Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1235.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4545

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица
Ai = 2—2а2»		А2 = (2 — 272)(1 —7i-{■* *72).
В силу указанного	критерия	должно быть
1 + я1 + Дг> 0,		1 —а2 > 0 ,	1—a! + a2 > 0 .		(14)
Итак, характеристическое уравнение (12) имеет в				круге \| Я \| < 1
корни тогда и только тогда,		когда выполняются условия (14).			вто
С л е д с т в и е .	Линейное	однородное	разностное	уравнение
рого порядка с постоянными		коэффициентами

/ (#+ 2)+ tfi/ (я-f* 1)+ Дг/ (п) = 0

имеет асимптотически устойчивое нулевое решение /(л) = 0 тогда и только тогда, когда его коэффициенты удовлетворяют условиям (14).

П р и м е р 10. Исследовать на устойчивость нулевое решение /(я ) = 0 уравнения

2/(я+ 2-2/(я+1) + /(л) = 0.

Р е ш е н и е. Перепишем это уравнение в виде

	/(я + 2) —/ ( л + 1) +			^ /(л )= = 0.
Здесь 0! = —1, *72= 0,5.		Поэтому
		1-j- flj -f- 72= 0,5 >			О,
		1 — а2= 0,5 >			0.
		1— £7\| -}- Qo— 2,5			0.
Условия (14)	критерия	Рауса—.Гурвица			выполнены. Значит, реше
ние / (я) = 0 асимптотически устойчиво.
П р и м е р	11. Исследовать		на устойчивость нулевое решение
уравнения	/(л + 2)+ /(л+1) + 2/(я) = 0.
	/(л + 2)+ /(л+1) + 2/(я) = 0.
Р е ш е н и е . Здесь ах = 1, а2 = 2. Имеем
		1 *7j	— 4 >	О,
		\ — а2 —— 1 < 0.
Нулевое решение неустойчиво.

Для следующих разностных уравнений найти необхо димые и достаточные условия асимптотической устойчиво сти нулевого решения:

1012.	я„/ (п + 3)		+ a j (п + 2) + a j (п + 1) + a j (п) = 0.
1013.	f (п +	4) +	pf (п + 2) + qf (и) = 0.
1014.	/(л +	5) +	р/(п) = 0.
1015.	а}(п + &) — bf(л) = 0, афО, Ь > 0.
Используя		критерий Р^уса —Гурвица, исследовать на

устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:

1016. 11/(я + 4 ) - 8 / ( л + 3) + 8Дл + 2 ) - 4 / ( я + 1 ) +

1017.	/ (п +	4) + / (п +	3) + / (п) =			0.	+	/	(я) =	0 .
							2) + 2/(л +		1 )~
1018.	1 2 /(л - И ) — 3 /(я +			3) +	2/(я +
							-	2/ ( л ) =		0 .
1019.	7/ (л + 4) — 4/ (л +			3) +	30/ (л +		2) — 4/ (я + 1 ) +
1020.	/(л +	5 ) - / ( я + 1 ) + / ( л ) =				0.	+	3/ (л) =		0.

1021.	/ (л +	5) — / (л +	2) — / (л) =			0.
1022.	/( я +	5) + / ( л +	! ) —/(«) =			0.

ОТВЕТЫ

о г —20 _

36 ,

— Ъ

у = ;

— а

17* У~~~ 1Г

3‘

" “

аг+ й*'

4. Действительного решения нет. 5.

2 (а2—f>2)

(а2+ 62)2 •

7 .x - ц2 + о2- и

У = ~

и2-

(l~--U)* +

t>* ’

(1 - и

)2 +

8. г1 = 0,

г2=

1, z3 =

+ « + ? , г4 =

в* а) р =

5, <р =

arctg

б) р =

ф =

-д я;

в)

Р = 5 У Л2,

<р =

arctg

ф = - ’- л ; д)

р =

<p =

р = 1 ,

— Щ г) р = 1 ,

— arctg - j ; е)

Ф = 2я — а.

10.

а)

2 (cos я +

sin л);

б) 2 ^cos ^- +

/ s i n j ;

в)

2 ^ c o s я-|-

* sin

я ) ;

r)V 2 ( 1 -

sin a) [cos ( у

) +

‘ sin ( j

| - ) ] ;

д)

1 (cosа +

i sin а);

е)

2е‘л;

ж)

{ 5

з)

- ( 5

и)

—~ i

1 • е

I -е

2е

3 ;

\а —

2 ) 1

1arctg X

к) 1- е '

; л) /34<?

х2—2kx cos а +

Я2= [х—A, (cos а +

1 1 .

У к а з а н и е .

Так как

+ i sin a)]Л (cos a — i sin

а ) 1, то

надо показать,

что

/[A ,(cosa±:

sin a)] = 0,

12.

—2 i» ( l+ /j/3 ) ;

2^ (1 + 0 ;

в)

1728;

13.

У к а з а н и е .

Воспользуемся соотношением

+ i tg a

cos a + i

sin a

— i tga

~~ cos (— a) + i

sin {— оc)

и применим формулу Муавра к числителю и знаменателю.

15.

а)

3 c^s2 ф sin ф — sin3 ф;

б)

cos3 ф — 3 cos ф sin2 ф;

в) 4 Sin ф X

X cos3 ф — 4 cos ф sin3 ф;

cos4 ф — 6 cos2 ф sin2 ф +

sin4 ф;

д)

5 sin ф X

X cos4 ф — 10 Cos2 ф sin3 ф +			sin5 ф; е) cos5 ф — 10 cos3 ф sin2 Ф + 5 cos ф X
X sin4 ф.	'
16.	а)	б)	± + ( 1 + 0 :	в) i ( ± / 3 + i), — Ц
		V 2	V 2	1

г) ± (cos у - . / sin

, ± (cos g я + f sin

n j •

17.

а)

± 1 ,

± i ;

б)

l_ i( l+ i) .

v ^ ( — cos

+ *sin ^ ) ,

> /l2 ^ s in ^ —<cos —j ; в)

± ( K 3 —«)•

18.

' ^ 2 (cos 6° + i

sin 6°); У 2 (cos 78°+

i sin 78е);

У 2 (cos I5Q°

-f i sin 150°);

У 2 (cos 222°+ i sin 222°);

2 (cos 294°+ i sin 294°).

19. а) Вся комплексная плоскость, из которой вырезан круг ра

диуса 2

с центром в начале координат,

б) Круг радиуса r= 1 с цент

ром в начале

координат,

причем

центр этого круга удален (круг

«проколот»), в) Вся комплексная плоскость,

из

которой

вырезан

круг радиуса

г =

1/2

с центром в

начале

координат.

точке

z==5i.

б)

20.

а)

Окружность

радиуса

г = 8

центром

Круг

вместе

границей

радиуса

г = 4 с

центром

точке z =

1 + / .

21.

а)

Часть

кольца,

ограниченного двумя

лучами

argz = tt/4 н

argz = Jt/2

и окружностями

радиусов

г = 1

и /* = 2

центром

в точке

z =

-т-1.

б)

Часть

кольца,

ограниченного

двумя

лучами

argz = -^-

окружностями

радиусов

г = 2

г = 3

центром

a r g z = y r t

в точке z = 0.

Множество

также

включает

часть

луча

a r g z = - ^ J i

между

указанными

окружностями и

часть окружности

радиуса 3

между указанными

лучами.

22. а) Правая полуплоскость, включая и ось OY; б) полоса

между прямыми */= 0

и у = 1 , включая эти

прямые.

23 .

-а) Концентрическое кольцо, ограниченное окружностями ра

диусов Ri*=\

и Ro —2 с центром

в точке z0= — (2 + /).

Обе окруж

ности принадлежат множеству; б) часть плоскости, расположенная

ниже прямой у —х\

в) полоса

между

прямыми х — \ и * = 2.

24.

Внутренность

единичной

окружности.

25.

а)

Внешность

х2

параболы у — — — 1; б) действительная полу

ось, включая

и точку (0, 0).

26.

гиперболы

Внутренность

лт/= — - .

27.

Кольцевая

область

между

эллипсами

У2

включая

и сами

эллипсы.

, - - =

1о

а) Внутренность окружности х2-\- (у— 1)2=

б)

область, за

28.

ключенная

между окружностями

( * - 1)2+

0/ -

1)2=

( х - 2 ) 2 + ( у - 2 ) 2 = 8.

29.Прямую х = —2.

30.Прямую у —2.

31. а) Гипербола ху — \\ б) гипербола х- —у - = \\ в) окружность х« ( Н - ! Р = 1.

32.

а)

Окружность

— ^

+У2=

;

б)

гипербола х у = —1 .

33.

Гипербола л:2 — г/2 = у .

34.

Окружность

( * + l) a + ^ —-L ja ==-?-.

35.

а) Эллипс

^ - = 1 ;

б) луч на

оси 0Y

от —1

до —оо.

Гипербола к г

3_\2

36. а)

~ т

I; б) эллипс

2 ,

(!г

«Г

( 3 ^ 2 )2

37.

а)

Окружность

д:2-f- f/2= ];

б)

прямая,

перпендикулярная

отрезку

zxz2 и

проходящая

через

его середину;

в)

гипербола

1 \ 2

парабола у2 = 2х~\~\.

fJC—— I

—(/2= - ; г)

38.

z —z =

и г + 2 = 0;

б) z + z + / (г — z) = 0;

в) A(z + z) +

26 + / (z —z) =

2fl2;

б)

* z + z + z = 0.

39.

Z2 + 22=

« . - о + г я ; _ 1 + £ 5 ± , Ц Д .

41.

- 1 ; 3; 1 ± 2 L

42.

2^1 +

22 .

43. b+ ai.

44.

- 3 - « / 3 .

45.

/ 3 - < .

имеем

•46. Р е ш е н и е .

По условию задачи

(4— 3») (cos<p + « sinФ) = р | (—1 + 0

или

4 cos ф + 3 sin ф = —

—3 cos ф + 4 sin qp = У 2 .

Отсюда

cos ф

7 / 2

т. е. tg ф =

уI , а зна-

чит, ф = — arctg

47. < р = + я . J

ctg — (й = 1,

2.........я — 1);

*±

49.xk = j + f a

\k = 0,

± 1,

± 2,

...).

50.

- / 2 + 1 7 / 2 .

51. = 3 —/, z2== 1 + 3/, z3= —1 + f.

53.Р е ш е н и е . Рассмотрим сумму

Sn = (cos х + i sin x) + (cos 2x + i sin 2x) + ... + (cos nx + i sin nx).

Применяя формулу .Муавра, получим

Sn= (cos х + i sin *) + (cos x + i sin x)2+ .. . -f- (cos x + i sin x)n.

Этоесть сумма первых п членов геометрической прогрессии со зна менателем <7= cos* + t sin х и первым членом ах= cos х + i sin х. Она равна

0 _

(cos х +

i sin *) —(cos nx гЬ i sin nx) (cos x +

i sin x)

n~~

1 —(cosдt+ i sin1*)

” '

Отделяя

действительную и мнимую части,

найдем

пх

14*

Sin

-zr-

х , .

Sin -zr-

( п +

. (п + \) х

Sn = --------- cosl- - ~ - ;

+ t -------г -

sin-v

Sln

Отсюда

sin* +

sin 2x +

... +

sin nx-

' T

( n + 1)*

----- sin v—

—-—;

slrr

ii4

rv ^ J

Sin

( '* + 0 *

COS X + COS

23r=|-T7T+ cos nx = ------ — cos

-— 1—

—

S.n 2

sin2 nx

sin 2nx

54.

sin x

2 sin *

u = x2— y",

v = \ + 2xy;

55.

u = x + 2xy, v=y* —x‘—y;

в)

u = Zxy*--x*, v = l-3 x * y + y * ; г)

и =

o =

g; д)

u =

x — 2xy—y + \

x*+y —y*+x _

x*—y*

2xy

(ДС+ 1 )2+y*

’

(АГ+ 1 )2+ y2

’

u ~x*+ y*'

v ~

x* + y*'

56. a)

w = — 1;

6) ta = —3 —4i;

в)

; r) w = —

—t j — •

57.

