- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
ках |
Рассмотрим функцию / (0, имеющую разрывы |
первого рода в точ |
|||||
tk (k== 1 , 2, |
|
п) со |
скачками |
|
|
|
|
|
'1/е = |
т |
+ 0) - / ( ^ - 0) |
(Л = 1, |
2, |
.... /,). |
|
|
Пусть f{t) |
непрерывно |
дифференцируема |
в интервалах (tki |
|||
(fc= l, 2, .... л — 1) |
и при |
t < t x и t > t n. Тогда |
|
||||
|
|
/ ' ( o = / : w + i ; |
а* в (< -/*), |
(И) |
|||
|
|
п |
|
/: = |
I |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
где |
2 |
/i/гЛ (/ —/а-)—«сомкнутая» |
функция. Таким обра- |
||||
|
|
k= I |
|
|
|
|
|
зом, производная разрывной функции /( 0 составляется из ее обычной
производной /[ (0 |
(в |
интервалах гладкости /(/)) |
и суммы 6-функций |
в точках разрыва |
с |
соответствующими скачками |
в качестве коэффи |
циентов. Это правило важно для правильного применения теорем операционного исчисления к разрывным функциям.
Рассмотрим, например, функцию f(t), определяемую так:
/(0 = Ч (0 -2 » 1 (/— 1)+ Ч(*— 2).
Применяя формулу (11), находим
Г (0 — 6(0 —2 6 (/— 1) 4-в(/ —2),
откуда согласно соотношениям (10) |
|
|||
/' (/)тЧ |
- 2<г р + |
<г 2р. |
||
Далее |
\ |
|
|
|
/до |
l . e - P + |
--e -V , |
||
р |
||||
|
Р |
Р |
||
что дает снова
/ ( 0 - Ч ( 0 - 2 п ( < - 1 ) + Ч (< -2).
Нестрогие рассуждения без учета формулы (11) привели бы к сле дующему. Производная /(/) в обычном смысле равна нулю всюду, кроме точек f = 0, / = 1, t = 2, где она не существует. Но тогда и интеграл Лапласа от / ' (t) тоже должен быть равен нулю, откуда
иизображение /(/) получается равным нулю, что явно неверно.
585.Решить задачу № 580, найдя сначала изображе ние производной функции /(/), а затем изображение самой функции f(t).
586.Пусть а и Ь —два положительных числа, и пусть
f(t)*-F(p).
Показать, что функция
f {at — b), t > b~,
в M. Л. Краснов и Лр.