Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:

3 6 3 .

$

dz.

3 6 4 .

$

dz

1-|-z12'

\г

=1

|2 ~2

10002+ 2

3 6 5 .

$

dz.

366 ■

$

- * г * -

1+ Z1--*

if 1-2

1 d -г.

| 2

= 3

2»

367.

[

368.

dz.

if , -i

L

2J0 - 1

II. Пр и л о ж е н и е

в ы ч е т о в

к в ы ч и с л е н и ю

о п р е д е л е н н ы х и н т е г р а л о в

1. И н т е г р а л ы

от

р а ц и о н а л ь н ы х ф у н к ц и й . Пусть

/(*) —рациональная

Р

(х)

где

и 0 л(*)“ “

функция, / (*) = тП

/ л т’

хл (А/-

всей действительной оси (Qn (а)

Ф 0) и п ^ т - \- 2,

т.

е. степень зна­

менателя,

по крайней

мере,

па

две

единицы

больше

степени

числи­

теля,

то

-1-,оо

^

f (х) dx = 2niat

(4)

— 00

Р

(2)

где о

означает

сумму

вычетов

функции

во всех

црлга-

[ (г) —

.

Чп \z)

сах, расположенных в верхней полуплоскости.

П р и м е р

8.

Вычислить

интеграл

(« > 0 ) .

х'£

Р е ш е н и е . Так как подынтегральная функция / (х) =

fla)a

четная, то

(*s+

-Too

л:Мл:

1

£

2

J (**+

Введем функцию

=

, которая на действительной оси, т. е.

при

2 = д*,

совпадает

с / (дг).

Функция

/(г)

имеет в

верхней

полу­

плоскости

полюс

второго порядка

в точке z = ai. Вычет / (г) относи­

тельно этого

полюса равен

res/ (<w) =

lim

* [[(г)(г-т)Ц .=

г -*• я» az

2aiz

1

=

lim

dz

(г + ai)'

ui(2 + m')s

4ai ‘

Пользуясь формулой

(4),

получим

-1-со

*2dx _

/ = *

f

1

.

I _

гх

2

J

(л'--|-л-)2 ~

2

Ш

4о1 “

4а *

о

-I-:-о

369:

37°- _[тта+я

{ 4 ± -Г

.)

A-'4 "hi

—fwiF-

(й ^ > 0 , Ь > 0).

371

Эт2-Т(й$рт-

00

— JO

4

со

-]- со

373.

^

<--\ X/ Xl

Iо\-> * 374-

.)

.......... ИГ

-

уу •

.1

(а- н-4а--1-13)-

(Л- -г а-)7 (.V-

Ь -у

— 00

— СО

“

-1- со

у2тп

375.

(•

О

37«-

$

T T

^ d x -

—со

+ 00

+f ( 3 + 5 W

377'

!i

Т + 7 -

378-

— со

4

379•5< d £ v

<” > 0 ' 6 > 0 >-

ой

dx

1

-3... (2 л -1 )

380.

Доказать формулу

у

(1 + * 2)" 1

~

2- 4- 6... 2/t

Я.

2. И н т е г р а л ы в и д а

00

со

\ R (A) cos Хх dx, J

R (л*) sin l.x dx,

6

6

где

(JC) — правильная рациональная дробь, 7 t > 0 —любое веществен­

ное .число.

интегралов удобно

пользоваться следую­

При

вычислении таких

щей л е м м о й

Ж о р д а н а:

аналитическая в верхней

полуплоскости

(О <

Пусть

g (z) —функция,

arg 2 <

л), за исключением конечного числа особых точек, и стре­

мится в этой

полуплоскости к нулю

при | г j

ос,

Тогда при %> О

Иin

\

g (z)ei? z dz = 0,

—

.

OQ

х sin ах ,

,

_

л

«

л\

f

/ = I & + № dx

(а > 0, k > 0).

о

Р е ш е н и е .

Введем вспомогательную функцию

f/

\

Zeiaz

Нетрудно видеть, что если г=лг,

то

1т/(дг)

совпадает с подынте­

гральной функцией ф

Р а с

с м

о

т

р

и

м

контур,

указанной

на

рис.

7.

При

достаточно

большом J? на контуре

фунК-

ция g

( z ) =

- ^ удовлетворяет

неравенству |g(z)| <

р

и,

следовательно,

g(z)

стремится

к

нулю

при

R -+ CQ.

Значит,

по

лемме Жордана

giaz

Um

$-

Ф)

\

-Г .- ,-d z ~ 0.

ft-со

J

z2 +

ft-

с «

Для любого Я >

Л по теореме о вычетах

имеем

R

*«'ах

J .

с

ге,ог .

„ .

С

\ з в д г * с + ^ я + т р Л - 2 " " -

где

- «

CR

с-,а [йЧ-

В пределе при

# -> о о , учитывая

соотношение

(5),

получим

+b оо00

—500ix ewia x

dx=nie~aK

Отделяя слева

и справа вещественные и мнимые части,

поручим