Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1235.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4540 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Т е о р е м а (об асимптотической устойчивости				в целом).. Если
существует, бесконечно большая		определенно положительная функция
о(хъ	...» хп) такая,. что ~ < 0	вне Е и	на	£, где множе-
ство	at		at
	Е не содержит целых траекторий		(кроме нулевого положения

равновесия), то тривиальное решение системы (2) будет асимптоти чески устойчиво в целом.

П р и м е р 1. Рассмотрим уравнение
х -{-х~х -}-Xs —0.	(3)

Запишем уравнение (3) в виде эквивалентной ему системы уравнений

(	* = У'	(4)
\	у = — Х3 - Х 2у.	УЛ

В качестве функции Ляпунова v(x, у) возьмем функцию

»(*. y) = { i / 2+ { A

Имеем

^ = УУ + *®Х = — xsy —х2у2+ xsy = — х-у2.

Очевидно, что v (xt у)-+са при ,v2 + r/2-*oo. Далее, v (х, у) обраща ется в нуль только на осях координат (множество £). Очевидно, что ни одно решение, за исключением точки покоя в начале координат, не остается на этих осях при всех / ^ 0 . В самом деле, во всех точках оси OY, отличных от начала координат О, угловой коэффициент

dty _	— Xs—х-у
d'x “		у
имеет конечное значение, а потому		на этой оси не может лежать дуга

траектории. С другой стороны, при подходе к оси ОХ угловой коэф фициент ^ - > ° ° и потому на оси ОХ не могут находиться дуги

траекторий. Следовательно, множество Е не содержит целых траекто рий (кроме начала координат).

В силу теоремы точка покоя (0, 0) обладает асимптотической устойчивостью в целом.

947. Показать, что если тривиальное решение линей ной автономной системы асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова, то оно асимптотически устойчиво в целом.

Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):

948.х + „v3 + (X2 + 1) л' = 0.

949.Л + X*+ (X2 + X + 2) (2х+ л*5) = 0.

950.х + х2е-Ч + х*+ 2х = 0.

Может оказаться, что система (2) не обладает полной устойчи востью, но тем не менее для нее может существовать область асимпто тической устойчивости.

Под областью асимптотической устойчивости системы (2) пони-
маётся	область,		содержащая начало				координат О и обладающая тем
свойством, что все траектории, начинающиеся									в этой	области, стре
мятся при t-+co к началу координат.
В линейных системах всегда бывает только полная устойчивость,
тогда как в нелинейных системах						она может не быть таковой.
Т е о р е м а.			Пусть v (хъ ...,			хп) — функция, имеющая непрерывные
частные производные первого порядка для всех Х(. Обозначим через
множество всех			точек,	где	v (xlt		хп) < I.		Если	'множество QL
ограничено и в нем
1)	v (хг,	...»	хп) >	0	при	Xi ф	О,	(*=1, 2,		п),
2)	if (xlt	...,	хп) <	0	при	Xi ф	О

то начало координат — асимптотически устойчивое положение равно

весия системы

(2),

Q,* — область

асимптотической

устойчивости.

П р и м е р

Указать область

асимптотической

устойчивости

уравнения

%+ е (х2— 1) х + х = 0

(е < 0)

(уравнение Ван-дер-Поля).

уравнение в

виде системы

Р е ш е н и е .

Перепишем

У =

— х.

Единственная точка

покоя —начало

координат.

Возьмем v(x,

у) =

■=— г р -. Тогда

v (х, у)= уу + хх = — вх2 I — — 1J.

Очевидно,

v ^ O

при

х2г^3 (е < 0 ) . Таким

образом,

в круге

х2 + у2< 3

имеем: с ;> 0

при

х2ф у 2ф 0

и if <

0 при

х2 + у2ф 0,

т. е. этот

круг

содержится

области асимптотической

устойчивости.

имеем

систему

У с т о й ч и в о с т ь

по

Л а г р а н ж у . Пусть

h { '

* 1.

Xfi)

(/= 1 ,

п ) ,

(5)

где fi (t, хъ ...,

хп)

удовлетворяют условиям

теоремы

существования

единственности

решения

системы

(5)

для

всех

[/0, +оо) и

любых xlt ..., хп.

Оп р е д е л е - н и е . Система (5) называется устойчивой по Лагранжу,

если все решения этой системы определены и ограничены на [tQ, + оо).

951. Показать, что все решения		уравнения
•^•(0 + (а г + - Г р	5) ^ ( 0 = о
ограничены на [1, + °о).		уравнения
952. Показать, что все решения
x ( 0 + ( l + e - ' , -	r p 2 )x (if) = 0

ограничены на [1, +оо).