а)

Окружность

н2+ и2= 4,

по

ходу

I u

проходимая

часовой

стрелки; б) ось

(исключая

точку

О),

проходимая

так: сначала

от 0 до + о о ,

а затем от —оо до 0; в) луч,

идущий по биссектрисе

III

координатного

угла

из оо в 0; г)

луч,

идущий

по

биссектрисе /

координатного угла из оо в 0; д) биссектриса II координатного угла,

пробегаемая из 0 до оо, и биссектриса IV

координатного угла,

про

бегаемая из оо в 0; е) положительная

действительная

полуось,

про

бегаемая из + о о в 0.

в ось

OUt

причем

при изменении х

58.

а) Ось

ОХ

переходит

от —оо до + о о

ось OU пробегается

от + 1

до —оо и от + а э до - f 1

(точка

1 исключается).

Ось OY

переходит

в окружность u2 + v*= 1.

б) Ось ОХ переходит в ось OU так же, как

и в п. а). Ось

OY пере

ходит

в прямую м = 1,

пробегаемую

от точки

-|-1 до \-\-ico и от

1 —юо до + 1

(точка

исключается).

х, г» =

(2 * + 1 ) у\ в)

и =?

59.

а)

и —2.x— 1,

и= 2у\ б)

и = х2 —у2

0==

У .

** + У*'

х2 + У2>

60.		а)	и = е х cos у,	v = — е х sin у\	б) и —ех* у2cos 2ху, v =
= — ех*	у2 sin 2дгг/; в) и = sin * ch у, v = cos*sh у\				г) ы = ch х cos (у — 1),
с/= sh JC sin (г/ — I).
61	/	м =	” //2) 1п 2~ 4/глдс,у cos [2&л (а:2—(/2) + 2 In 2 • дл/],
' 3	\	у=	— ^2) 1п 2	4/?Jl*v sin [2kn (х1 -у-)-\-2 In 2 • ху]

					(k = 0,		±	1,	± 2, ...);
	б) н =		ch х созу,		w= ch х sin у,				в)	cin 1*ГПС У
										и = - р _	v =
__	sh у ch у
~	ch2 у — sin2			дг *			б)	р = 5/4,		ф0= я.
	62.	а)	р =	3/4, ф0==— я/2;
	63.	p =	ch 1, ср0= я/2.			64.	р =	я,	ф0= — я/2.
	65.	p = cos2 (ln3),			Фо =	0.	далее,		если	не оговорено	противное,
	66.	а)	1-\|-2£л*.		Здесь	и

68. а)

р = О,

ф — неопределен;

б)

р = £ 2*л,

ф = 1п 10 + 2т я

(k, т = 0,

± 1,

± 2, ...);

в)

р =

9е2*я,

ф = — 1пЗ + 2т я (£, т =

70.

а)

I sh я;

б)

ch я;

в)

i th я

71.

а)

— i ct hn;

б) 2kn — { In ( ^ 2 - l),

(2* + 1) я

- / In ( ^ 2 + l);

в) ^2A+

j я — i In (V 2 +

^26 —

я — i In ( / 2 — l).

72.

tai +

In 2

(ft = 0,

± I.

...); 6)

i; в)

i - g -

73.

г* =

(2*+ 1)я(

(k = 0,

± 1 ,

± 2 ,

...).

74.

г* =

^2А— i j n /

(* = 0, ±

± 2 ,

...).

75.

г * = (2 /;+ 1 )я

i In 2

(* =

± 1 ,

+ 2 ,

...).

76.

гА=

^ -

1 )

(k = 0,

± 2 ,

...)•

77.

г2Л =

2£л — i In (|Лд2 +

1 —я),

г2Л+1 = (2^+ i) я —i 1П (К я 2-)- 14-я) (k = 0, ± 1 , ± 2 , ...).

78.

x = U .

z2/;+i =

(2£ +

I) ni +

In 3

(k = 0, ±

1 t

2, ...).

79.

zik=2kni,

80.

z * = ln (l+ K 2) + ( 2A: +

j j i t i ,

zft=

ln (1^ 2 -

I) + ^ 2f t - i j nf

(* = 0,

± I,

...).

— e + t.

82.

81.

a) 2 =

1 —t; 6) z =

83. 0. 84. He существует. 85. 0. 86. 1/3.

94. 1.

87., — i. 88. t.

89.

существует.

90.

95.

Уй.

96. — /.-97.

—2i.

г) да;

д)

нет;

е) да.

104. а) нет; б) да; в)

нет;

105. а) нет; б) нет; в) нет; г) да.

двух

направлений,

характери

109. У к а з а н й е.

Для

любых

зующихся

единичными

векторами

s°

л°,

связанными

условием

n° = /s°,

имеют место обобщенные условия

Коши —Римана

ди _ d v

ди __

ди

ds~~ дп'

ds ~

дп

' '

Чтобы

получить

условия

Коши —Римана

в полярных координатах

ди __

dv^

d v ___ 1

ди

др ~~ р дер'

др ~~

р дф •'

' ■

надо в качестве s° взять единичный вектор касательной к окруж ности I 2 j = р* направленный против часовой стрелки, а за л° — век тор* внутренней нормали к окружности. Кроме этого, надо учесть, что

д ____д		д _	д
д п ~	др'	d s ~	р д.р'

Тогда легко из (1) получим (2 ). Отметим,

что условия Коши —Римана

в декартовых координатах

ди __ do

ди __

ди

дх ~~ ду'

дх ~

ду

получаются

из (1) при

s° = 1,

n° — i.

114.

а)

/(г) =

1 ;

б) f(z) = lnz;

в) /(г)= г= + 2г.

115.

a) /(z) =

2shz —г2; б) / (z) =

2sinz —г; в) / (z) = 4 chz +

г2— 1.

116.

/(z) =

2 cos2z +

б)

/ (г) = 2/ (cos г — 1) —/z2+

118.

а)

да; б)

нет;

в)

да;

г)

нет.

1 Ю. а + с = 0.

120. а) нет; б) да; в) нет; г) да.

122. f {u) = CiU+c2;

сх и с2=

const.

и е.

Показать,

что

функ

123.

а)

нет; б)

да;

в) да.

У к а з а н

ция In w аналитична

в области

и = сх (ах +

by) + с2.

125.

а)

да; б) нет;

в)

нет.

126.

127.и^=с1ху-\-с2. 128. и —сх arctg -~ -f с2.

129.и = сх(х-— у-)-\-с2.

130, w = cx у x-f- V *2+ //‘2+ г2>CI и с2— произвольные постоянные.

IS1-

" = c> p f ? +C2,

132.

a) rx=

— ; r2 = — ; ф2= — у ; б)

^ = 1 , ф ^ О ; г2 =

ch- 1 — sin2 1 1

ф 2 =

—

arcfg (tg 1 • th

lj;

в) r x =

15,

ф 1== — arctg

3 ’

'* * 3 ( l

+ j ) ,

ф2= л — arctg

•

133.

а) Полуплоскость

R e z > 0

растягивается,

полуплоскость

R e z < 0

сжимается.

б)

В любой

точке

г (кроме г = 0),

лежащей

внутри окружности

| z ' = l ,

имеет

место

растяжение, а для

точек,

лежащих вне этой

ок ружности, — сжатие.

п. б).

в)

То же,

что

и в

г)

Часть

комплексной

плоскости,

лежащая

внутри окружности

| г ' =

1/}^3, сжимается;

часть

плоскости,

лежащая вне этой окруж

ности, — растягивается.

134.

S - =8/3,

/ж-2 (1

/2 ) + 1п(3 + 2 /2 ) .

135.

S ~ =

Х'2

х‘ (sh 2уг — sh 2ух) —

- У| (sin 2хг — sin 2*,).

136.7,5л.

137.К 2 (в=«— 1).

138. Данный прямоугольник отображается в кольцо е ^ ^ £2, площадь которого равна л(е4 —е2). По формуле (9) получаем 4(е*-е-).

Ошибка

происходит из-за

того,

что

при

заданных

условиях

отобра

жение не является взаимно однозначным.

139.

1/2. 140. - j .

141.

(в2- 1 ) ( 1 + / ) .

142.

а) 2л<; б) —2л/.

143

144.

145.

(i— \)еК

146.

а)

б) 6 +

2/.

147.

- 2 ( 1 + / ) .

148. - 1 .

149. - |( / - 1 ) .

150.

а)

с cos 1— l.+ i^sin

U б)

^ cos 1— 1+ie sin 1.

151.

— ( l + / s h l ) .

152. a ) ' 2 ( / - l ) ;

2 / 2 / .

153.

2 K 2 - 4 +

/ 2 / 2 .

154.

—7e~- + (3 — 2/) +

155. с"1-

156.. cos 1— sin 1—fe”1. 157.

1— cos 1-f- £ (sin 1— 1).

158.

1 ( 5 ? +

3 1п*г) +

/ £

In 2.

159.

160.

(1 r-co s(2 +

2/)].

'61.

— (tg 1 +

lg= I +

2 th2 1j + / th 1.

162.

|^2 sh 1 +

/ ( ^ 2 sh 1 —2 l^sin

l).

163.

^ I s h 2

-i-jt.

164.

165.

166.

— In /

sh3 1 +

cos2 1 + /

arctg (tg 1 *th

1).

167. л/. 168. ле~г. 169. /. 170. nsh I.

171. 0. 172.	3	л с Ь л - / . 173. 0. 174. — - /.
	3	4o

175. я.	176. 0. 177.	- я I.	178.	2л1.	я/	я 2
	я (я + 2) 1^2 ,				я/	я 2
179.	8	i'. 180.	0.-	181.	27' ,82‘	-"2 sh 11

183.пЧ. 184. 0. 185. —2т. 186.

187.Расходится. 188. Сходится. 189. Сходится. 190. Сходится

191.Расходится. 192. Сходится абсолютно. 193. Сходится. 194. Рас*0 дится. 195. Сходится. 196. Расходится._

197.Я = 1 . 198. Д = 1 . 199. R = V 2. 200. R = оо.

201.	Д = 1 .	202.	R = оо. 203.	1	204.	R = 1..
205.	R = 1.	206.	Я = оо. 207.	Я = 1 .	208.	в"1.
209.	а) и б) R :		г + г' — \| /•—/•' I.;		в) R ^	гг'-, г) R-.
210.	— sin 1 + 2 (z + 1) cos l + ^ ( z + l )3 sin 1 —\|j - ( z + l) s Cos I —...
R = co.	1
211.	1					OO
211.	- 4					OO
	V2 1+(г+т)_21(г+т)2_ш(г+ 7)3+-],/?='с

212. V e ^ \ +	j	(2z— 1) + ^	(2z — D2+ — (2z — 1) * + ...	] ,
R = co,
Ш . - { [ l +	\|	(z + 2 ) + 8;	(2 + 2)3 + \| ( Z + 2 )3 + ...],	R =

2M- - i - I ' - r a - — ••

215.	— r*2 + 23+ /2 5 — 27 — ... ,							/? =	1.
216,	\| + т (5 Г + П + - ) '							* “ ” •
2I7- r ( a +			H +			S	+ 4	* - » •
21. In 2 _ ± ( - * + Д + Й , +										R _ 2.
219.	1	П	2		+	й	—
220.	I	l	l				^	г5 4-		/? = л
		----- г	-1-------- г3 4- —
	О	22	“	'	3J23	'	5 ( 2 3	«	• • • »	^ — Jt*
		02			QI03 *
221'		1			2[2зг1! — з[2з г3+				"->	= V 1п2 (2 — \| ^ з ) + д З .
	У ~ ^ 2 +
222‘	6				216зг2-*'зТбЗг3+				” - •	Л = ^ 1 п 35 + л 2.
223.	In 2 — g-z + ^ z					2——		г< +	. . . ,	R = n‘
224- - 2 Г га-			г		Ч	г	г“ + ' - ^ ^
225.	In	2 2-2	- ----2 *-----------1 г 6-!-							/? —л
		4			4-41		2 • 01

226.

e ( l + 2 + ~ « * +

i ? 2»+ . . .

