Вычислить следующие интегралы:

где

eiaz

'( z - b i)

е-аЪ

о =

lim

res

г(г»+6*)

263

(8)

,_ « * (* * + *»)

г ~ ы

Заменяя в первом интеграле (7) х на — х

и объединяя его с третьим

интегралом, получим

Г

е'ах

I , Г

е,а*

,

J

*(*2+&2) d x + J * (х*+ь-) dx~

- R

С e i**—<ri**

. . п. f

sinaxdx

(9)

“

1

*(*2+&2>

dx~ 21)

* ((JC2 +

62) '

Так

как

giaz

lim

,2 , .о

'62

:

z -*0 г2 + 62

то подынтегральная функция

eiaz

представима в виде

г

eiaz

1

1

ф(г)

z(z2 +

62)

"“ б2 7

+

где

lim ф(г) =

0. Полагая

z =

rer’Ф,

находим

г -♦ о

С ,

GV

С„

Я

г

г

г

Интеграл в правой части (10)

при /*->-0 имеет пределом нуль

о

lim

\

ф (гегФ) dcp=

0.

(П )

r-+ o i

Наконец,

согласно

лемме

Жордана, четвертый интеграл в левой

части,(7) стремится к нулю при R-*-co,

ибо функция g(z)--

г(г2^+ 62)

стремится к нулю при

| г |

оо:

R ™»iCRJ

f iaz

c?z = 0.

( 12)

г (г2 +

62)

Таким образом, при R-*-co и г

0 равенство

(7) с учетом соот­

ношений (8) — (12) принимает вид

n. С

sin ах

,

Ш

е аЬ

2‘ ] x(x>+b*)dx

¥ ~

ь*

1

T _ J n a x _

jx_. п

ab)

} x(x2 + b2) dX

2

^

}

О

Вычислить следующие интегралы:

3 9 3 .

3 9 4 . $ - ^ * ,

О

оо

395.

cos оде—cos Ъх dx

( а > О,

Ь >

0).

JC3

396,

sin тх

dx.

$ Jf (лс2 Ч- а2)з

о

3. Вы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в , с о д е р ж а щ и х п о к а з а ­

т е л ь н у ю ф у н к ц и ю .

интегралы

Френеля

П р и м е р Т2. Вычислить

оо

оо

/ i = \ cosx2dx>

Iа =

^ sin х2 dx,

зная, что

Ь

6Г*2

(13)

Р е ш е н и е . Рассмотрим

вспомогательную

функцию / (z)~eiz2

и контур, указанный

на рис.

10 (круговой

сектор ОВАО, где

OA*=OB = R и

ZBOi4 = n/4). Внутри этого-контура / (г) — аналити­

ческая, и по теореме Коши

я

\

e '* d z = \ e>**dx+ [ г11* dz + \ e‘* d z = Q.

(14)

О В А О

0

АО

Покажем, что

lim

^

eii2d z= 0.

(15)

R_’OTc'«

Действительно, полагая

z2 = £,

получим

dz =

■%= и

Л

2 / 1

j

« » • * -

J

2

/ |

CR

J

l R*

R3.

где Г

— четверть дуги

окружности

радиуса

Функция g(E) = —

удовлетворяет

условиям

леммы

Жордана,

а значит,

2 К s

lim

С

—

=

lim

С-е**2 cfz= 0.

R-+cc J

2 / £

Я ->со

J

5 *

СЯ

На отрезке ЛО;

z = pe 4, z2 =

p2e 2 = p 2t; O ^ p ^ R ,

Отсюда

о

n

(n R

(16)

^

eiz2 dz— \

e~v2e

i dp —— e 4 \ e~P2 dp,

Ao

R

6

Перейдя в (14) к 'пределу

при

R-+oо,

с

учетом

(15),

(16) и (13)

будем

иметь

00

.л

J

e ^ d x - e ^ Q

или

о

оо

00

___

___ _

^ COS A'2 Лс+ 1

^

Sin АТ- dx==^ | / "

Д

+ i у

/ Y

•

О

0

откуда

получаем

^ cos л*2 dx = j ' j / r J

,

^ sin х2 dx= Y

у

^

•

о

о

П р и м е р

13.

Вычислить

интеграл

4-°°

еах rdx

(0 < а < 1).

1+е*

и

контур, указанный

на рис. 11

(прямоугольник со сторонами 2R

и

2л). Внутри этого

контура / (г)

аналитична, за исключением точки

Z = m,

которая

является для нее простым полюсом

res / (ni) -

eaz

p C tT li

у

'(1 + e zY

Z = JU

eni

По теореме Коши о вычетах

\

f(z)dz +

$ / (z) dz-jr К

/ (г) dz +

( f (z)dz = — 2nie°ж . (17)

DA

AB

B'C

CD

На отрезке DA:

z —x,

— R ^ x ^ R ] поэтому

S

=

$

(18)

D A

-

R

На отрезке

AB: z = R + iy,

ea(R+iy)

поэтому

eaZ

^

e°*

\+e*

1 + eR+iy

Значит,

^

e1*— 1

n D

9л

2лва^

>aR

ц и £

\ dy=z^

— - —>• 0

*при

R-+co

(ибо

0 < a < 1).

(19)

Аналогично получаем

p - a R

R

I [

f (z) dz

1 - e

^

2л

О

при

oo.

