511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:

'

в) f (0 = т^ з *) (0;

г) / (о = <2г] (ty

д)

Г(0 = ch (3 - i) и1 (ty,

з)

/е)

f (t) = tg /Г) (0;

ж)

f(t) = tlr\(t);

f (t) =

е~‘ cos tr\ (t)',

и) / (0 = e"r| (?);

. к)

/(?) =

(ty

л)

/ ( 0 = 7? X 2 ^ ( 0 -.

M )/(0 = i i ( 0 + | ] ( - l ) fti l ( / - ^ .

“

ft=l

комплексного переменного p = s + ia> определяемая равенством

4-с°

f(i)e-P> dt.

F (P )=

$

(2)

6

Тот факт, что* F (р) есть изображение

/(/), будем'символически

записывать так:

/( 0 Тz-F(p).

Ф у н к ц и я F(p) о п р е д е л е н а

в п о л у п л о с к о с т и

Rер =

/( О - * 2'.

Р е ш е н и е .

Для

функции

имеем s0= 2. Поэтому изо­

бражение

F (р) будет

во

всяком

случае

определено

и

аналитнчно

в полуплоскости

Re р > 2.

Имеем

-{- оо

Ц - со

f(p ) =

\

е-'е~Р1dt =

e->P~'->‘ di =

( Р - 2)

e-ip -iU

t «=4- 00

т

1

<R'

-

S> 0 -

-

Ь

Итак,

F(p) = —

Эта-функция

аналитична при

R e p >

2 , и, кроме

того, она аналитична всюду, за исключением точки

р = 2.

Это

не про­

тиворечит сформулированному выше утверждению,

так

как

последнее

г а р а н т и р у е т

аналитичность

F (р)

при

Re р > s0,

но

вовсе не

утверждает, что если

R e p < s ff, то F (р)

всюду неаналитнчна.

щих функций:

512.

f(t) = t.

513. / (/) = sin 3/.

514.

/(/) = /£'

^515. f(t) = ta ( а > - 1 ) .

516.

Может ли функция Ф (Р) ==

служить изобра­

жением

некоторого оригинала?

F(P) = +\

е Р 1(0 dt

О

единственно в том^мысле,

что две

функции /т

(/) и /2 (/). имеющие

одинаковые преобразования

Лапласа,

совпадают

во всех точках непре­

рывности для всех t > 0.

могут иметь одинаковое преобра­

Различный разрывные функиии

функции).

л и н е й н о с т и .

Для

любых

комплексных

по­

I. С в о й с т в о

стоянных

а и р

а / (0 +

Pg (0

а /7 (Р) +

PG (р)

g(t)

G(Р)).

(здесь п

всюду в дальнейшем считаем /(/)

Р(р),

Найти изображение функций:

517.

1 + /.^ 5 1 8 .

2 sin t -

cos/.

519. М-

И. Т е о р е м а

п о д о б и я .

Для

любого

постоянного

а > 0

Пользуясь теоремой подобия, найти изображения

сле­

дующих функций:

521.

/(/) = sin4(.

520.

f(t) = e°‘.

522.

а) /« ) = c

o

s

б)

f(t)=shZt.

523.

Пусть /(/) =

F (р).

Найти

изображение функции

f \^ )

непосредственно

и

с

помощью

теоремы

/(/),

НО» ...,

}'п) (/) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p),

то

ПО

P F (P )-H 0).

г (0 ~ Р2^ (р) —Р/ (О)—/' (0),

f<n>(/) аса p/lf (р) _

pn-lf (0) -

рп-чу (0) ~

- /'Я-1. (0),

где

под f<k) (0) (Л = 1 , 2,

л — 1)

понимается

lim

jik) (t).

<-++о

П р и м е р

3.

Пользуясь

теоремой о дифференцировании ориги­

нала, найти изображение функции /(/) =

sin2/.

Р е ш е н и е .

Пусть

f (t)

F (р). Тогда

п о

pF (p)-f(0).

2

Но

/ (0) = 0,

а

f' (/) = 2 sin / cos i =

sin 2/

Следовательно,

Pa + 4 •

7 * T T = p f ( p ) '

откуда

2

F(P) =

sin2 1.

P (P- +

4)

IV.

Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е и з о б р а ж е н и я . Дифферен­

цирование изображения

сводится

к умножению

на (— 0 оригинала

или, вообще,

F'(P)

— If (0

F (n) (Р)

(— 0я / (0-

П р и м е р

4.

Найти

изображение функции

Р е ш е н и е .

Имеем е1-т-

р - 1

. По теореме о дифференцировании

изображения

/

1

\'

—

I

te*. Далее

------ г

^

откуда - ------—

\Р — 1/

(Р — 1)"

536.

f(t) = t2cos/.

V5 3 7 . / ( O^/ f e' + chQ.

538.

f(t) = (t + \)sin2t.

539. f(t) = lsh3t.

547.

ч

1— cost

;

б)

cos/ — cos 2/

а)

— ;—

-

t .

548. а)

t

;

б)

е*— е~*

f

С помощью теоремы об интегрировании изображения легко вычис­

ляются некоторые несобственные интегралы.

интеграл

Пусть

f(t)¥*F{p)

и

пусть сходится несобственный

со

№ dt.

Тогда

' (Р) dp,

(3)

оо

Пример 7. Вычислить интеграл ^

dt’.

Решение. Имеем sin t

Р2+

. По формуле (3)

ОО

00

1

dz

оо

л,

z2 +

1

=arctgz о “

Т*

549.

г»

o-at__p-bt

\ ——т- — dt ( а > О, Ъ > 0).

о

550.

jj* e~*s\nat

(а> 0 <

а > 0 ).

б7

00

551.

о

■sin mi dt ( а > 0 ,

Р > 0 , т > 0).

552

^

^е~а‘ ge~P/

Се~У'

De~6‘ dt

о

(Л + B + C + D - 0, а > 0 , р > 0 , Y > 0 , 6 > 0 ) .

его

00

COS a t — COS bt

»j .

m

С

a >

r\

553.

\

--------j------- dt (

0, b > 0 ) .