R = 1.

227.

/ ( Z) =

- i1_

| z j <

229.

I z \!> 1/V2.

230.

I г | > 2 .

231.

| z | > e'K

232.

\ z \

> e .

233.

| 2+ 1

| >

1/4.

234.

I z —2 —t I >

1/2.

235.

|z +

2( | >

236. | г +

1 —f | >

237.

| г + 1 +

/ | <

238.

I z —i ! <

239.

0 <

| z —2 +

t |<

240.

2 < | z | < 4 .

241.

Расходится

всюду.

242.

l < | z j < 2 .

243.

I z — i I >

244.

| z | <

245.

I г +

1 | >

246.

0 <

I z — i I <

247.

0 <

| г | < I. 248.

0 < ! z— I j <

249.

Если

| a | >

j b |,

то

всюду расходится;

2) если

| а | <

то сходитЛ

кольце

| а | <

| г | <

] й |.

252.

253.

—

1 4- — 4- ~

—

4- —

4- — 4 .

- - -1- — 4-

i -

з,

••• гз

“t- 22 ^

2\г

! ^

254.

255.

г34-г2+ -- 4- -

4- — + ...

г4— — 4-

--- -- 4 -

оКС

^ 2 !

^31

M ! z ^

‘ 4!

6!z2 ^

4 2

4й

г«

2I2z3

4!2z&

6l2z7

“ •

256.

1 +

| 1

...

. | - ^

- ^

+ . . .

260.

------ L - L J---- -

+ .. .

261.

21г 'г

Z +

(Z+ 1)2*

■>2

О»

Л I “

262.

•sin 2

sin 2

( г - 2)

cos 2

(г —2)2 +

z — 2

■"зГ

+ !!£ 2 (г_ 2)з + ^ 2 (г- 2И _ . . .

263. (1 —0 + (z+ 0 + f2Т —11)г+7 + \31

(Z +

О2

2 [ ( я + 1)!

п | ] (г + ')_Л'

7Z= I

оо

3 /1 - 1 _ 2 Л- 1

*•■ •-2 ^ 4 2

Z \ п

б)

/1=

265.

a, 1г

<->>■«

л =

/1 = 0

266.

а)

Не

разлагается;

4 Г

2 3 + 2

24— 1

25 _ 2

г:|

г4

г3

267.

( - 1)"-1 ,

( - 0 е

гл.

•

+ 2

2п+1

268. а) £	[ n - ц г р ;	б) 2	^ +	2	У ? гл;
« =	1	л =	1	л =	0

п+ (-2 )л

■ >£+2Л= 1

2л+1

2в9,

FF2T -

27°- Не Раялагается-

п= 1

л = О

*"■

» *

(п + 2)-4п*1

я = 2

п =

273.

z2n+1

2 ^-

л = О

4Л

274.

L Ч 1

{— 1 £ (2_ / ) я.

275.

я • 4Л"1

i=2I (7+2р з “

'2(z - /)+ 4

(2i)‘

п = О

276.

a) z = 0 —второго

порядка,

гь 2 =

2/ — простые;

б) гл = /|Л

(я =

±_ 1,

: t 2,

...) —простые.

гл =

ял

(n =

Ji 1,

2, ...) —

277.

a) z = 0 —третьего

порядка,

простые,

б)

г = 0 — простой/

гп = ял/

(я =

...) — второго

порядка.

а)

2„ =

(2я - И ) л /

(я = 0, ± 1 ,

± 2, ...) —второго

порядка;

278.

б) гл = (4я + 1)

f (я =

1, ± 2, ...) —второго порядка.

279.

а) г = —л/ — второго

порядка!

г„= ял/

(я=--0, +

± 2 ; ...) —

. простые;

б)

гп~

3 /"

1 ,

...),

(2я + 1)

(/1 =

1 +

/ К з

(2л +

1) у

-----2---------простые.

zn=

280.

a) zlt 2= ±

л/ — второго

порядка,

нет.

(2я +

1) л/

(я =

1, ±

± 3 ,

...) —простые; б) нулей

281.

Второго порядка. 282. Третьего-порядка.

283. Простой нуль. 284. Четвертого порядка.

285.

Первого порядка.

286.

Второго

порядка.

.287. Четвертого порядка. 288. Пятнадцатого порядка.

/я); б) ну

лем

289.

а)

Нулем,

порядок

которого не

ниже

чем min (я,

порядка я + т ;

в) нулем

порядна я —/я, е с л и я > т ;

правильной

точкой, ие являющейся

нулем,

если я = т ; особой точкой, если я < пи

в)

290.

а) Полюс

третьего

порядка;

б)

полюс

четвертого

порядка;

полюс второго

порядка.

291.

а)

Полюс простой;

б) полюс второго

292.

а)

(я = 0,

± 1 ,

+ 2,

...) — полюсы

второго

гл = ( 4 я + 1 ) —

порядка;

б) z = 0 — устранимая

особая

точка.

293.

a) z = —2 — существенно особая точка; б) 2 = 0 — существенно

особая

точка.

порядка, г = —-I

— полюс второго

294.

а) 2 = 0 —полюс второго

порядка; б) г = 0 полюс

второго

порядка, г = 2лл/(я = ±

1, ± 2,

—

простые

полюсы.

295.

а) г = 0 —существенно особая точка; б) г = —1— существенно

особая точка; в) 2 = 0 —существенно особая точка.

296.

а)

г = 0 — устранимая

особая

точка; г = 2д£ (k = ±

...) — полюсы

ГС

(к —0,

1,-

второго порядка; б) г — -^-{-2кл

2, ...) —устранимые

особые

точки;

гс

(/г= 0, ±

г = — -^+ 2кл

:»

...) —простые

полюсы;

в)

г = д — простои

полюс;

г —кл

(к = 0, — 1,

± 2, ± 3, ...) — полюсы второго порядка.

297.Устранимая особая точка. 298. Полюс простой.

299.Полюс простой. 300. Устранимая особая точка.

301.Существенно особая точка.

302.	2 = 0 — полюс	четвертого порядка, z = — 1— полюс простои.
303.	Устранимая	особая точка. 304. Устранимая особая точка.

305.Полюс простой. 306. Устранимая особая точка.

307.Существенно особая точка. 308. 1. 309. — 16/3.

310. 1. 311. —1. 312. 0. 313. 0.

ЗН .	res/(0) = 0,	r e s / ( - J ) =		*	, rgs/ ( f +						»
(п = 0, ±	1, ± 2, ...)•
315.	res (0) = 1/24.
316. res/(— 0 = '		' +	3 lcos 1,	res/(() = — ^ -^ ic o s l,					res/(3) =		^ .
						2	„Я/6+2ПЯ
317.	res./ J^(—1)"-g + n n j =				J 2	КЗ
317.	res./ J^(—1)"-g + n n j =				J 2	e Я/в+(2л- 1).^
					_	e Я/в+(2л- 1).^
					VI
					K f - Л/6+2лЯ
res/ j^(— !)«-*-»		g	=		V I '
res/ j^(— !)«-*-»		g	=		____ 2 _		я /в + ( 2 я - 1 )л
					____ 2 _		я /в + ( 2 я - 1 )л
						К з	(п =	0,	± 1	± 2, ...).
							(п =	0,	± 1	± 2, ...).
318.	r e s / ( 0 ) = - \| ,		res/(l) = e.			319. r e s /(—1) =			^ ,	res/ (2) =
____1
27'
320.	res / (0) = 0,	res/(2l) = - i ±				\| e	f. res/(2z)=	(1		‘ .
res/(23) = ^ i i ^ - —, res/ (zt ) = — ^					'}.*		■, где z k	( k = l ,		2, 3,	4)—
	4 ^ 2				4 V 2
корни уравнения г4+ 1 = 0 .

	res / (0) =	-	-g . 322.	res / (0) =		0.
323.	res / (— i) =		g sh 2 • i,	res / ^		) = ~ "§ ^			2e_^ £‘
324.	res/(0) =	- r e s / ( 3 ) = ^			s in ^ - \|j .
325.	res / (0) =	0.				H			(
326.	r e s /(—3) = -~ e-3', res/ (— 1) =					—	,	res/(l) = ^ -.
327.	r e s / ( 0 ) = - n42, r e s / ( j ) =				0.	328, res/ ( . ) = - 1..
329.	*2n (2/t — 1) (2л —2) ... [2n —(n								2)]
329.	res / ( D = ------------------- (—				i)]------------------- •
330.	resf(nn) = 0 (n = 0,			: 1 , ±	2,	...).
	% 00		1
331.			1	в точке г= 0.
331.	(2/1 -		1)1 (2/1)1	в точке г= 0.
332.	e в точке 2 = 1 .							1.
333.	sin 1 в точке 2 = 0; - - sin 1 в точке 2 =							1.

334.1— ег1 в точке 2 = 0; е~1 в точке 2 = —1.

335.в"1— 1 в точке 2 = 0.

	оо	(—1)л							Л
336.	VI	(—1)л							Л
336.	JL (2л)! (2/1 + 1)!
	JL (2л)! (2/1 + 1)!
337.	0.~338.	0.	339.	(1 —2^-i) т .				340.		2 (1 -е -* ) я*.
3.1.	— 4 л/.		342.	0.	343.		—	In 3 • лI.			344. 2ni.
	О						и
345.	[cos 1+	sin 1+ / (sin 1— cos 1)]							^	346.		я/.
347.	0. 348.	2 n t^ -.		349.		—пЧ.		350.		2л;.
			О
351.	sin 1—4 cos 1			я/.	352.		—	т	353.		0.	354. Зл/. 355. 0.
351.	12		г	я/.	352.		—	7~2	353.		0.	354. Зл/. 355. 0.
356.	2 = оо— простои полюс.
357.	2 = 0 0 —устранимая особая точка.
358.	2= оо—существенно особая точка.
359	2 = оо— устранимая					особая точка.

360.г= оо—устранимая особая точка.

361.2= оо—полюс третьего порядка.

363.2л/. 364. 0. 365. 0. 366. 2nd.

367.	я	/. 368. 2л/.			370.
367.	— -	/. 368. 2л/.		369'	370.	ab (а-\-ЬУ
	3			369'	У~2	ab (а-\-ЬУ
371.	3	372.	< Ц 2 -* " л .		373.
	8		ЬЬ* — а-		Ь- — 5а-
374.	2 (Ь2 —а*р		ЬЬ* — а-		Ь- — 5а-	375.	я.
374.	2 (Ь2 —а*р		Т 3	!"	а3	375.	я.

376.		гетт-- *77-! »■ ЗУ8-					J	379-^W
	п sin
381.	■у е_3 (cos 1—3 sin 1).				382.	у	е~4(2 cos 2 + sin 2).
383.	~ e - * ( 2 e - l) .			384. у	ег».
385.		п1 е	a!VilY iI/„„„cos __ _\|_ sjn				\| .	386. ^-а.
	2 К 2			V'2		К 2.
387	Я	е-та	388.	/3		I	3S9.
387	2а	е-та	388.	~ р	2 sin	п	3S9.
	2а			Y z		2
390.	^ (2 -р )< г “.			391. 0.

392.(362- а = - т 6 (3 6 = + а=)]. 393.

6 *)•

395-

2а<

4а3

•кп-

394.

а л.

396.

пе~

397.

j / "

- К

398.

я ( Д

----------Л

- ) .

399. - Д Ц .

\ sin ал

sin

6л /

—р2

400.

л (1 — р -f-р2)

401.

2л

402.

403.

1 - Р

Р“(Р“

7/---Л^г=г. 404.

л/.

405.

—

(а — V а 2 — Ь2).

406.

_■

К а 2 - 1

К 1 - а 2

407.

2л

1 —гса с^ л а

V а2— Ь2

2а2

409. i ' 4 ^ (clgha+clhna)- 4I°- иге

411.

412.

cm тт/>

413.

"^3.

414.

л ch qQ

а I ^

I л 2а2 ch ла

ла

2as h n a

2а2

415.

sh2 ла

sh ла Ч

416.

