- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Решить следующие уравнения: |
|
|||
816. |
х' (t) — x { t — 1), |
|
ф(t) = t, |
|
817. |
x'-(t) = x ( t — 1) + |
^, |
ф (/) = 1, - |
1 < / < 0 . |
818. |
х' (i) + x ( t — у ) |
= 0, |
ф(<) = соз/, |
— |
§ 20. Решение некоторых задач математической физики
Ограничимся случаем, когда искомая функция и зависит от двух независимых переменных х и /. Переменную х будем рассматривать как пространственную координату, переменную t —как время.
Рассмотрим, например, уравнение-теплопроводности
д2и .
о |
(о |
(а2 —постоянная).
Разберем первую краевую задачу для уравнения (1): найти реше ние и(х, t) дифференциального уравнения (1) для 0^ х ^ 1 и 0, удовлетворяющее начальному, условию
и краевым условиям |
|
|
и(х: 0) = Ф (лг) |
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
«(0, |
0 = Ь ( 0 , |
и(1, |
0 = ф 2 (0- |
(3) |
|||
Предположим, что и (х, |
/), |
|
- и |
/ (*, 0» |
рассматриваемые как |
||
функции t, являются оригиналами. Обозначим через |
|
||||||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
U(P, |
х) = \' |
и{х, |
l)e-P‘ dt |
(4) |
||
|
|
|
О |
|
|
|
|
изображение функции и (.х, (). Тогда |
|
|
|
||||
да |
F |
ди |
ы .. |
dU |
дЧ |
. d2U |
(5) |
Т х ^ ' |
) Т х е Р d l = te> |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
По правилу дифференцирования оригиналов получаем |
с учетом |
||||||
начального условия |
(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ .= - р (/-ф (д с ) . |
|
(6) |
|||
Предположим, что |
(/) и |
ф2 (0 являются оригиналами и |
|
||||
ф, (/) |
= |
Ч\ (р), |
Ч'2 (/) .=■• Т 2 (р). |
(7) |
|||
Тогда граничные условия (3) дают |
|
|
|
||||
U | *-=o='Pi (р), ( / |* = / = Фа (р).
Таким образом, |
операторный метод приводит решение |
задачи (1), (2), |
(3) к решению обыкновенного дифференциального уравнения |
||
|
d4J |
|
|
°2ш т Р ц +< Р М + р (х>Р )= ° |
(9) |
при граничных |
условиях (8), где F (х, /?).=' f (х, t). Решая задачу, (9), |
|
(8) й обращая |
полученное решение, найдем функцию |
и (х, /), являю |
щуюся решением задачи (1), (2), (3). Аналогично решаются и другие краевые задачи для уравнения теплопроводности, а также краевые задачи для уравнения колебаний струны
|
д2и |
о д2и |
. |
А |
|
.(10) |
|
d F ~ a дх*+ ^ х' |
^ |
|
|||
|
|
|
||||
телеграфного уравнения (см. |
[2]~ и |
[9]) |
|
|
|
|
д2и |
0д2и , |
. , |
оч ди , |
0 |
л |
(И) |
div *" °2 -5Z2 + |
(а + |
Р) 57 + |
a Pw = 0 |
|||
и некоторых других уравнений более общего вида.
З а д а ч а . Концы струны^ = 0 и х = 1закреплены жестко. Началь-
ное отклонение |
задано |
равенством |
лх |
( O ^ x ^ i ) . |
и (х, 0) = Asin-j- |
||||
Начальные скорости равны нулю. Найти отклонения и (х, |
t) при / > 0 . |
|||
Р е ш е н и е . |
Задача |
сводится |
к решению дифференциального |
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
д2и |
1 |
д2и |
|
|
|
|
|
d & ^ a t l H 2 |
|
|
|
||
при начальных условиях |
|
|
|
|
|
|
|
, |
ЛЧ |
. . |
пх |
ди (х, |
0) |
|
|
и(х, |
0) = |
Asin j , |
— |
|
" —0 , |
|
|
и краевых условиях |
и(0, t) = u(lt /) = |
0. |
|
||||
|
|
||||||
Переходя к изображениям, будем иметь |
|
|
|
||||
d2U |
|
|
рА |
; |
тех |
|
|
d & - ¥ u = ~ l ? sinT> |
|
||||||
U \x = o = U \ x =t = 0. |
|
|
|
|
|||
Решая уравнение (15), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
U (х, р) = С ^рх/о+ С2е~Рх/а. |
|
Ар |
. пх |
||||
|
а2л2 sm Т * |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
( 12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Учитывая краевые условия (>6), найдем
_ |
Ар |
. я* |
Оригиналом |
для U (х, р) |
является функция |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
и (.х, |
t) = A cos - j - |
sin - j , |
|
|
||
которая будет решением поставленной задачи. |
|
|
||||||||
Решить следующие задачи: |
|
|
|
|
||||||
819. |
Ш = к Ш (х > 0 ’ / > 0 )-. “ (°. |
0 = «о. и(х, 0) = (Х |
||||||||
820. |
^ |
= |
|
|
|
/> 0 ) , |
и(0, |
0 = 0, и(х, 0) = И1. |
||
821. |
|f |
= |
A |
g ( i > ° , |
/> 0 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и(0, |
0 = a cos со/, |
и (х, |
0) = 0. |
|
822. |
& = ф { х > 0 , |
t > 0), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
.ы(0, |
0 — a sin со/, |
«(я, |
0) = 0. |
|
823. |
J |
= |
* g ( * > 0 , |
/> 0 ), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
п(0, 0 —ф(0» |
ы(х, 0) = 0. |
|||
824. |
Найти |
распределение |
температур |
в * стержне |
||||||
O ^ z X ^ l |
при условии, что поток тепла не проходит через |
|||||||||
границу х = 0; другая |
граница х = 1 сохраняет постоянную |
|||||||||
температуру |
|
начальная Температура стержня |
равна |
|||||||
и0 = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
825.Найти распределение температур в полуограниченном стержне, если на левом конце стержня происходит теплоизлучение в среду с нулевой температурой. Началь ная температура стержня и0 = const.
826.Стержень длины I находится в состоянии покоя, его конец х = 0 закреплен. В момент времени / = 0 к сво бодному концу стержня приложена сила F (на едодицу площади), направленная вдоль стержня. Найти колебание стержня.
827.Стержень подвешен вертикально и защемлен так,
что смещение во всех точках равно нулю. В момент вре мени / = 0 стержень освобождается, оставаясь закреплен ным в верхней точке. Найти закон колебания стержня.
828. Решить уравнение
при нулевых начальных и краевых условиях
|
да |
|
|
0 , и (0, i) = u(l, /) = 0. |
||
и |/—о = О, Ш |
|
= |
||||
829. |
Однородная |
струна, |
закрепленная |
на концах |
||
х = 0 и л;= /, имеет |
в начальный |
момент времени форму |
||||
параболы, |
симметричной |
|
относительно перпендикуляра, |
|||
проведенного через |
точку |
х = 1/2. |
Определить |
смещение |
||
точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.
§ 21. Дискретное преобразование Лапласа
Пусть имеем комплекснозначиую функцию / (/) действительного аргумента t, определенную для / ^ 0.
Рассмотрим последовательность {f~(n)} (л = 0, 1, 2, ...), которую коротко будем обозначать просто / (п) и называть решетчатой функ цией. Функция / (/) называется порождающей функцией для / (п). Таким образом, аргумент решетчатой функции принимает только целые значения, причем для отрицательных значений аргумента
решетчатая функция', равна нулю. |
Лапласа решетчатой |
функции / (п) |
||||||||||||
Дискретным преобразованием |
||||||||||||||
будем |
называть |
функцию F* (р) |
комплексного |
аргумента р = s -j- /сг, |
||||||||||
определяемую |
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-nPf(n); |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
я= о |
|
|
|
|
|
||
предполагается, что ряд справа сходится. |
|
a F* (р) —ее изобра |
||||||||||||
Функцию f(n) будем называть |
оригиналом, |
|||||||||||||
жением и писать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F* (Р) |
/ (Р) |
или |
/ (п) —*F* (р). |
|
|
|||||
Значение |
Rep = s*, |
для которого при Rep = s > s * |
ряд (1) схо |
|||||||||||
дится, |
а |
при |
s < s* |
расходится, |
называется |
абсциссой |
сходимости. |
|||||||
Функция |
F* (р) |
есть |
периодическая |
функция |
с периодом 2л/, |
анали! |
||||||||
тическая |
в полуплоскости R e p > s * . |
удовлетворяет |
условию |
|
||||||||||
Если |
решетчатая функция |
f (п) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
| / (п) ! =s£ М ^ п, |
|
|
|
|
(2) |
|||
то абсцисса сходимости |
s* > Х0, и, следовательно, |
изображение |
такой |
|||||||||||
функции'существует. Вообще, всякая функция /(/), являющаяся орич
гиналом для |
обычного |
преобразования Лапласа, порождает решетчач |
тую функцию |
/ (л), для |
которой определено дискретное преобразовач |
ние Лапласа |
F* (р). |
|
П р и м е р 1. Пользуясь определением, найти изображение функ
ции
/(Л)=<Г«