953.	На примере уравнений
а)	X ( t ) - j * ( t ) + x ( t ) = 0-,
б)	J?V) + j t ( t ) + x(t) = 0

показать, что из ограниченности всех решений «предель ного» уравнения x { t ) + x(t) =0'н е следует ограниченности решений исходного уравнения.

§ 26. Критерий Рауса — Гурвица

Большое практическое значение имеют необходимые и достаточные условия того, чтобы все корни алгебраического уравнения с вещест венными коэффициентами а0, а1г а2, ...» ап

f (X) = а.№ + а&п-х + ... + аг 1 Х+ ап = 0

(1)

имели отрицательные вещественные части. Не нарушая общности, можно предположить, что а0:> 0.

Положительность всех коэффициентов —необходимое, но недоста точное условие для того, чтобы все корни уравнения (1) были распо ложены слева от мнимой оси (в случае уравнений 1-й и 2-й степени это условие и достаточное). Необходимые и достаточные условия

отрицательности		вещественных			частей	корней	уравнения (1) дали
Раус и независимо от него Гурвиц.						Для того чтобы все корна
У с л о в и я		Р а у с а — Г у р в и ц а .				Для того чтобы все корна
уравнения (1)	имели отрицательные вещественные части, необходимо
и достаточно,	чтобы были положительными все главные диагональные
миноры матрицы Гурвица
			я 0	0	0	0
		я 3	я 2	Я1	я 0	0	(2)
		я б Я4		я 3	я 2	0	(2)
		,0 '	0	0	0	а п ‘
Многочлен	/ (X) степени п ^				1 называют устойчивым многочленом,
если все егодорни Хъ Х2, ...,				Хп имеют отрицательные действительные
части: R eA ,/<0		(/= 1 , 2,	...,	n)t т. е. все корни устойчивого много

члена расположены в лейой полуплоскости.

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали располагаются коэффициенты многочлена (1), начиная с ах до ая. Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних вклю чается коэффициент а0. Все недостающие элементы, т. е. коэффициенты с индексами, большими п или меньшими 0, заменяются нулями.

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица

ао ,

а0

Ai=flx,

Д2 =

Дз =

аз

а2

аз

а2

аь

а4

аз

а*

аз

а2 01

■ аъ а4

аз

•

(3)

•

ап

Таким

образом,

условие Гурвица выглядит так:

Дх

Д2

0, ...»

Д/1 ^

О»

(4)

Заметим, что так

как

Дл = Дл_1*ал, то

последнее

из условий

Дл > 0

может быть заменено требованием

ап >

тривиальное решение

П р и м е р

Исследовать

на

устойчивость

уравнения

yV +

Ту" + 4(/* +

</IV +

% ' +3(/ = 0.

Р е ш е н и е .

Составляем

характеристическое

уравнение

/(Х) = Хь + Я4 + 7Я3 + 4Я2+10Я + 3 = 0.

Здесь

а0 = 1,

1, а2 =

а3 =

а4= 1 0 ,

а5 =

Выписываем диагональные миноры

Гурвица

ДБ=

1 = ЗД4

•

Д-t===

Ю А3- 3

= 5 0 - 3

(49 + 3 -- 10—28) = 8 > 0

До =

— 5

Д2 —

= 3 > о,

Дх= 1

> 0 .

Итак,

Дх > 0 , Д2 > 0,

Д3 > 0 ,

Д4 >

0, Дб >

Следовательно,

триви

альное решение у = 0

уравнения асимптотически

устойчиво.

Вычисления можно вести так. Сначала составляем минор Дл.

Затем

последовательно

вычисляем

миноры

Дь

Д2, Д3 и т. д. Если

встретился отрицательный минор, то система неустойчива и даль нейшие вычисления излишни.

Если коэффициенты уравнения (1) заданы как числа, то условия (4) легко проверяются. Если же коэффициенты уравнения (2) содержат

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4540 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.46 Mб81225.pdf
#
15.11.202212.48 Mб81226.pdf
#
15.11.202212.5 Mб31227.pdf
#
15.11.202212.62 Mб21230.pdf
#
15.11.202212.64 Mб21232.pdf
#
15.11.202212.71 Mб71235.pdf
#
15.11.202212.77 Mб121236.pdf
#
15.11.202212.77 Mб31237.pdf
#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб131245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf

Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):

На примере уравнений

§ 26. Критерий Рауса — Гурвица