4а4

res

£ -Ф = 1

(6 = ±

1 , ±

...)

г = к п } ( г )

417.

res

(6 =

± 2. ...)

Л^

2—~ 4- А?л

418.

Л>

г= у

+/(Л

б) res

У (г)

(6 =

...).

г= (гл

^ ^ - = 4

419.- 2 - 420. 3. 421. 6. 422. —1. 423. —3. 424. —4.

425.2. 426. ]. 427. 1.428. 1. 429.. 2. 430. 6.

431.3. 433. Нет. 433.5. 434. Нет. 435. II. 436. С.

2.436. 3. 439. 4. 440. 1. 441. п. 442. 2.

443. 4. 444. Нет. 445. 1. 446. I.

450. а) Вся плоскость; б) вся плоскость, кроме точки г = £ в) вся плоскость, кроме точки г= 0; г) вся плоскость,- кроме точек

zk = 1 —	^ = 0» ± 1»			:£ 2» ••• Д) вся плоскость, кроме точки
г = — 2i.				г.
454.	а) и б) —параллельный перенос; в), г) и е) — поворот;
д) —растяжение,		6)	w = — az+b; в) w = — i (az + b), где а"и
455.	a) w = az + b;
b — действительные числа,			a > 0;
456.	а) w = —	z +		6) w = 2z + i; в) w = iz — 2.
457.	w = -
458.	У к а з а н и е .	Полагая		z = x + ity, w = u + iv, получим

и =	x	..	У
	х2+ у - '	V = -	х * + У * '

Обходя границу полуполосы, например, так, что область остается слева, в силу принципа соответствия границ находим, что образом полуполосы будет четвертый квадрант с выброшенным полукругом

2 ‘

459.

а)

. a r g K > = ~ - ;

б)

= 1 ,

— л <

arg w <

—i ; в)

—

\ и ^ -2*, у = 0; г) ~ < о < 1 , и = 0; д)

, и > 0.

460.

w = —

461.

® ~ 3

iz —i

з » w ^

462.

Re w > 0.

463.

и <

о.

464.

м -[-а <

465. а) — 1+ *;

б)

в) оо.

466.

а)

w = — az + b; б)

w = — i (az + b),

где

а п Ь —действитель'

ные числа,

а > 0.

z — i

.z —2i

467.

w =

468.

)

2 - г

а)

w = i -

-J- 1

2 + 2i

469.

w =

z — i

470.

Ш=

/г — Г

(3< — 1)Z — I — ЗГ

471.

w = i. 1 - 2

. Воспользоваться

формулой

(7)*.

1 + г

472.

u> =

2z —5

Воспользоваться

формулой

(7).

1 0 -2

473.

Р е ш е н и е .

Воспользоваться

формулой

w = ei(P- —

где

г0—точка

первого

круга, переходящая

в центр

1 —220

второго. В случае

а) имеем.

j = 0,

г. с. г0=

у .

Используя

условие

ar8 / ' ^ j

= ^ ,

п	.,	. 2z — 1	„
получим ф = у	Итак, w —i ;^		. В случае б) аналогично получим
до = — iz.
474 tt- s - *	+	^ ( l ~ D ( » + l )

5 —z + V 5 (i + К) (г + 1)"

475..Первый квадрант плоскости до.

476. Область — ^ I до — 1 | ^ 1, — — ^ arg (до — 1) <^0.

477. w =		J / ^ j i £ .			478.	to= Vre2IlJ/+ e '2Ilo«
<79. »	-	/ £	£	•	480.	до =
					<80. « - ( S i ) 1'
У к а з а н и е .				Сначала отобразить круг			на верхнюю полупло
скость, а	затем		преобразовать ее в плоскость				с разрезом.
					я

481.w=[(z —z0)e -i{*']v* — <Р‘в

482.w = — e~z. 483. до = (

1 /

484.

На

прямоугольник

{In г

ы ^

In #,

О ^ у ^

л }.

i л_

__ /_зт

485.

wY = ze

2 ,

о; = }/Лш1 =

}/Лге-

4 0 ^ 1 = 1 ).

486.

ш = Кш1== | / "

487-

w* = Wl- w(l -

488.

к;1 =

г2,

тогда a;i!z. l4I- =

2t. Согласно

формуле (9) до=<?*'$у

X -

-1 7 ~ - = е|ф2л

. Из условия

до(0) =

1 находим,

что

——.1.

ДО1 + 21

г2+ 2*

2/ —22

Окончательно ш= -— —

489.

Верхний

2i + z 2

| до — 1 | < 1,

1ш до >

полукруг

490.

Четверть

круга | до | < 1,

О С arg до <

-у.

491.

Прямоугольник с вершинами в точках

1, 2,

2 + ie,

l+ie.

492.

«* = 2*.

ш= ю*= ( 16+г4' а

16—ДО!

16— Z*)

n i

— g)

493.

до^= z — а, до2= £ - ^ д доь

до = £бГа?^а = е

494.

до =

In г.

495.

д о ^ г *

доа= — Дох,

до3=

± 1

w =

496.

доА=

2/2, до2=

до! + у

, до =

sin до2=

sin ^2/z +

j = ch 2г.

10 М. Л, Краснов н др.

497.

ш - 2

х—2

498.

2/ ! ± i

* » •

и,1 "

2г’

* -

т г

4г»—4 iz + l

4г»+ 4 {г + Г

502.

ш—

^гтт‘

603.

ю = е ‘'“ «

Z8ff

плоскость w с разрезом

504.

а) единичный

круг

| ш | < 1;

б)

вся

вдоль отрезка

и = 0, — 1 ^ v ^

1 .

н = * 3—^2+ 2 *+ 2;

функция

тока

505.

Потенциал

скоростей

о = 2

( * + 1)#;

линии

уровня

х2—у2+ 2х =

•— гиперболы;

линии

тока

ху+у*=с2— гиперболы; величина скорости

V = 2 К ( * +

1)3+^®5

направление скорости

Ф= — ardg

j--f /ШТ,

m = — I,

0, 1

(см.

формулу

(1)

на

стр.

7);

проекции

скорости

на

оси

Ох и

506.

Потенциал

скоростей

#2 —[р>

;

функция

тока

о =

ц = ^ 2^

---------- —-— ; линии

уровня

х*—у2= ^

(дс2+ у2)2; линии тока

ху =

= са (х2+

1/2)2;

величина скорости

V =

^3/2;

направление

ско

рости

Ф = 3 arctg — +

(3m — I) я,

/п = — 1, 0,

проекции

скорости

на оси Ох и Оу:

2х(3у>-х*)

2y(yi-3x*)

O x

(jC2 + f/2)3

•

V Oy

(x 2 - fy 2 )3

•

507.

Потенциал

скоростей

w =

у In [(* — 1)2+ 03];

функция

тока

v = a

t g

линии

уровня

(х— 1)2+ г/2= сх —окружности;

линии

тока

у = с2 (* — 1) —прямые;

величина

скорости

V =

■-*=_ -

направление скорости

и *

- 1)2+</а

Ф =

arctg

/ял,

« = * — 1» 0,

проекции

скорости

на оси Ох и Оу:

— -

•

( * - 1 ) 2 + ^ ’

(^ — 1 )2 _|_

508. /(г) = (1 - 0 *2+ *. 509. f (г)» sin г -р с.

510. Г^=в— Юл по обеим окружностям.

511.

а)

да;

б)

да;

в) нет; г)

да;

д) да;

е)

нет; ж) нет;

з) да;

и) нет;

к)

да;

л) да; м)

да.

512.

. . .

Г ( а - И )

р2‘

Н 3'

р» + 9 * 514

(р-1)*’

515.

,а+1

— •

Р°

516.

Нет.

517.

5 , 8.

Р‘+

519.

т а Т Г -

Р1

2р2(р+1)

520.— L . 521. — 1 —

р —а р3+ 16

523.

aF (ра). 524

525.

т (р2-\-т2 — п2)

Р(Р2 + 4)"

(р- + m2+

— 4т*л*в

526.

Р*+ 7р

527.

2тпр

______

{р2 + 9)(р2+ 1 у

(р2+ w2— п2)2— 4т2п2*

528.

4 р _ Д

529.

Р (Pt± I^+ J}L l

в ( р + р*+16

р2 + \ ) ‘

(р2 +

т 2 +

п2)2 - 4 т 2л 2‘

530.

Р2 + 2

531.

(Р2 +1) (Ра + 9)'

532.

2<ор

Р (Р*+4)’

(р2+«*)**

533.

р«+16р2 + 24

—г,»2

535

Р(Р2 + 4) (р2-{- 16)' 534.

(Р2+

(оГ - ‘

( P - I ) 2’

536.

2р8—6р

2 (р2 + р + 1 )

„ „

2р2+ 4 р + 8

<Р*+Т)Г*

537-

(р2-1)~

■

538’

(р2 + 4)* ‘

539.	бР		540
539.	(Р2- ! ) 2'
	(Р2- ! ) 2'
542.	(Р2 —4)2'		543.
546.	a) In -------	г	; б)
	р —	г	'
547.
548.	•> \|пр ^ т —

	<				54,		Р2+ Р 2+ р Ц 2-			*>2
Р(Р2+			1)-		5		р(Р2 +		« 2)2	■*
р2 + 2ш2						544.		1	545.
Р2 (Р2 + 4w2) '							‘ р2 -	м2		P<P + 1)S*
Р	+		1 .		1 ,У		р * + *
l n ^		i ;	’	В)	уг	In	-
р					2		р

«> lnf = r

549.	In— .	550. arc' g— .		551. arctg -- — arctg				ТП
	п		° п		° fit			ТП
552.	A In — + В 1 п 4 + С1п— . 553.					In — .
	«a		Р 1	у		a	p —m
554.	1 . 1 a + b			1			p —m
554.	T ln\| Z=rb •		55S- a>	(p — 2)2 +		Г' 6) (p-/»)+«•
556.	3i	557	1	—		P2-	2P
556.	(P+1)4'	1	CP—I)*—1■ 558.			(p2_2p + 2)'*
559.	1	1	p - 3
559.	2 (p - 3 )	2	' (p —3)2 + 4‘
10 *'

560.

р + а

2 (р + а ) ^ 2 [ ( р + а)2 +

4р2]'

561.

е- ь р

562,

е гьР

ре~ьР

563.

ег-Р

W + \ '

2р

2 (р2+

4) *

566.

Р = \ '

564.

\ — егР

565.

--——————щ

1—2егР+г*Р

\ — 2 егР + ег* Р

Ье~°Р

569.

1 —<гаР

567.

е ~ а р

568.

Р+ Ь'

Р(Р + Ь) '

оо

570,. Г ° Р-

57, ■ т2/г = 0

( -

0 Ч 2А+ 0

572. Р (р) =

Л . (2е~-аР — 1) +

в-»Р.

573.

0—ар

(2— е- а Р - ег*>Р).

F (р)= —

574. F (р) =----- 1

иг

2 «-«/»+ A

r « v .

ар2

ар1

575. F (р) =

-— ^

-----^ (Г2°Р.

ар2

яр2

576.

F (р) = —-----L g-ар + Д

^зар.

чг/

ар2

577.

Р(р)------j r ° P . +

«-Мр-

S79. F (

)

580.

1 + р —<г-р

Rftt

1 + е “яр

р2 (еР

1) .

ОО I.

,, .

{

р2+ 1

582.

- 1

I 2е

)

583.

(Р2+ О (1 —е“яр)*

Р2+ 1

\Р + 1 —ег*р)'

,2 е

8 Р

Ре

[*Р

3ir*P

3) Р3+ 4 ’ б) р2 + 9 ’ l) р2—9

588.

2 ]

т Ае“*Р.

589.

?-----

1) в

( Р - 1)(р 2+

590.

(Р —2) (р2+

. 591.

A t l f ( p )

1)*

592<

593, р3 (р + 2)*

595.

Р е ш е н и е .

Известно,

что

Ух (^) = — У' (/).

Используя

результаты предыдущей задачи и теорему о дифференцировании ори гинала, находим.

