- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
где функция / (лг, у) разлагается в сходящийся степенной ряд
и/(О, 0) = 0.
Ре ш е н и е . Линеаризированная система имеет вид
х
{У У* х.
—
Точка покоя системы (19) есть (0, 0). Характеристическое уравнение системы (19)
— k |
или |
# * + 1 = 0 |
|
- 1 |
|||
|
|
(19)
(20)
имеет часто мнимые корни klt2 = ± i . Точка покоя (0, 0) системы первого приближения (19) устойчива (центр). Так как действительные* части корней характеристического уравнения (20) равны нулю, то согласно замечанию на стр. 231 вопрос об устойчивости точки покоя (0, 0) требует дополнительного исследования. Для исследования на устойчивость точки покоя (0, 0) системы (18) применим второй метод
Ляпунова. Беря v (х> у) = |
(*3 + //2), находим |
|
|
- (* * + * • )/(* , |
у). |
Отсюда: если /(*, у ) ^ 0 |
в достаточно |
малой окрестности начала |
координат, то точка покоя (0, 0) устойчива; если / (х, у) — положительно
определенная функция |
в некоторой окрестности начала координат, |
то точка покоя (0, 0) |
асимптотически устойчива; если f (х, у) < 0 |
в достаточно малой окрестности начала координат, то точка покоя (0, 0) неустойчива. Этот пример иллюстрирует тот факт, что в' некоторых случаях нельзя судить об устойчивости точки покоя по первому приближению.
Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
985. |
И |
= — х-\-2у —Зх2, |
- + |
||
|
\ |
у = Зх - 2у: + 2х2 + у*. |
936. |
|
х = — sin х + Зу + х5-, |
|
у = - , х - 2 у - жу[ |
|
|
|
|
937. |
( х = 2ел + 5 у - 2 + х*, |
|
\ у = х + 6 cos у —6 — у2 |
||
|
j |
х = — 3A:+ 4t/ + sin3^ — г/2, |
938.\ у = — 2л:Н- sin у-\-еухг. ( к — х — 2 sin у — у3sin х,
939. \ у = 2у — 3х — ха.