779.

Определить движение тяжелой

материальной точ­

ки, брошенной с

начальной

скоростью- ©„

под

углом а

к горизонту, в среде, сопротивление

которой пропорцио­

нально

первой степени

скорости

(F = tnkv).

780.

Частица

массы т с зарядом е вылетает из начала

координат со скоростью (и, 0,

0).

На

нее действует

по­

стоянное

магнитное поле Н,

параллельное оси Oz, и со­

противление среды кию, где © — скорость частицы. Пока­

зать, что ее координаты в момент времени t равны

А- =

{е1" -

cos U +

\

sill Xl),

У — ~ p q rp - +

щ г р

cos U +

k sin U),

где X =

eH

— , с —скорость света.

781. Частица движется в сопротивляющейся среде,

действующей

на

нее с

силой

F —2Х©,

где

© — скорость

частицы,

и

притягивается

к

точке

10, 0)

с силой

р2/-

(т = 1).

В точке

(а, 0) частица

обладает

скоростью ©о,

параллельной оси Оу.

Показать,

что при р > Х

траекто­

рия частицы определяется

уравнениями

у = ^ eru sin cot,

где © = ] /р 2 — X2;

г — расстояние

движущейся

точки

от

точки (0,

0).

782.

Материальная точка А с массой т, находившаяся

на расстоянии а от оси Ох, получила начальную скорость

©о, параллельную оси Ох. Точка А притягивается осью

Ох с силой F, прямо

пропорциональной расстоянию от

нее; коэффициент

пропорциональности

равен т№. Найти

уравнения

движения и траекторию точки.

откуда

Ф« " - Т ^ Г hr

Li”>

(S)

Для

Ф (р) находим оригинал ф (JC) — решение интегрального ура^е-

ния

(4).

1.

Решить

интегральное

уравнение

П р и м е р

Ф (х) =

cos * + J (х —/) ф (t) dt.

(7)

как

Р е ш е н и е . Переходя

к

изображениям и рассматривая интеграл

свертку

функций,

получим на основании

правила изображения

свертки

ф (р) =

—

+ ^

ф (р).

(5)

откуда

р* + 1

■

рз

ф (Р) =

(9)

(р 2— о

(ра+ о

Находя

оригинал,

для

Ф (р),

получим

решение

интегрального

ура0‘

нения (7)

Ф (х) =

(cos х +

ch ж).

(Ю)

Решить

интегральные

уравнения:

X

783.

ф (х) =

sin х

+

$ (х — t) ф (() dt.

о

X

784.

Ф(х) = х + 1

J (x — t)3 y ( t ) d t .

X

785.

ф (дг) =

^ sin (jf — t ) ( f ( t ) d t .

о

X

\

786.

ф (х) =

cos х +

$ ех~‘(р (0 dt.

о

X

787.

ф (*) =

1 + * +

$ со8(х -

0

ф (/)<И.

х

О

78$.

Ф (х) =

£ +

J

(х -

/) ег ('-*> ф (/) dt.

789.

Ф (х) =

ег* +

'

\

(х - /)* <р (/) dt.

790.

ф (*) =

* + 2 jj [(* - 0 - Sin (X -

0] Ф (0 dt.

0

X

•

791.

ф (л:) =

sinx + 2

$ cos (х — t) ф (t) dt.

о

792.

ф(лг) =

X

О

х

793.

ф (х) =

1 + j

jj sin 2 ( x - t ) q > (t)d t.

О

x-

794.

ф (х) =

ех — 2

$ cos (х — t) Ф (t) dt.

о

X

795.

ф (JC) =

1 + - g - j ( x - t ) 3 cp(t)dt.

X*

796.

ф (х) =

х — $ sh (л: — /) ф (t) dt.

о

X

797.

ф (х) =

sh х — $ ch (х — t) ф (t) dt.

о

U ( * - О ф (0 <#=/(*).

(11)

где / (х) —известная функция, ср (д:) —искомая функция.

При этом

мы предполагаем

К (*,

х) Ф 0.

Пусть F (р) =

/(*),

1 (р )ф К (х), Ф(р)==ф (*). Применяя к обеим

откуда

Цр) -Ф (p) = F (р),

^

ф < й - Щ ’ 'Ч ( р ) , ‘ о'

Оригинал для

Ф (р) будет решением ф (х) интегрального уравне­

ния (11).