Решить уравнения:

48.

(х + i)n — (х — i)n= 0 (х —действительное).

49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\

50.

Найти вектор, в который перейдет после поворота

на 45°

и удвоения вектор г = 3 + 4/.

в

точке

г0 = 1 + *\

51.

Центр

квадрата

находится

а одна

из

вершин — в точке гг= 1 — /.

В каких точках

находятся

остальные вершины квадрата?

гл —1 = 0

52.

Пусть гь

г9,

zn —корни

уравнения

(п> 1).

что

<?i + ?2 + --- + Zn = 0.

Доказать,

Найти следующие суммы:

53.

a)

sin x + sin 2х + . . . + sin пх\

б)

cos х + cos 2х + ... + cos пх.

54.

a)

sinx + sin3x + ... + sin(2tt — \)х\

б)

cos л' +

cos Зх + ... + cos (2лг — 1) я.

Говорят,

что в

области D определена функция до = /(г), если

каждой точке

z e D

поставлено в соответствие одно (однозначная

функция) или несколько (многозначная функция) значений до.

Таким образом,

функция до = /(г) осуществляет отображение то­

плоскости

до.

Пусть

z —x-\-iy и w = u + iv. Тогда зависимость до=/(г) между

комплекбной функцией до

и комплексной

переменной г

может быть

описана с помощью двух

действительных функций

и и v действитель­

ных .переменных х

п у

и = и(х, у),

v = v(x,

у).

П р и м е р

1.

Пусть до = 23 — iz.

получим

Полагая z = x-\-iy> w — u + iv,

и + 11'= (х + iy)3 — i (л* — iy) — (Jt3 — 3ху- —y) + i (3х2у — ip —x).

Следовательно,

равенство

до = г3 —zz равносильно

двум

равенствам

( и = х3 —3ху- —у,

\

V= ЗХ“У—х — у3.

мые части:

55.

a) w^= z — /г2;

б) w = z2 + i\ в) w = i —г3; r) w =

1

v

/ г+1

ч

z

= - ;

д)

1 1 ~

е)

ш= - .

*

*

указанных отображениях:

б)

z0 = l — /,

w--=(z — i)2\

56.

a)

ZQ= — г,

w = z2;

в) г0= 1,

w =

г)

z0 = 2 + 3f,

ш =

Пусть

в

плоскости

z

кривая

задана

уравнением

F (xt у) = 0.

Чтобы

найти

уравнение

образа Ф (а,

и) = 0 этой кривой в плоско­

сти w

при отображении

с помощью функции w = f (z) = u-\-ivt нужно

исключить х

и у из уравнений

( и = и(х,

у),

v = v (x ,

у),

F(x,

у) = 0.

*“ уХ

}

или

z=z(/)=x(t) + iy (t),

то параметрические уравнения ее образа

при отображении w ~ f(z) =

= и + iv

будут

u = u[x(t),

y(i)] = U(t),

)

v = v [ x (t)t y(t)] = V(t).

f

П р и м е р

2.

В

какую кривую отображается единичная окруж­

ность | z ! =

1 с помощью функции ay = z2?

1, то

Р е ш е н и е .

Так

как

по условию [z ] =

Итак,

образом

|ш | =

И

а=1 -

в

плоскости г

является

ок­

окружности

|z | = l

ружность

| w I =

1

в

плоскости

w,

проходимая

дважды. Это

следует

из того,

что

поскольку

w = z2t то Arg w = 2 A rgz+2£;t,

так

что

когда точка z описывает полную

окружность

| z | = l ,

то ее образ

описывает окружность | щ | = 1

дважды.

П р и м е р

3.

Найти образ

окружности

z = R cos / -f*iR sin t

( 0 ^ t < 2л)

при^втображении w=

Р е ш е й и е .

Пусть

z= x-\-iy.

Данное

уравнение

окружности

можно записать

в виде

x = R c o s t, y = R s m i

(O ^ t < 2 л ).

Отделим

действительную и мпимую часта

функции w = u-{-ivt Имеем

z

22

—j/2

,

2ху

Отсюда

и -р iv = т

А'- +

г/-

‘

* А'“

у 2*

v2- / / 2

2ху

Подставляя

x —Rcost

и y = R sm t

в

и п v, получим параметриче­

ские уравнения образа

окружности

cos2 1— sin2 t

= cos 2/,

~cos21+

sin31

(*)

2 cos / sin t

= sin 21%

~cos31+

sin21

ИЛИ U“ -\-v~ — \ .

