гак что второй

ряд

сходится

в

области

j r + 1 < 1 . Данный ряд

расходится всюду.

'

П р и м е р

11. Определить

область сходимости ряда

\°°

(3 +

4Q0"

Viv i f(z±+22i\n

JL

(Z +

2i)n

JL \

6 У

n= 1

oo

/1 = 0

Р е ш е н и е .

Для

ряда

^

имеем

/i=

l

''=

lim

' =

'im 13 + 4 /1= 5.

/»-.00 I (3 + 4 i)n I

, , _ OT

V

/2

9/ Vn

«■'

\

ь

имеем

/2 = 0

— о ,

C/I4-1 -— °

•

Поэтому

радиус сходимости

этого степенного

ряда будет равен

Я =

П т

I 6"л 1

*

- £

^

Т = 6.

п —+ со

iD

л

Он

сходится

в области

| z+ 2 i‘ ! <

6.

Итак, г = 5 <

Я = 6. Следовательно, данный ряд сходится в кольце

5 < | x + 2 i | < 6.

2«- 2 (^ + 2 ^

о'-1»-

п=1

*

п= 0

*«• 2 У?+ 2 5 -

п -

I

245т

(2+1)»

г

Ал

(*+ !)»

(с+

л )» '

п — 1

п = 0

2 4 6

_______*

«л

I

V

/ __ 1 \п (г—0п

2 ( 2 - 0

+

4

L

(

l)

(2i)n •

оо

/1 =

0

со

247,

7 +

2

*"*

248,

-

7ГТ +- 2

1)” (Z “ 1^

п = 0

/1 = 0

249-

2 S+2 S

(б ^ о ) .

а =

1

а = 0

г <

Функция

R

/ (z),

однозначная

и

аналитическая в

кольце

< ! г —Zo I <

(не

исключаются

случаи, когда

г = 0

и Д = - г ° ° )»

разлагается в этом кольце в ряд Лорана

(*>=■ 2

сп(г—го)п =

2

сп ( г - 20)»+ 2

с „ (г -г0)л,

(22)

П =

— ОО

П = — ОО

/2=0

где коэффициенты с„ находятся

по формулам

—1

со

(+* - 3*

П в 2— СО

2=

/2

1

г0)"

1

1

1

1

/(*) = (2 2 _

1)2

4

\ Z — 1

2 + 1

1 1

1

1

1

I

1

1

(24)

4 (г -1 )*

V z —'1"*“ 4 2 +

1т

£

(г + 1)-*

Первые два слагаемых в правой

части (24).имеют

нужный вид,

так

как представляют собой степени разности

(г— 1)/

Последние два слагаемых запишем в виде

1

1

1

1

1

<4 K S 4 ‘

z + 1

(г— 1) + 2

1-

г

- 1 ’

(г+ 1 )

Применяя

формулу

(12),

а затем формулу (11) при а = —2, получим

+

Н'-'^+№

№

4

2

—

1

(25).

1

(2+1)1= т [ 1

. —2 (—2 — 1) (—2 —2) /г -

1\з

+4

‘

3!

■;

(26)

Подставляя (25) и

(26) в

(24),

найдем

1

_

1

1

J

1

( 2 2 - 1)2

4

( 2 -

1)2

4

z —

1

1

8 Г

2

+

i

[ 1 -

(г -

1) +

1

(г -

1)*-

> (г - ! ) ’ +

•• •]

ИЛИ

__ 1

_

1

1

1

1 +

- ( 2 — J \ +

(22- 1)2

4

(Z— l)2

4

2 — 1

‘ 16

8 К

П р и м е р

13.

Разложить

в ряд Лорана функцию

{(г) = г2 cos-*-

в окрестности

точки

г0 = 0.

комплексного £ имеем

Р е ш е н и е .

Для любого

г2

М

£в

COS * — 1 — ^ ----L

~

_L_

21 * 41

61 ' ” *

Полагая £ = — ,

получим

Z ’

, W

_ A

+

J _ .

2!

^

4!z- 6!z4"

z2 cos -z =

J_ r2

________ ___ I-

1

n 4!z-

6!z4^

•”

Это разложение

справедливо для

любой точки z ^ O . В данном слу­

выброшенной

точкой

z = 0.

Это

«кольцо»

можно, определить

с по­

мощью

следующего

соотношения:

0 < ! z —0 j< -(-o o .

Здесь

г = О,

/? = +

со, z0 = 0.

Данная

функция

является

аналитической в указан­

ном «кольце»,

П р и м е р

(14J

Рассмотреть различные разложения

в ряд Лорана

функции

/ ( г) = _2Z± J L

приняв z0 = 0.

П ) z * - |- z - 2 ’

Функция /(z)

имеет две

особые точки:

= —2 и

Р е ш е н и е .

г2= 1 . Следовательно,

имеется

три

«кольца»

с центром

в точкег0 = 0,

в каждом из

которых

/ (г) является аналитической:

а)

круг

j 2 ' <

1;

2;

б)

кольцо

1 < j z , <

круга | z ] ^ 2 .

в)

2 <

; г | <

+ со —внешность

Найдем

ряды Лорана для функции /(z) в каждом из этих «колец».

Представим / (г)

в

виде суммы элементарных дробей

/(*) =

7Т -

z — Г

(27)

а)

Разложение

в

круге

1г. <Преобразуем

(27)

следующим

образом:

'<!>-rh+dr

1

1

(28)

1 _7*

1

£

Используя

формулу

(12),

получим

'+ |-

'

1

=

1+Z + Z2 + Z3 + ...

| z l <

1,

(29)

1 — Z

1 _

=

Z

Z2

: +•••

i z ] <

2.

(30)

1 —^

-UT-

1+ z

2

‘

4

Подставляя

(29)

и (30) в

(28),

получим

* - =

J __ :

Z

•_ 2’1- _U

_ ( 1 I Z

z2_1 2Я

\ =

Z--j-z —2

2

4 ‘ 8

16 1 *" 1 ^ +

1 +

1

3

7

15

- ,

2

i Z

8 2

162 + " ‘