(20)

|CD

На отрезке

ВС: г = х + 2л 1,

— R ^ x ^ R ;

поэтому

—- RR

R

pax

ра(х+2Л1)

*

dx.

1 + е *+гш dx = — e^m

^

(21)

BC

R R

J R ^

2я

dx

П р и м е р

14.

Вычислить

интеграл

/ Л,(а +

(а > Ь > 0).

b cos *)2

Р е ш е н и е .

Применяя

подстановку eix = z,

получим

после про­

стых преобразований

/==7

J

( 6 i 4 ^ W

=

1 2ш' 2 . ге\ Г Ы -

k

= 1

Внутри единичного

круга при

условии, что а > Ь > 0,

находится

только один

полюс

(двукратный)

*1 =

— а + У а2 — Ь-

Вычет функции

F (г) = :

г-, относительно этого полюса

(&z2 +

2az + &)-

res.;.F(Zi)=

lim

~

~

------1

=

а

(а- — Ь'2у ;*гЛ.

Итак,

z - z xdz \b-(z —

гх)2 (г — гг)-/

4

V

'

2ля

/ =

-

(а2 — г?‘^)3/2 *

Вычислить следующие

интегралы:

2л

^

ш - jj

( 0 < р < I ) .

о

. лл

2л

cos-3xdx

m

_

. х

I*

400'

J

I - 2 /> COS2A -:-/»J

( ° < P < ! ) -

0

2 я

cos 2xdx

' ЛЛ 1

C

,

v

J

l —2pcosx + p2

0

лл»

2л

cos xdx

^ 1V

f

402.

\

— 2p -Sin A + pa

( 0 < P < l ) .

0

2л

403.

^

a + cosjc

(a >

l).

J

v

7

Применяя

формулу (24),

получим

00

1

I

ctg яг ,

ctg ягП

V

а2~

2

Я2 +

Я[ а ^

22 + a2 + zJ i Sa . 22 + a2 ^

л= — 00

„

ctg яг

— at являются простыми

Для функции

_р^2 точки Zi = ai и z2 =

полюсами,

а значит, ее вычеты будут равны

Ряд

в левой части

последнего

равенства

можно

записать в сле­

дующем

виде:

Л =2— ОО • + Я2

1

1

1

(— п)*+ а* ^

’

2)2 + а2

^

(— 1)2 + а2

r»2 ~

а

I—

!—

1-

' *'

-

1

0*2

I . л2

'

я2 + а2

г ‘” '

О2 + а2

* 12

+ а2

1 22 + а2

оо

=

1 + 2 У

п4 + а2‘

a-

L i

Отсюда находим,

что

П 1

оо

1

V

1

id

я2 + а2

2

iij

я2 + а 2 2а2 *

П =

1

П =

2— ОО

Искомая сумма данного ряда будет равна

2

1

1 я

1

=

rcacthnd— 1

я2

а2’

тг — cth да—

2а2

------ — ------,

яг+

2

а

2а2

л = 1

Найти суммы

следующих рядов,

в которых

число a

не является

целым:

оо

оо

408. У - Д1- , .

409.

У

..

id

Я2 — а2

^

я4—а4

п«1

л = 1

2 5йЬг

«"•

2<5&W

п = — ОО

Пт* 0

2. Пусть функция / (г) аналитична на всей комплексной плоскости,

кроме

конечного числа

полюсов

zlf

z2, ...» z$, не совпадающих ни

с одной

из

точек

z = 0,

±

1, ± 2 ,

и пусть /(г)

удовлетворяет

неравенству

|/( г ) |< е ° ^ 1 т 2 1 е (|г |),

(25)

где e ( | z | ) - >0

при z - > оо,

z e G p;

0 ^ а < я .

Здесь

Gp—вся пло­

скость

с выброшенными из нее кругами | z—zm | ^ р , m = 1, 2, ..., k.

Тогда

справедлива формула

00

k

,11 Ш?

2 (-')•/(»)— » 2

<*>

п = —оо

т = 1

т

00

• П р и м е р

16.

Найти сумму ряда

^

л = О

Р е ш е н и е .

Функция

/ (z) =

имеет

два простых

полюса

zx = ai

и z2 =

— ai

и она

удовлетворяет условию

(25),

так как

I / Сг)1 — | za_j_aa | ^

1z 1а— ) а 1**

здесь

а = 0,

е (! 2 1) = уг |аЛ '| а~р ^ °

при2 ^

1» -

Применяя формулу (26),

получим

У

( - ‘)п

„Г

res

■

1

I

res

1

1

Z J

n2 +

a2

[ z = a i

(2a +

Д2) sin яг

'

2=s_ ai (z2 + a2) sin я г ] *

п = — ОО

Находим

вычеты

функции

ТТЛ—

-----

в точках гл, £ = 1 ,

2:

(г2 +

a2) sin яг

1

(г2 + a2) sin яг

2гл sin ягл +

(г£ + а2) я cos ягл *

откуда

1

1

1

2

(г2 + a2) sin яг

2cu sin яai

2a sh яа 9

r e s

1

1

------------------ =

—-----------

z = —ai (z2 + a2) sin яг

2ash^a

Следовательно,

у

( - ! ) ” _ ___] _

JL I

n2 + a2

a sh яа *