есть

единичная

окружность, проходимая

дважды,

Итак, образ

что следует

из

того,

что 0 ^ / < 2 я ,

и

из формул'(*).

57.

Установить,

на какие

линии

плоскости

отобра­

жаются

с

помощью функции

= у

следующие

линии

плоскости

г:

а) | z 1=

; б)

Rez=^0; в)

argz =

~ n ;

r) argz2 = —

д) R ez= Im г;

е)

|z | = z.

осей

ОХ и OY при

58.

Найти

образы координатных

следующих отображениях:

а)

б)

гг, = Н -

а) eZi+ Zt= eZl • e7*t

где

z1

и

z2 —любые комплексные величины;

б)

gz+2kni = ez (k = 0t j : l , ± 2,

*!..),

т. e. ez

является периодиче­

ской функцией с периодом 2л/.

функции sin г

и cosz определяются сте­

3.

Тригонометрические

пенными рядами:

г:»

22/х+1

sin г =

z

ЗТ

(2и-И )! + " '

,

*5

, г*

2 2/1

« * * “

1 -2 1

+ 41

••• +

(- 1 ) '‘ (2rtji + -"

абсолютно

сходящимися при любом комплексном значении г. Функ­

ции sinz

и сое z —периодические

с

действительным периодом 2л

и

имеют

только

действительные нули

г = 6л и

г = л/2 + 6л соответст­

венно,

где

6 =

0, i t l ,

± 2 , ...

Для функций ez,

sin г

и cos г имеют место формулы Эйлера

откуда

eiz = cos г +

i sin z,

e~iz = cos z —i sin z,

(1)

ciz -|-er

ei*—e~12

cos z =

sin z = -

~2i

‘

(2)

Функции

tg z и ctg z определяются

равенствами

sin z

COS 2

tgz = cos z *

ctg 2 = sin z

(3)

4. Гиперболические

функции

sh z, chz, th z,

cth z

определяются

равенствами

ez + e~z

sli z

chz —

№

2

*

th z =

sh z

cth z =

ch z

(5)

ell z *

sh z

sin z = — i sh iz,

sh z = — i sin iz,

cos z = ch izf

ch z = cosrz,

igz —— i th iz,

th z = — i tg iz,

ctg z =

i cth iz,

cth z — i ctg iz.

6. Логарифмическая

функция

Luz, где

z Ф 0, определяется

как

функция, обратная

показательной,

причем

Lnz =

ln | z ! + / Argz = In J z | +

i argz+2fou

(6)

Ln z = ln z -f 2Ш ,

6 = 0, + 1 , ±2,

Ln

= Ln zx — Ln z%.

Arctg 2, Arcctg 2 определяются

как функции, обратные соответственно

к функциям sin ш, соsw, tgio,

dgu>.

Например,

если z =s i nw,

то w называется арксинусом

числа г

н обозначается

w = Arcsine.

Все эти функции являются многозначными и выражаются через

логарифмические функции

Arcsin 2

=

— / Ln (iz + V 1— z2)*»

(7)

Arccos z

= — i Ln (z + K z2 — l)i

(8)

Arctg2

=

- ~

L n - | i ! i ;

(9)

Arcctg z =

— ^

(10)

Эта

функция, вообще говоря, многозначная; ее главное значение

равно

9. Общая показательная функция w —az (а ^ -0 —любое комплекс­

ное

число) определяется

равенством

а* = ег 1па.

Главное

значение этой многозначной

функции az = б,г1па.

Выделить действительную

и мнимую части у следую­

щих функций:

59.

a)

w = 2z — 1;

б) w = z + z2; в) w ^ z r 1.

60.

a)

w = e~z\ б)

w = ez*\ в) c^ = sinz; г) ш = сЬ(2 —f).

61.

a)

w = 22*l б)

w = shz;

в) &y = tgz.

П р и м е р 4.

Найти значение модуля функции uy = sinz в точке

2 = Д-|-I 111 ( 2 + ^ 5 ) .

Р е ш е н и е .

Пусть z= x-j-iy. Тогда'

w = sin х cli у +

i sh у cos х.

Модуль функции

sin г

равен

| sin 2 J = V sin- х ch2 у +

sh- у cos- л* =

«=V sin2 х ch2 у +

sh2 у (l — sin2 л) = V sin2 x + sh2 y.