
. |
1 . еР —,(Га |
|
|
|
|
|
|
|
а + 0- |
1п : |
|
!“ + о |
lnl p I I i a - |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
gP—g-u |
|||
|
Найти изображения |
следующих функций: |
|
||||||||
|
849. |
Q” — 1 |
(я> 0 , |
|
1). |
850. sin ал |
(ос |
0). |
|||
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|