1	+ Уо(0) = -	v V + 2 - р
Ji (0 -.ь —Р	+ Уо(0) = -	К ^ + Т *
К> + 1	К р » + 1	К ^ + Т *

596.

Р е ш е н и е .

При

л = 0

и /1 = 1 формула

Jn (О

(К У -+ 1 --,р У‘

КрЧ-1

верна. Применим

метод математической индукции. Так как

то

(0 =

(0 - Л ж (0 « Jn-i (0) = 0

(п ^ 2),

(У рг+ \ — р)п~ъ _

2р (У р- + 1 —р)п~1_ (К р 2+

1 —р)п

V ¥ + \

\г рЧ л

/ р ч Л

597.

Р е ш е н и е .

Рассмотрим функцию

F(P) =

(л =

0, 1,

...).

Имеем

оо

(

0 * .

AI Jjn+ft+i*

/г — 0

2= С

Следовательно, / ( / ) =

j)/?//z+A

Замечая>

к = о

о°

( - D*<2

/ я ( 2 К 7 ) -

*!(« + *)!

’

/г =

получаем f (/) = tn/iJ n (2 VO).

В частности,

при я = 0 имеем

■/о (2 Y t ).

599.

Положим ср(/) = /ле“/. По

теореме смещения

/л<>-

л1

( Р + 1)'т

’

Нетрудно

проверить,

что

Ф (0) = <р' (0) =

... = ф,л

1} (0) = 0.

Согласно

теореме о дифференцировании

оригиналов

(tne- О

рп •

/г!

dtn

(Р+ 1)я+1

Используя

теорему смещения,

находим

(р — 1)л • я!

1 ( l _ l ) "

(„ =

1. 2 ....).

я1 pnYi

600.

где

С =

lim

( 1

+ ”Г

- 1п, 1) - п ° -

[15]).

/I -> оо \ 1+ - £ + • • •

стоянная

Эйлера

(см.

601. Р е ш е н и е .		Рассмотрим		функцию	/ (t) = e( erf ( У t ), и пусть
F (р) есть	изображение / (/). Имеем (erf /)' =				-т== <г/2,
					У я
								О)
Переходя	к изображениям		и учитывая, что /(0) = 0,				из	(1) найдем
pF(p)=F(p)-1—		откуда	F ( p ) ~ ------ г™7т = е			Здесь	мы	использо-
	Ур			(р — 1) У р
				1
вали результат задачи 515 и то, что Г ( — )= У я . Итак,
		е*erf (УТ)		1
		е*erf (УТ)		(р — \ ) У р *
				(р — \ ) У р *
Применяя теорему смещения,				окончательно		находим
		erf (V t ) ~		1
		erf (V t ) ~

' V P + i

607.а) т е~‘; б) |- т ) ( / - 1 ) .

608./ (0) = 0, /' (0) = 1 . f" (0) = 0.

609.

(/- 1 )» 1 !(/- 1 ) .

610. (/ —2) г| (/ —2).

е~* sin /.

611.

е'-а г) (/ -

2).

612. е-з

(/ -

3).

613.

614.

(е~*-

е-з').

615. (1 - / )

е~‘.

616.

~ t sin t.

617.1 - e - t - te r * .

618. ^ p ^ s i n

^ J p

/ .

619. ~+ 2< rl sin /.

620.

/ - s i n t,

621.

- i ei ' _ l e - ' - ^

c o

2/ -

sin 2/.

622.

1 —tur< +

i - n (n — 1) e-a' —... +

(— l)ne~nl.

623.

e - ^

s i n

l y / - / C0S? y

/J.

624.

e~! (1 —t2).

625.

e1'* ( c o s ^ / H - V I sin ^

/) -

{

<r*.

626.

+ ~

(4 sin / —3 cos /).

627.

(е~*—e<+3ie’).

628.

2^ + ^ ( 5- p

s i n ^ / - c

o s ^

/) .

629. у

te1—у

te~f/t (с<я у ? t+ Y b sin

tj.

630. у e'~> sin 2 (/— 1) t) (/— I) + cos3 (/—2) t) (/ —2).

631.(l-3)<r''-»>i}(*-3). 632. еМ т|(/-1)-т|(< -1).

633.	sin (t-	2) i\ (t-	2) + 2 sin (t- 3) n (t- 3)+3 sin {t- 4) ц (t- 4).
634.	sh(<—l)r](i—l) + ch2(<—2)л(< —2).
635.	{	-	j	~ ?) П ( < - y ) “

-^ С0в2(<~ т ) ^ - т ) - ^ 5,п2(<- т ) ,'( <- т ) -

636.(/ — 1) Л (^— l) + (^ —2)a Л (<—2) + (<—3)3r|(<—3).

637.						«38.	l - e r l ^ - l ^ .
639. Решение.				I	v - a / p				1
639. Решение.				/ р ( / p ) a		Полагаем Ф (р )= — r ,
		,— aVp	p / p	/ р ( / p ) a					к P
■—\	e	,— aVp		<r*P				запаздывания
M W )		. Отсюда F(p) = —----- , и по теореме						запаздывания
	( W )8			P ;\|2
			F ( p ) ^ ( /- a ) T ,( < - a ) = /( 0
По теореме Эфроса
		^		т*
		~~ '	...........	—a)*	4/ dx=		^ (T — a)e		At dx=
		~~ '	...........
		- TWSте			OO		V
Здесь		- TWSте		dx-	V n t		* - / , « + / , (0 .
Здесь								__	a*
	1		it					__	a*
Z i W -	1	те				- 2 W		" .
Z i W -		те		я (- 2,)‘		- 2 W		" .
	WИ7		d' ~ 7	я (- 2,)‘
		eo	x*	a	_x>		oo	x*
/,(0 =	v % f		" Л “ Т % 5 •“ " Л - T % $’ •’ “ *■
	v % f		" Л “ Т % 5 •“ " Л - T % $’ •’ “ *■

тельио

__ da

И о . ( , + ^ ) Е , / ( ¥ г 7 ) - « ' | / " 1 Г « ,

641.

<***+«•**< Erf ( ^

7 +

а/,^ Г)*

642.

Р е ш е н и е .

.- а У р

с=г. Полагаем

p(a+Vp)

VР Vp (a+Vр)

й—аУ7

Отсюда

ф (р ' ”

7 ?

’

р-ар

,—ар

^ (р ) = -Р (а + Р )

а \ р

р + а

1*1 ( t - a

) - r a «'-“’ij (t - а )]= f (О.

По теореме Эфроса

имеем

, - a V p

p(a+Vp)'

aVnt

оо

со

, т* ”1

I 2

Г . - Г - ” + «1 dx =

a h

g I

‘r ' d- 7 7 Jа s l

lYt

Erf (—

------- f

eaa+a'le ^ 2yf‘ + a V i) dr=

2 V l j

а У ni

Er f ,

e°(g,4a)

e~z" dz,

У n

VaK/

2 /Г

г д е Zl=W

f + a V L

Итак,

e- a f p

n(o/+df

p(a+Vp) '

•Erf (s7r+“^

^rf ( 2 НТ )

643.

Р е ш е н и е .

_1_

—

dx.

Сравнивая / (/)

I {t)*=-y^=r

chie

V nt

с формулой

(19),

стр,

172,

видим,

что / (/) =

cli /,

а значит, Г (р) =

= — - — . Следовательно,	F .(V p )—	. Взяв	Ф ( р ) = — полу-.
Р2— 1	р —1		) р
чим Ф (р) F ( V р) =	= / (/), откуда	/

644./ (t)=e~l. 645. / (t)=2te‘. 646. /(/) = 2te-(.

647.* (0 = ( / + l ) e - '. 648. jf (0 =-—1.

649.	x ( 0 = e~2~ ~ cos^		2 s m / .	650.	*(/) = / +	!	*2.
651.	x(t) = t.	652. x (i) = cos /.
653.
654.	л Ч 0 = * ^ ( 1 - е2/ +		2^ 2')-
655.	x (0 =	(Зе1' -	_ 2<r').	656.	x ( f ) = t -	sin t.
657.	x(0 = ^ e _2/ —^ c o s / + ^ \| sinl—-g- l sin t —						1cos t.

658.x(t) = j ( e r ‘- t e - ‘-cost).

659.x(t) = j e ‘- t - \ + j (cosit+sinO -

660. * (0 = | - P - l + c o s < - s i n < . 661. x(t) = ^ l-e ' + te\

662.ж (1) = e- ^ sin 2/ — 6"^cos2< —

663.x{t) = ^ (1— e'cosf+e' sin/)-

664.	x (0 = 2 +			(e~l —cos / + sin t).
665.	x(t) = r - - 4 t + 6 - 5 e - t - te ~ ‘.
666. x(t) = 2t-f				(e-' + cos/— sm<).
667.	x(t) = ^		t sin< — cos/ +		sl’n ^
668.	^ (0 =	- g - P - y < 2+ 2 / - 4 + e - '.
669.	x (t) **	о	+	~ <r( cos 2<+ \|- e~* sin 21.
				о	о
670.	x(t) —~ (cosZ + ch/) —*— 1.
671.	x (0 =	y	(1 —e~tcost — erf sin /).. 672. x(4)=\ —2co$t.
673.	x (t) =	^	t +	cos 2/ -г- - -	sin 21.

674. * ( 0 “ | - у “ |

cos21+ k e<skl 2t‘

675.	e'/4cos—	/ + -£=-e'/2 s	i n t.
W	2	V i	2

676.x(0 — 1— ^-(sin/+cos<+e-0.

677.* (< )-je < + |s i n / + i c o s < - l .

678.	* ( / ) * c h / - y / 2- l .			679. * ( 0 * 2 +			b (e'+ sin /-co sf).
680.	* ( 0 * e ^ l - / + y				681.	*(/) =	—	s in /- i- /c o s /.
682.	x (0 = 2e-' + fcr' +		l —2.
683.	* (0 - 1	tr‘ - -i *'/г (cos			/ -	3 V I sin -ijp /) .
684.	(/)=—	—T ^ —^			ял*•
685.	* (/)* j	e ' - f e-' + j ^			a x ^	- t +	y j e	' * sin	/.
686.	X(/) * COS f — / C08 t,
687.	* ( / ) « 2 + / - i - c o s / + i / e ' - \|- * ' .
688.	♦	99	fi		Q		4
688.		g -< r'— g			— ggcos2< + g		sin2/.
689.	*(0 — j	sin 2/+ ^	(cos 2/ —cos 40.
.690.	*(/) = -i-(/-l)e '+ -^ c o s/ + 2 sin< — 2/cos/.
691.	* ( 0 = e ' ( 4 “ * + l ) .
692.	* (0 — 2/ - 3+ Zer‘ — ~			(sin 2/ — 2*coe 2/ + 2e-').
693.	* (0 * 4/+ 3 —2e‘.		694.		* (/) = e2' - e1 - te*.

695.*(0 = 3 ^ —3 - 2 / - / 2- y .

696.*(/) — J-e‘ ( / * - 3 / + | ) +

+I « 2 ( r 3 s i n ^ . / - c o s - ^ . / ) - ^ ' .

697.x(i) = ~ sin2/ — sin/— ~ tcos2t.

698.x (/) = ^ [sin ni сова — nt cos (л/+ a)].

m . . ( 0 - 4 « - i , + g - ^ + J . , - » - ± ^ .

700. * (0 — ^[3/ cos / + (/2 - 3) sin /].

701.	x{t) = ~ eat sin Pt.	702. x(t) = I sin/ — ~ sin 2t.
703.	дс (0 = ^ e 2/—i- +	cost —— sin t.

704.	x(t) = \|		<J+ (I—Y)/ + (V— O + f-g— *)Н + 7 (cost— sin/).
705.		fiO	1	1	cos 2/.
705.	* (0 = gg ch 2< — —cos/ +				cos 2/.
706.	x (t) = e<{cost+ sint -			j +	<r4
707.	x (<)=	I	r"® (cos		sta J £ l<) + I (*_ I, s'.
708.	x (t) *	J- (tf2sin t + / cos t — sin t),
		4

709.j c ^ l V - e - ^ H - l ) ] .

710.* ( / ) = 1 - H ( | + H -I ).

711.* (/)= ! —-g-e-'— | i ' * cosХр-Л

712.	* (0 - \| j [sin2у л	(0 - sin5 ^ ^ 11(/- )] .
713.	x (/) — — cos t. 714.	x (/) = ( / - !)8+ e2-'.

715.*(f) = <2+2/. 716. x(t) = { t - ! - y ) c o s <.

717.x (/) = (<»-2< + 2) e1"'.

718.	— -j sin21j 4(0 — [(/ — D —				sin 2 (t— l)j x
		Xil (t - 1)■+ j [(*■-2)— i			sin 2 (t - 2)] n (t - 2).
719.	x(/) = [i + (l — fc) cos /] Y\ (t) + [b—b cos (l —a)] x\ (t —a).
720.	x (t)= A. sin 3/ii(0 + g [(<— 1)—			sin3(i— l)j i\|(i— 1)—
	- \| [ (	l - 2)— 3- sin 3 (1— 2)j ц(1— 2)+
		+	- [( -3 )	- j	sin 3 (*-3)] 11(/-3).
721.	3
	* ( 0 * 2 (—1)л [1 -<f-*a+ J - ka(t-ka)]x\(t-ka).
722.	/? = 0	Уравнение	движения		т Я = — шЯ,£ —2тр*1
	Р е ш е н и е .
(0) = дг0» * (0)=5=i>0. Операторное уравнение				имеет вид
	р*Х —рл'о— VQ+ 2[ipX — 2}.LVQ4"				= 0»

Х Ы

- Щ

“ “

X (р) =

л'° (Р + 41) + (■>*«-г =■'<>

хо (р + и)

4**0+ ^0

(р + и )а + (К 5Г = ^)2

(р + ц )* + я«

( р + | 1) * +л * '

где д2= Х —р,2.

для

X (р),

получим

Находя

оригинал

х (/) — ~

е~^1[пхьcos nl + (цлч> +

fy) sin nt].

723.

Уравнение движения

тх =

— тпЧ+

Fr\ (t) -

Fi) (t - T ),

л: (0) =

к (0) = 0.

724.

Уравнение движения

х==ап2 — п2х,

л:(0) = 0,

i(0 ) = 0.

725.

Уравнение движения

тх —— mg — 2kmx,

х (0) =

0,•

х (0) =

v0.

726.

Р е ш е н и е .

Уравнение движения

mJc = F.

(1)

В нашем

случае т = 2, F = / 70+ a/ = 4 + a/>так что уравнение (1)

приобретает

вид

2х =

4 + at,

(2)

х(0) = о ,

je (0) = ю.

(3)

Операторное уравнение имеет

вид 2 (р2Х — 10) =

---- f-

^ » откуда

*-?(£+£+»)•

X (р),

получаем

Находя

оригинал

для

х ( / ) = 1 2 /3 + /2+10Л

Для

определения

величины а имеем следующую систему:

450 =

ап

„

- ^ - - • - /= + Ю;0,

1 0 5 = -^ 1 + 2/0+Ю ,

откуда находим, что ./0= 10, я*= 3.

727.Уравнение движения

тЯ = Atrix— 3тк.

X(0) = 1 , Л- (0) = 0, Ji(l) = -g- (Ае1 (Г*1).

728. Уравнение движения mX —mg— kx,

В силу условия	задачи	h = - ^ m g при		v = l	м/с, так что окон
чательно получаем уравнение
	dv	1 .	v ( o ) - 0.
	- d f = e —		v ( o ) - 0.
откуда
(	-	e‘A	0max= 3	при	t=co.
v(t) = 3 \1 — e		3 ),	0max= 3	при	t=co.

729.Уравнение движения

mx =

—

x (0) =

x (0) =*o0,

* (0 = = + ( l - < T ^ ) ,

*max=

при

t = CO.

730.

Р е ш е н и е .

Опишем

движение

нижнего

конца

цепочки.

Выберем

начало

координат

точке О (см.

рисунок)

и направим

ось Ох вниз.

Тогда

начальные

условия

будут

л*(0) =

JC (0) = 0

(цепочка

неподвижна).

Если абсцисса конца есть, х,

то движущая сила

равна

весу части

цепочки,

свисающей со сто

ла, т.

е.

F = ”^ x

Таким

образом,

дифференциальное

уравнение

движения

таково:

тх = ^ - х , х (0) = /, х (0) = 0 ,

«27

Рис.

ответу

730.

По этому

закону движение будет происходить до того момента Г,

когда цепочка

целиком

соскользнет со стола. Мы^найдем этот момент,

положив х = 2/:

4 = еTVii* 21+ е~ТУг 721*т

Обозначив z ~ e

т1 / А

уравнение

21, получим

г2—42+ 1 = 0,

откуда

z1 = 2—1^3<С I,

z2 = 2 + V 3.

zx отбрасываем,

так как

ему

соответствует

отрицательное

значение Г.

Итак, для

определения Т

получили

уравнение

2/ я

2 +1^3,

откуда

Т = j / " ~

In ( 2 + К з ).

731.

Уравнение движения

2m*6a,

л;(0) =

а,

JC(0)*0,

A:(/) =

acos (V"2Л:/).

732.

Уравнение движения

m i?* — р/ше,

л; (0) =

JC(0) =

t д=

733.

Уравнение движения

mX —

k*,

*(0)=*0,

х (0) *

* (0 = 600 (1 — а*” 0,010 .

734.

Уравнение

движения

Я+

4л:= 2 cos

*(0) = 0,

jc(0)=0,

х ;/) =

(cos/*—cos 2/).

735.

Уравнение движения m r = — mk2r или

* *

— #**,

я (0) « а,

х (0) = 0;

г/ =

— k2y,

у (0) = 0,

у (0) =*с/0.

Траектория

л:2

и2

точки—эллипс:-^ + —• =

736.

Уравнения

движения

Т2

х (0) = а,

х (0) = 0;

§ = #ty>

у (0) = 0,

0 (O )*t'o.

JC2

и2

Траектория точки — гипербола:

~ * 1 ,

T F

737.

Д. у.

- £ со в(“ / + а )> Q '/- o = 0,

.Л

/-0

dO I

738.

Д. у.

= E sin nt,

Q [,_0=

-u

739.

Д. у. L ^ + m - E

sin (coZ-J-a),

/!,_„ =

().

740.

Д. у.

dt2

Q - £ I *| (<) + ( £ * - £ ,)

dQl

/-o = o

•

741.

Д. у.

1 n

4- ^ 0 = F 01 _О ^ 1

= .

L W

+ R ~dT +

c Q=E<

~df\ UQ

742.

*(/) =--(Сх+ С гС-)ег‘.

743.

x (/) =

C(.

744.

* (0 =■■tr 1.

745.

x(t) =

746.

x (/) =

c'.

7/47.	a) x (<)= 2		( - 1 ) J 2*S!CJ J ! L .
					'* (2s)! ’
	«) , ( 0 - 2 ( - D 'S 'i c S j B T n i -
748.
749.	* ( 0 - r M ( / + l ) In ( /+ ! ) - < ] .
			P**1L		-«41.
750.	x ( i) - ( e ' + 2)ln-				-«41.
751.	x ( < ) « « '- 1 - ( < +			In 2) (< Ч		1) +	( е Ч	1) In ( < 4 1 ).
						t	\
752.	* (0 e	sin Ш	—	arctg tg		*
			n		W
						-f cos/ln (24-COG0 — ln3cosf.
•753.	*(/) =		9 - л	/ з		V s		V s sin t — 2
•753.	*(/) =		27		cos /"}*““— sin t In
			27			36		1^3 sin t + 2
							/ 3
							----- cos t arctg (V s cos i) .
754.	x (t) *				я		1	sin f • In		sinf —^ 2
754.	x (t) *	cos / arctg (cosY) —— cos t — —						sin f • In		sin f + V 2
										sin f + V 2
755.	* (0 *	sin t arctg (sin 0 + cos /					1
755.	* (0 *	sin t arctg (sin 0 + cos /				2 V 2 *
						2 V 2 *
					x{\|n\|FirSf\|-'"(3+s’"9}-
758.	JC(0 -	— shH -2ch/(arctg^ -j j .
757.	x (/)*	In 2 cos f— cos t In (2 + sin t) — t sin t-\-								t
										t
					2		I	2 lg i + 1
			+ Y		% (2 sin *+ 1) \ arctg —				y i —
758.	x (0 =	e', у (/)—		«'.	759.	x(t) = el,		у (/) =	<?'.

780.x ( < ) = 2 ( l - < r '- f e - ') , y(f)*=.2-t-2<r‘-2t<r‘.

761.	* (0 = ^ (e' - e*4 2/e»0, у (0	(5^ - e»' - 21^).
762.	x(0 = ef (cost — 2 sin/), у (0 =e' (cos 1 -f 3 sin l).
763.	(<)■•■—( « 4 2со» 2 Ч я п 21), y ( 0 m!'T (*-“ cos21 —~ sin 2 lV

764. л:(0 =	ё -	У &		- 1	сое * +	^	Sin/ —		,
	О			99	4			1
У Ц) = ~ - з			е' +	51 ^ ' + 17 C° s ^ - J 7 sin *■
_	L g-21			12	_2 4- — e14- - eif 4- — й3' -
------T5		^	+	12	•	+	6	+	3 e +	2(T

*w—Л*',-'**'+т‘“+4л

766.	* ( 0 = - f l ',		у (0 =		0,	г(0 =	й0
767.	л: (t) = j { ^		-	r* 0 .		У (0 -	у	(Зе3, +		2r*0,
	г (0 =	4- (Зй3' + 2<r20.
		5			(11 —4a)eaf			,	3e°f
768.	x(t) =	Зе-« .
		4(2 + а)			4 (2 —а)			1	аг —4 *
	1/(0=		0- 2/		(11- 4 а ) й2'				,	(о+1) в0'
		4(2 + а)			+				^	а2- 4 *
					~г 4( 2 — а)
769.	* (0 = 2— в"',			у(0 = 2 - Н ,				г (/) —2е~'—2.
770.	*(0 = 6е'-е2'-4еЗ/>					у (<) = Зй' — 2ез/, г (/) = 6й3' + й2' _ е^.
т		15р + 1 ¥ - 2 + ? ' + ! ' ! + 20« ' ”'
		1		13	■2- 5 - ' +			! ' 1 + 210'*'
	у О)—-15/2 ^			12/

г<« — W - j , + T ,’+ T '‘-

772.*„,(<)-*-*&■£■ (/71 = 0. U 2.........п).

773.

*(0 = у

й - '- ! * - * " 11,

У(0 = ^

И - й

- 6^ ) .

774.

* ( 0 - j

J/(0 =

5 ..

...

5 ...

2 . .

j <

j ,

* ( Q ~ y * * — f < +

£ .

775.

*(0 = |

йЗ / - й-

' - | -

| ,

* ( 0 = 4 8 й З / + * - / - 4 _

776.

Уравнения

движения

электрона

— ^ у, л: (0) = 0, * (0) = %

Н ^

’

^ (° )===0»

0 (°)в

°»

,А

t/0mc

. eHt

...

ты

1 - с * ' * ) .

x ( t) = JLrr

sin

— ,

у It)

eti

тс9

v w

еЯ

тс J

Траектория электрона х2+ //2

2т а >0

еН

- У = 0.

777.Уравнения движения

	тХ —0,		х (0) = 0 ,			х (0) = -^= ,
	1					V 2
			i/(0) =		0.	0(0) = -^= .
	my = —gm,
	I	^2				f 2
Наибольшая	высота		точка
		Я = ^~;			падения * = — •
778.	Пусть	электрон		вылетает		из начала	координат. Выберем
ось Ох параллельно направлению магнитного поля Я, а ось Оу
выберем так,	чтобы вектор vQлежал в координатной						плоскости хОу,
Тогда уравнения		движения		будут
	fmJe =	0,	*(0) =		0,	х (О) = 0о cos а,
		еН	у (0) =		0,	у (0) =-о0 sin <zt
	ту — — —
	„	еЯ .	z (0) =		0,	£ (0) = 0.
	т г =	т у.
Траектория	электрона			2i>0cm sin а ,
		r/2+z2-
				eH		z = 0,

=/о0 cos a .

779.Уравнения движения

[mx =	— kmx,	х (0) =	0,	х (6) =		t'ocos a,
\my =	— mg-— kmy,	y (0) =	0,	у (0) =		v0 sin a,
		v0k sin a +			g
	</(0 =5			^
780. Уравнения, движения
m£ = — — y — kmx, *(0) = 0,					i( 0 )= t/,
	c

. eH . , . my = — x —kmy,

[,ml = — kmzt

781.Уравнения движения fmx = — 2Ял' — р2*, \т § = — 2Я,«/—pfy,

782.Уравнения движения

г/(0)=0.		p(0)= 0,.
z (0) = 0,		i (0) =0.
x (0) =	a,	x (0) =	0,
1/ (0)	0,	$(0) =	t’0.

imX = 0t	х(0) = 0,	£ (0) =	t;0l
\my = — mk2y,	i/(0 )* a ,	£(0)в	0»
	y(t) —aco%kt.

Траектория точки y —ac<x

783. Ф(х) ** у

sh х

sin х.

784.

Ф(х) - i - (е * -е-* /2 cos

V J е~х^

sin

785.

ф(х) =«х +

-jjr х3.

786. ф (х) =

е**+-g- cos х +

— sin x.

787.

ф ( х ) - 2 + х - е 2( с о в ^ ^ - К з

s i n £ |- ^ .

788.

Ф(Д)—

- J

- * +

| *

- ^

- i g

789.

ф (х)*= у< г* +

-^ е* +

^ е “*/2 ( с о в ^ |- ^ — К з

s in O - ^ j .

790.

ф(х) =

у ^

- е - *

+ ^ я п >

л2

x j.

791. ф (х )-х е* .

792.

ф (х) -

е*.

793.

ф (л-) -

-1 -

— cos V

f х.

794.

ф (л:) -■ ch х —хе~ .

795.

ф (х) = ~

(ch х +

сое х).

796.

ф ( * ) - *

- !

х».

797.

Ф(х) = ^

sh ^ х .

798.

ф (*) *= 1 —х.

799.

ф (*) *= 10 (х),

так

что

J0 (х — 0 / 0 (i) dt** sin х.

800.

ф (*)==!

801.

ф(дг) =

е“*.

802.

ф (х) =

1 +

2х+ у

х2, + х * .

803.

ф (х) =

2хе*-х*е*.

804.

ф (х )= 1 .

805. ф ( х ) - 1 —

806.

ф, (х) -

г *

(1 - х ) ,

Фа (х) =

| e

y x

< ^

- | е-*.

807.

ф! (х) =

е™,

Ф, (х) =

i - е°-х.

808.

Ф! (х) =. -1 е * / * ^ з

Sin ! ^ x + 2 c o s ^ x j —

Фа (х) = е*'гх ^cos ~ х - у = sin

х) .

809.	<Pi (х) =	(х +	2) sin х + (2х+ I) cos л:.
	Фа ()	(1 +	1-) cos * —	+	xj sin x.
810.	<Pi (х) = —g— sin }^3 х — £-shx,				ф2 (х) = сск^З х —3 ell х.
811.	<5Pi(л) =	2(1 — х)е~ж, (р2(х) = '1 — х)е-*.

«*■ 2 Й Й 'М

ft= 0'

у2 » (/—

eia. ,< < != 2 8>(> + э д Г ч 11- * 1-

/г «О со

8М. , (0=	2
	/г =	0
	оо
815. *(/) =	^	(~	О* ^
	*>- о
		г
816. Jt(0 =	( - / + -i<*)nW +
			00
		+	У	(( - к+ У к~\. (/ -З А + 2 ) 1](<-А + 2).
			k =	3

817. * (0 = * (l+ / + g ) n ( 0 +

		+ 2 №		* - ч + 2 % т 5 ? ' * - *
818.	х*(/) =	/г «= 1			Л = 1
818.	х*(/) =	cos Л
819'•		г		г,г.й	\
819'•	и , ,			j
			2Ykt
820.	и (х,	0 = -^=-	\	е-** Л .
		К л	J
821.	и(х,	0 =	/а-)■"S f'1*'/-!-			•
= ай- д:1/Г		2ЛCOS	/а-)■"S f'1*'/-!-			•
= ай- д:1/Г		2ЛCOS

. u[xt t) = a e

ХУ Г Ы sin

—

-J-

P __

е~Р* sin x

p2 +

c«)2

4Л ( / — T )

823.

e ~ s 7

(f - T )3/3 - dx.

$ ’ (’) S =

824.

Д. y.

^ - = 0 2 0 ,

O ^ x s S l,

O O ,

«l/-o =

"o.

K(X,

<) =

“ l +

1\2JT*

4(Ui-:U0)

( -1 )"

( 2 a - 1) я»

- « * ( я - а )

|f<

Л=1

2л— 1

825.

Д. у.

* L = a* ^ £ ,

x >

/ > 0 ,

= /ш IA*—о»

h =

const,

+ ^

+‘" ’''Er' ( w

)] ■

При решении задачи воспользоваться теоремой Эфроса

(см. § 14).

* * • * » • 1 4 ж

' » « '* = '• ,> 0 '

“ Ь > - о .

v L - ь

' J - 0- Щ г — Т ’

8Л

(~ 1)* sin

(2- ■^>!) ЛД: cos -(2k +

1}:7lci

«(*>

/) =

я 2£

/г=0

(2/?+

1)2

d2w

£■

« * « ' '

» .

gx (2/ —х)

£ „ /~0- » •

“ «’• о - 0’

- ° .

Ц(Х,

0 =

2с»

(2 * + 1 )(* - /) .я

(2 » + 1 )п й

\6gr-

cos

п3с-1 2 (-')*

(2*+ !Я

• 828.	и(х, <) = - - § - (*3-		21х*+ Р) +
				_	(2Л +1)л/			. (24-1) я
		.	8Ы*	® cos -— J—i— sm - ------—
		.	8Ы*	X
			Л5	Z l			(2Л+1)6
		д°-и		k - 0
829.	а .	д°-и	0 S£ JC		t,	О	0,
829.	а .	дх-	0 S£ JC		t,	О	0,
		дх-	’
	и (х, 0).	Ahx ( l - x )		ди (х,	0)	О,	и (0,	l) = u (/, /) = 0,
		Р		dt
		со	со: (2 ^ + Р		яо/		(2*+1)я«
	, .	32Л V		1			'
	“ (*•	Л -------			(2*+1)3
		к=0

830.	\—е~Р •			831.			е-Р		• 832	l —e-P 833.
						(I -е-Р)2
834.	__еР (еР—cos 1)						835.		еР sin а
	е2р \|_ 2еР cos 1+					1			е2Р_ 2^р cos а + 1
836.		еР sh 1					837.		сР	2сР
	e2P-26?Pch 1+ 1					*			еР — е	еР— V '?

838.	1	еР	+ 1 -			еР (еР— cos 2)				839.	e<t-k)p
											еР - 1 •
	2	еР— 1 ^		2	t2P — 2 ^ cos2 + 1 *
840.	f	--gP	— 1 — е«-Р—е2а-=р') e-iP.
	\eP —ei								I
841.	еР (2 ch 2 -			еР) sh 2			g.0	’	(4<?2Р — 3<?^+ !)
	fc2 p _ 2 eP ch2+ l						#		(еР — 1)з

<?Р

еР —а

843.		с/7"1		sin 2		р.		еР+2 (еР+ в-)
	е2Р_	2^Р“1 cos 2 -f г2				44’		(еР -		^2)з~ •
845.	ер (еР —е3 ch				1)	846.	gP+i (eP +			g)
	е2Р— 2еР+з ch 1+ ев *						е	Р	— ef
						~ (
847.	еР(еР+1)			ЯЛв (^-Р -1)сР					849. In а -}-In еР - 1
	(<?Р-1)*			•	(с2Р+1)2					еР — а'
850.	а + arctg			sin а		851.	In	\f&p-~ 2еР cos а -j- 1
			еР— cos а ’							e P - J
852.	1	,		ж/" ^ - « г 1			853.		еР [(1 + е 2Р) cos а — 2сР]
	<?р>—-11 1пуШ У				еР~е-	'			(g2P _ 2ePcosa+l)2
854.	gP (g4P_[-2c3Pch a — 6e2P + 2eP ch a +									1) sh a
				(g2p — 2eP ch a + 1 )3
855.	eP (2e*P— 5e2P ch a + 4cP ch2 a — ch a)									e
			(e2P— 2 cP ch a+ l)2
856.		.		gP — ge®			1		g2p_2cPch U j - 1
		0+11		cP — ee •		j7,	2	n	e2P—2cPche-(-l '

sin 8

858.

e + arctg еРС1 —--- Vcos.WOсе

sin 2е

1 - е я

859.

, .

1 / .

— arctg -

— п") •

ввО.

« - 1 + - 2

arctg -^

—cos 2е

1 - е

ь еР — cos 2 У

861.

п (п+ 1)

862.

1 — ея

863.

1 - е

(1 —е)2

1—е2

864.

...).

Л/(гг) =

Д*/(л) = 0 (* =

2, 3, 4,

865.

Д*/(л) =

(<Н-е2)*

(6 = 1 ,

2, 3, ...).

(6 =

3, 4,

...).

866.

Д/(л) =

2л,

Л2/(п) = 2,

Д*/(л) = 0

867.

еР(е2Р+

4еР+1)

осо

еР

fiCft

2efl-#’P .

V - i ) i — •

868-

-& р = т г

m - w = w -

2л— 1

. оЛ— 1

л (л — 1) (2л— 1)

871.

(л— 1) sin— 2~

sin2—у - а

870.

2 sin у

2 sin2

*о|а

л (л — 1) (л —2)

872.

873. (1 —е cos а) (1 —е” cos na)-\-en+1 sin a sin па

е2 —2ecosa+l

874.	пЗ""1.		5я —3"		л_л	/1Л
		875.			876. sin —?г-
877.	1+(-1)я		1	л + 1
			2	sin — i — я.
				2
878.	л л - In л /2	•	Зля	879.	« ( « - D	„«-а
	a z	sin
					2	в •

880.Второго порядка. 881. Нулевого порядка.

882.Первого порядка. 883. Третьего порядка.

884.	2я.	885.		(— 1)я (1 - п ) .			886.	2Я/2 s in - ^ - .
									4
887.	1 - 2 я/ас о 8 -^ -.					888.	2	C0S	4
			л2 — п				2	C0S	4
889.			л2 — п			800. Зл— 1 -Н — 2)я
				2	•		9
891.	4д-1-Ь 15 • 2”~3 — 7 (— 2)я_3							892.	1-(-1)я
									2
893.	я ( я - 1 ) (я - 2 )_					зп_3.	894	л ( л - 1 ) ( л - 2 ) , (_		1)л_ч
895.	л5	__	п*_			^ Зл2	Зл
895.	60 ~		Т	+	“3		20 *
896.	Асимптотически устойчиво. 897. Асимптотически									устойчиво.

898.Неустойчиво. 899. Неустойчиво.

900.Устойчиво, но не асимптотически.

901.Асимптотически устойчиво. 902. Неустойчиво.

903.Неустойчивый фокус. .904. Центр.

905.Устойчивый фокус. 906. Седло.

907.Неустойчивый узел. 908. Неустойчивый узел.

909.Устойчивый узел. 910. Точка (0, 0, 0) устойчива.

911.Точка (0, 0, .0) неустойчива.

912.

Асимптотически

устойчиво

при

а < 0 .

Во всех

остальных

Случаях

неустойчиво.

устойчиво

при

а < 0

и а > 1 ;

устойчиво,

913.

Асимптотически

но не асимптотически

при

а = 0 и а = 1 ;

неустойчиво при 0 < а < 1 .

914.

Неустойчиво

при

всех а .

915.

а ^ О .

916. а ^

— 1/2.

917.

Асимптотически

устойчиво

при

с ф < 1 ;

устойчиво,

но не

асимптотически

при а р ~ 1 .

при

р < а 2( а < 0 ) ;

устойчиво,

но

918.

Асимптотически

устойчиво

не асимптотически

при: 1) а = 0 (Р < 0 );

2) Р*=а2 (а < 0 ).

( а < 1 ) ;

919.

Асимптотически

устойчиво при

а 2 +

Р2 — 2а >

устойчиво, но

не асимптотически

при:

1) ct =

(! Р i >

1);

2) a 2 -j-

+ р- — 2а = 0 ( 0 ^ а < 1).

920.

Неустойчиво при всех значениях а и 6.

но

921.

Асимптотически

устойчиво

при

а 2+ р 2 —р < 0 ;

устойчиво,

не асимптотически

при

а 2 + Р2— Р = 0 (а Ф 0,

р Ф 0).

922.Устойчиво, но не асимптотически при р + 2 а + 1 = 0 ; асимп тотически устойчиво при всех остальных значениях а и р .

923.Асимптотически устойчиво. 924. Асимптотически устойчиво.

925.	Асимптотически	устойчиво.926.	Устойчиво.
927.	Асимптотически	устойчиво.928.	Асимптотическиустойчиво.
929.	Асимптотически	устойчиво.930.	Неустойчиво.

931.Неустойчиво. 932. Асимптотически устойчиво.

933.Асимптотически устойчиво. S34. Асимптотически устойчиво.

935.Неустойчива. 936. Устойчива. 937. Неустойчива.

938.Устойчива. 939. Неустойчива. 940. Неустойчива.

941.Асимптотически устойчива. 942. Устойчива.

943. Исследование по первому приближению невозможно. С попощью функции Ляпунова устанавливаем, что точка (0, 0) асимпто тически устойчива. 944. Точка покоя устойчива. 945. Нулевое решение системы первого приближения неустойчиво, а для полной системы оно асимптотически устойчиво.

946. Если а > 0,- Ъ> 0, то условие устойчивости имеет вид

cos Т > 0, где Т = (—l)*x0 + foi (fc = 0, 1, 2, ...), x0 = arcsin у (см. [2]).

954. Устойчиво. 955. Неустойчиво. 956. Устойчиво.

957.Неустойчиво. 958. При а > 1 /2 .

959. Решение неустойчиво при любом а. 960. При а > 13/6. 961. При любых (а, Р) из области G (см. рис.).

962.	При любых (а, Р)	из области	G:	а р > 3 ,	а > 0 ,	Р > 0
(см. рис.).					р > 0,
963.	Решение неустойчиво	при любых	(а,	Р). 964.	р > 0,	<f>2.

965.	Все корни	в левой полуплоскости; решение устойчиво
(см. рис.).
966.	Два корня в левой полуплоскости, два корня в правой;
решение	неустойчиво	(см. рис.).

	Рис. к	ответу	965.	Рис. к	ответу 966.
967.	Устойчиво.		968.	Устойчиво.	решение неустойчиво
969.	Два	корня в	правой полуплоскости;		решение неустойчиво

(см. рис.).

Рис. к ответу 969.

970.Устойчиво (см. рис.). 971. Устойчиво. 972. Устойчиво.

973.Устойчиво. 974. Решение устойчиво. 975. Устойчиво.

976.Устойчиво. 977. Устойчиво. 978. Устойчиво.

979. Устойчиво (см. рис.).		980. Устойчиво.		(см. рис.).
981. Чисто мнимые корни;		решение	неустойчиво	(см. рис.).
V
J\			V
6	ч	~ 7	2	* и

Рис. к ответу 979,

Рис. к ответу 981,

982. Два корня в правой полуплоскости; решение неустойчиво.

983. Два корня в правой полуплоскости; решение неустойчиво (см. рис.).

984. Два корня в правой полуплоскости; решение неустойчиво.

Рис. к ответу 992.

Рис. к ответу 996.

Рис. к ответу 097.

998. / (л) = С, • 2" +

С2

- У

999.

f (л) =

(-1 )"

(4л* -

7/1 + 1).

1000.

/ (/I) =

( " ^ • )

[ с х cos

arctg |

j +

С2 sin (п arctg

j j .

1001.

/ (л) =

2n ^CJ + CJ COS-^J

^ + C , s i n - ^ - j .

1002.

/ (л) =

( - ! ; "

(Ct + С2л) +

2я' 2 (c 3 cos - ^ - +

C4 sin

J .

1003r / (л) = 0 , (1—У 2)n+ C 2 (1 + К 2)я —

1004.

/ (я) = 2

• 3я +

(— 1)л (8л - 2 ) .

. плг

с / \

l i p .

rm .

tiTi

sin 2 (я — 1)

1005.

/ (n) =

-- tg 2 • cos - ^ - +

2 cos 2

1006.

f(n) = Cl + C2n + C9n*+ - £ - 1jr .

1007.

/ (л) =

2» ( - 1 - + C , cos - ^ 4 - C2 sin

+ C, ( - 2)".

1008.

Асимптотически

устойчиво.

1009.

Устойчиво, но не асимп

тотически.

Асимптотически

устойчиво.

10 11. Неустойчиво.

1010.

1012.

QQ-

> 0,

— Яз >

3 (До —

— Оа>0,

3(Оо+«з) — ai —я2> 0 ,

a'i — а1— а9а2 +

а1а3> 0 .

1013.

1 —<7>

1+/7 + ? > 0 ,

1— р + ^7> 0.

1014.

- 1 < р <

1015. \ а \ > Ь .

Неустойчиво.

1016ъ

Асимптотически

устойчиво.

1017.

1018.

Асимптотически

устойчиво.

1019.

Неустойчиво.

1020.

Неустойчиво.

1021. Неустойчиво.

1022.

Неустойчиво.

П Р И Л О Ж Е Н И Е

ОСНОВНЫЕ ОРИГИНАЛЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ

					CO
	Оригинал / (/)			Изображение F (p) я J		/ (/)	rf/
					0
1.		1			J
1.		1			P
					P
2.	in ( /1 = 1 ,2 ,...)				n\
2.	in ( /1 = 1 ,2 ,...)			p r i n
				p r i n
3.		(а > — 1)		П 0 + 1 )
3.		(а > — 1)		p<m		r
				p<m		r
4.	e)J	(X — л +	Ы)		1
4.	e)J	(X — л +	Ы)	p —X
				p —X
5.		/V*'			n\
5.		/V*'		( р - Я ) лП
				( р - Я ) лП
G.	TV-'	(а > — 1)		Г («+!■)
				< P - * ) a+1
7.	sin о)/ (о >		0)	_	5 U -
				•р Ч - W-
8.		cos cot		•	p
9.		sb (i)i			(0
9.		sb (i)i		p2 — (o-
				p2 — (o-
					/
10.		ch cot		.	P
11.	№ sin со/			(p -X )2 +		coa
				(p -X )2 +		coa

Оригинал f (/)

‘ 12.

cos сot

13.еМsh (at

14.- № ch (at

15.t sin (at

16.t cos (at

17.t sh (at

18.t ch (at

19.	sin (t — T) (T > 0 )

20.cos (t —T)

21.tn sin (at

22.tn cos (at

23.Jn(t) ( Л - 1 , 2 , ...)

24.	Erf,( a \	2	?
	\ 2 V T j ~ V n		aJ2J\ft
25.	S i * - J	s i a x dX
	U

П р о д о л ж е н и е

------------,

	00	/	dt
Изображение F (p) *= J / (0			dt
*	0

p —X

(p2 +0)2)3

P2 —O)2

(P2 + Ш2)2

2po> (p3_ 0)2)3

P2+ 1 pe~xP

P2+ 1

Im (p + /(o)n+t (P3 + (l)2)4+l

Re(p + /o))«+i (p2+ 0)2)"+l

()/p2+ l _ p )«

l 'V + i

1 g -o t/p - p

arcctg p p

Оригинал / (0

26.	C W -	$	т Х <Ь
		t
		ebt — eat
		t	•
28.	I n f	l)	(a > 0)
29.		In/
■a

П р о д о л ж е н и е
Изображение F ( p ) * f09f (t)e pl/ di
	0
i l n	'
P	v V + i
i	a-
111	------7-
	p - b
_ L _ (K p * + a* - p ) "
y ( lny - v ) ,	Y = 0.57722...

ЛИТЕРАТУРА

А р а м а н о в и ч

И.

Г.,

Л у н и

Г. Л.,

Э л ь с г о л ь ц

Л. Э.

Функции комплексного переменного. Операционное исчисление*

Теория устойчивости. —М.: Наука,

1968.

Б а р б а ш и н

Е.

А.

Введение

теорию

устойчивости. — М.:

Наука,

1967.

В о л к о в ы с к и й Л. И.,

Л у нц

Г. Л.,

А р а м а н о в и ч

И. Г . -

Сборник

задач

по теории функций

комплексного переменного.—

М.: Наука, 1970.

Лекции

по математической

теории устой

Д е м и д о в и ч

Б. П.

чивости.—М.: Наука,

1967.

б.

Е в г р а ф о в

М. А. Аналитические функции.—М.: Наука,

1965.

Е в г р а ф о в

М.

А.,

С и д о р о в

Ю.

В.,

Ф е д о р ю к

М.

В.,

Ш а б у н и н

М. И.,

Б е ж а н о в

К. А. Сборник задач

по теории

аналитических функций. —М.: Наука, 1969.

К а р с л о у

X.,

Е г е р Д .

Операционные

методы в прикладной

математике. —М.: ИЛ,

1948.

исчисле

К р а с н о в М. Л.,

М а к а р е н к о Г. И. Операционное

ние.

Устойчивость

движения

(задачи

упражнения). — М.:

Наука,

1964.

Г. И.,

М о р д а с о в а

Г. М., П о д о л ь с к и й В. А.,

К р у ч к о в и ч

Р и м с к и й - К о р с а к о в

Б.

С.,

С у л е й м а н о в а

Р.,

Ч е г и с

И.

А.

Сборник задач

упражнений по

специальным

10.

главам

высшей

математики. —М.: Высшая

школа,

1970.

Л а в р е н т ь е в

М. А., Ш а б а т

Б. В. Методы теории функций

11.

комплексного

переменного. —М.: Наука,

1973.

А.

Введение

М а р к у ш е в и ч

А.

И.,

М а р к у ш е в и ч

Л.

в теорию аналитических функций. — М.: Просвещение, 1977.

12.М ы ш к и с А. Д. Математика для втузов (специальные курсы).— М.: Наука, 1971.

13.	П р и в а л о в И. И. Введение	в теорию функций комплексного
14.	переменного. — М.: Наука, 1977.
14.	П ч е л и н Б. К. Специальные разделы высшей математики. Функ*
	ции комплексного переменного.	Операционное исчисление. —М.:
	Высшая школа, 1973.

15.Р о м а н о в с к и й И. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче ские и специальные функции. Преобразование Лапласа. —М.:

16.	Наука, 1980.		А. Г., Т и х о н о в			А. Н.	Теория функций	комп-
	С в е ш н и к о в
17.	лексной переменной. — М.: Наука,					1979.		М. И,
	С и д о р о в	Ю.		В.,	Ф е д о р ю к	М. В., Ш а б у н и н
	Лекции по теории функций комплексного переменного.—Мл
18.	Наука, 1976.		И.	Высшая математика			(специальные главы).—
	Ч и н а е в П.
	Киев: Виша	школа,			1977.

19.Э л ь с г о л ь и Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариаци* онное исчисление. —М.: Наука, 1965.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4545

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.46 Mб81225.pdf
#
15.11.202212.48 Mб81226.pdf
#
15.11.202212.5 Mб31227.pdf
#
15.11.202212.62 Mб21230.pdf
#
15.11.202212.64 Mб21232.pdf
#
15.11.202212.71 Mб71235.pdf
#
15.11.202212.77 Mб121236.pdf
#
15.11.202212.77 Mб31237.pdf
#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб131245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf