Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1235.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4541 42 43 44 45 > Следующая >>>

буквенные параметры, то вычисление определителей при больших k затруднительно.

Можно показать, что если условия (4) выполнены, то все коэф фициенты многочлена (1) положительны

До > 0, аг > 0, ..., ап > б.

(5)

Как уже отмечалось, условия (5) являются необходимыми, но не

достаточными		для		того,	чтобы все корни /(X) располагались в левой
полуплоскости			R e X < 0 . Однако при выполнении условий (5) неравен
ства (4)	уже	-не являются независимыми. Так, например, при								п = 5
условия	Рауса —Гурвица приводятся						к	двум неравенствам: Д2> 0 ,
Д4 ;> 0. Это позволило Льенару						и Шипару установить другие условия
устойчивости,		в которых число				детерминантных			неравенств примерно
вдвое меньше, чем в условиях (4).									того чтобы многочлен
У с л о в и я			Л ь е н а р а —Ш и п а р а . Для
			/ (А,) =		а0Хл+ а 1Хл_1 + ... + ал_1Х + дл					(Г)
имел все	корни		с отрицательными действительными частями,							необ
ходимо и достаточно, чтобы:								были положительны:
1) все коэффициенты многочлена /(X)
			а0> 0 ,		01 > 0,	а2>	0,	..., ап > 0;
2) имели место детерминантные неравенства
				Д/1—1 '^> 0»		A/z—з^		0»		(6)
(здесь, как и раньше, Дл—определитель Гурвица 6-порядка).
П р и м е р			2.	Рассмотрим		то же	уравнение, что и на стр. 238:

yV+y'V + 7у" + V + 1о / + Зу= 0.

Здесь

а0 = а1 — \ > 0, а2 = 7 > 0, а3 = 4 > 0, а4= 1 0 > 0 , а5 = 3 > 0 ,

т. е. первое условие критерия Льенара —Шипара выполнено.

Далее,	1	0	0
1	1	0	0
4	7	1	1	= 3 > 0,
Да = 3	10	4	7	= 3 > 0,
Да = 3	10	4	7
0	0	3	10

т. е. выполнено и условие 2.

Таким образом, тривиальное решение уравнения асимптотически устойчиво.

Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:

954.i f v + 7у"' + 1 2у" + 23у' + Юу = 0.

955.у™ + 2у‘" + 4у" + 2у' + 5у = 0.

956.ifv + y"’ + 3y" + 2y'+ y = 0.

957.i f + 2 f *+ Зу'" + 2у" + У' + У= 0.

При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений

958.у", + ау',+ 2у' + у = 0'?

959.у™ + 2у"' + у" + ау' + 3у = 0'>

960.у1v + 3ут+ ау" + 2у' + у = 0?

При каких значениях а и р будут устойчивы тривиаль ные решения следующих уравнений:^

961.у,''+ау" + 2у' + $у = 0'?

962.у"' + ау" + $у' + 3у = 0'?

963.ylv +ay'" + 2yf' + $y' + y = 0?

964.Какой вид имеют условия Гурвица для возврат ного уравнения

^4 + М 3 + <Л2 + Р*+ 1 = 0 (р и <7— действительные)?

§ 27. Геометрический, критерий устойчивости (критерий Михайлова)

Пусть имеем дифференциальной уравнение п-го порядка с постоян ными вещественными коэффициентами

<*оУш +

+ .. . ■+ апу = 0.

(1)

Вопрос об устойчивости решения дифференциального уравнения (I) сводится к вопросу о расположении корней характеристического уравнения

a0kn + aiXn-' + ... + an = 0

(2)

на комплексной плоскости. Последний решается с помощью ниже следующего критерия Михайлова.

Пусть дан	характеристический многочлен
	f (к) =	Д(ЛЛ +	а1Хл-1 + .. . + an-ik +	ап.	(3)
Подставив	в него к = /со,		получим
где		/(/со) = и (со)+ /у (со),			(4)
	и (со) =	ап - ап_2(а2+ ал4со4 — ...,		1
					(5Г
	и(со) =	ал_1со —ал_3с03 + ал_6со5 —...		)

Величину /(/со) согласно (4) и (5) при заданном параметре со
можно изобразить на комплексной плоскости uOv					в виде вектора.
Если изменять	параметр со в		интервале (— со, +	00)»	то конец этого

вектора опишет некоторую* кривую, каждая точка которой соответст вует определенному значению со.

Полученный таким образом годограф вектора /(/со) называется кривой Михайлова для многочлена /(X) (рис. 38).

При изменении со от —оо.до + со вектор /(ко) повернется на некоторый угол ср. Если многочлен f (К) имеет т корней с положитель ными вещественными частями, а остальные п —т корней с отрицатель ными, то


Ф = (д — т) л; + т (— л) = (п —2т) л.			(6)
З а м е ч а н и е . Так	как	функция
и (со) четная, то кривая Михайлова			сим
метрична относительно оси Ои, и поэтому
достаточно строить часть	кривой	Михай

лова, отвечающую изменению параметра со от 0 до + со. Тогда формула (6) примет вид

ф = (я - т) у + т ^ ~ j ,= (п - 2т) ~ .

(7)

Для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения f(k) = 0 имели отри цательные вещественные части, т. е. в формуле (7) должно быть т —0.

Отсюда вытекает следующая формулировка к р< и т е р и я .М и х а й-


л о в а :	для устойчивости тривиального решения уравнения (1) необхо-
димо и достаточно, чтобы:					от 0	до + о о	совершил поворот
1)	вектор / (/со) при изменении со
на угол ф = п ^ 9 пг. е. сделал				оборотов		против	часовой стрелки;
2) годограф /(/со) при изменении со от 0 до							+ оо не проходил
через нулевую точку.							(1) необходимо и
Иначе, для устойчивости решения уравнения
достаточно,		чтобы	кривая Михайлова		проходила поочередно п квад
рантов	против часовой стрелки, окружая все время начало координат.
Поочередное прохождение квадрантов означает, что кривая пооче
редно	пересекает оси координат. Следовательно, координаты							и (со) и
v (со) точек		кривой	Михайлова	для	устойчивости		решения	должны

поочередно обращаться в нуль. Отсюда вытекает вторая формулировка к р и т е р и я у с т о й ч и в о с т и М и х а й л о в а :

Для устойчивости решения уравнения (1) необходимо (а при усло вии, что кривая проходится против часовой стрелки —и достаточно),

чтобы все корни уравнений и (со) =	0; v (со) = 0 были вещественными
и перемежающимися друг с другом,	т. е. чтобы между любыми двумя

корнями одного из этих уравнений находился корень другого уравнения


П р и м е р .	Исследовать		на устойчивость тривиальное решение
уравнения	у ^ + 2у'" + 3у" + 2у’ + у = 0.
	у ^ + 2у'" + 3у" + 2у’ + у = 0.
Р е ш е н и е .	Составляем		характеристический многочлен
Далее	/ (К) =		+ 2A,3 -f ЗА*+ 2 1 + \.
Далее	/ (/со) =	со4 — 2/со3 — Зсо2 2/со + 1,
	/ (/со) =	со4 — 2/со3 — Зсо2 2/со + 1,
	и (со) =	со4 — Зсо2 -f- 1,
	v (со) = — 2со3+2ш = 2со (I — со2) = 2со (1 — со) (1 + со).

9 М Л. Краснов и др.

Будем изменять со от 0 до + о о и построим кривую (рис. 39)

(и — и (со), \v = v (со),

(1)

1 | /

3 +

o '

— 1-

—

•

lim

= 0.

со -♦ -f 00 U

Угод поворота ради уса-вектор а

<р = 4 у

= (п — 2т) у .

Отсюда

я — 2/я = 4; ,п =

следовательно, т = 0.

Таким

образом,

все корни

характеристического

уравнения лежат

в левой

полуплос

кости,

т. е.

тривиальное

реше

ние у =

0 асимптотически

устой

чиво. К этому же выводу можно

было прийти, исходя

из

крите

рия Льенара—Шипара, посколь

ку все

коэффициенты

характе

ристического

уравнения

поло

жительны и

^л-1 — Дз —

2 = 4

•О,

Рис.

39.

O'*

ДП_3 = Д | = 2 > 0 .

Исследовать на устойчивость тривиальные решения

уравнений:

965. 2

4у'" + 3 / + 3у' + у = 0.

966.3t/IV +'4у'" + 3 / + 3 / + у = 0.

967./ + 5 / v + 10у"' + 11 у" + 7у' + 2у = 0.щ

968./ v + 5 /'4 - 4 /' + 3 / + 2t/ = 0.

969.	(/v + 2f/rv +	2у"' + 4 6 / + 8 9 / + 260у = 0.
970.	//v - f / v +	7у'" -t 4 / + 10 / + 3y = 0.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4541 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.46 Mб81225.pdf
#
15.11.202212.48 Mб81226.pdf
#
15.11.202212.5 Mб31227.pdf
#
15.11.202212.62 Mб21230.pdf
#
15.11.202212.64 Mб21232.pdf
#
15.11.202212.71 Mб71235.pdf
#
15.11.202212.77 Mб121236.pdf
#
15.11.202212.77 Mб31237.pdf
#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб131245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf