2)

Если действительная

часть

хотя бы одного

корня

характери-

стйческого уравнения (5) положительна,

Re£/ = p , > 0,

то точка

покоя

x[(t) =

0

( t = l ,

2, .... п) системы

(4)

неустойчива.

п р о с т ы е

3)

Если

характеристическое

уравнение

(5)

имеет

корни

с нулевой

действительной

частью (т. е.

нулевые

или чисто

мнимые корни),

то точка покоя

*,-(/) = 0

( i = l ,

2,

...» п) системы (4)

устойчива, но не

асимптотически.

точки

покоя (0,

0) системы

П р и м е р

4.

Установить

характер

У =

— х .

Р е ш е н и е .

В данном

случае

й \ \ = 0,

й\2 == 1»

@2\ == — 1*

flf22 =

0.

Характеристическое уравнение

— k

или

62+ 1 = 0.

— 1

Корни

характеристического

уравнения

&lt2 =

±LI — чисто

мнимые.

Точка

покоя

устойчива

(центр).

( х = х - у ,

Л = 4у - х ,

903.

904.

\ у = 2х + 3у.

у = —9х + у.

( х = —2х — Зу,

х = х - 2 у,

905.

906.

\ й = х + у -

у = 2у — Зх.

907.

х = — х + 2у,

908.

1 9=*х + у.

у = —2х + 3у.

х = 2х — y-\-2z,

909.

910. y = 5x-3y-\-3z,

\ У = - х - 4 у .

. z = — х — 2z.

( Л = х — 3у + 4г,

|

* = Яцx + a12ij,

/j\

\

У = а21х + а22у

' }

ах и

а2 являются

непрерывными

функциями от а и р ,

поэтому

знаки

ах и а2 будут

меняться там,

где

а1 =

д2= 0, т. е. на прямой

Р —а = 0 и на гиперболе

1 + а р — Р= 0.

Эти

линии разбивают

пло­

скость

параметров а,

Р на

четыре

области /,

//, Ilf, IV

(рис.

37),

в каждой из

которых

знаки

и а2 постоянны.

Возьмем по одной

произвольной

точке в

каждой области

и определим

в этих точках

знаки коэффициентов

и а2.

а2 = — 1 < 0. Нуле­

Область

I: в

точке (— 1;

1) имеем а1 = 2 > 0 ,

вое решение системы в этой области неустойчиво.

Область

II: в точке ^0,

имеем а1 = - ^ - > 0 ,

а2= у > 0 «

Ну­

левое решение системы

в области

II асимптотически

устойчиво.

Область

III:

в точке (1,

0) имеем ах = —1 <

0, а2= 1 > 0. Нуле­

вое решение

в области

III

неустойчиво.

4 <

0, а2 = — 1 < 0.

Область

IV:

в точке

(2,

—2)

имеем

Нулевое решение в этой области неустойчиво.

на

границах

рас­

Исследуем на устойчивость нулевое решение

смотренных выше областей.

1)

р = - —!— f

а <

1 (граница

между сбластями I

и

II), На этой

границе

1

а

так

что нулевое

решение

на

ней

устойчиво,

аг >

0, а2 = 0,

Функция

v (tt хи

дг2>.... хп) называется

определенно положищеАЬ-

ной в Н-окрестности начала координат при t ^ t0,

если

существуй

такая не зависящая от t

определенно

положительная

функция

w(xlt дг2, ...,

хп),

что v (t,

хх%хъ ...,

xn) ^ w ( x 1, х2,

...,

хЛ) пРи

всех указанных значениях аргументов и

v (t, 0, 0,

0) = 0.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнении

^

= //(* .

*1. х2,

Хп)

(1 =

1, 2,

.... я),

(1)

и пусть

V((,

*i, *2. •••»

*л)

dv _

dv

,

п

dv dXi

VI

*2>

*«)•

(2)

dt

~

dt

‘

Zd

dxi

dt

»= ]

Если

правые части

системы (1) не содержат явно t, то такая система

называется

автономной

или стационарной.

у с т о й ч и в о с т и .

Вели

I. Т е о р е м а

А. М. Л я п у н о в а

об

система дифференциальных уравнений (1) такова, что существует

функция

v(t,

кг,

х2, ..., хп),

определенно положительная при

в некоторой Н-

окрестности' начала координат,

производная которой

вычисленная в силу системы (1),

неположительна, то тривиальное

решение системы (1)

устойчиво.

II. Т е о р е м а

А.

М. Л я п у н о в а

об

а с и м п т о т и ч е с к о й

у с т о й ч и в о с т и

(случай автономных систем). Если автономная

система дифференциальных уравнений

—fi (*1,

*2.........хп)

(<=1

2........... п)

(3)

такова,

что существует функция

0^

,

х2, ....

хп), определенно поло,

жительная в некоторой Н-окрестности начала координат, производная

которой

, вычисленная в силу системы (3),

определенно отрицатель­

на,

то

тривиальное решение Х[ =

0 (i = 1,

2,

...,

п) асимптотически

устойчиво.

v(t,

xlt х2, ...,

хп)

х2,

..., хп), фигурирующие

Функции

и

cj(.vlt

в приведенных выше теоремах, называются

функциями Ляпунова.

Назовем

областью

v >

0

какую-нибудь

область

окрестности

п

переменных^, х2, ...» хп%

i = i

начала

координат

пространства

поверхностью

о = 0,

в

которой

функция

v4принимает

ограниченную

положительные значения.

v

Допустим,

что

функция

обладает

следующими

свойствами;

1)

при

сколь угодно больших

значениях

/ в сколь угодно мало^

окрестности

начала

координат

существует

область

и > 0 ;

2) в области

v >

0

функция v ограничена;

3) в области

v ;> 0

производная

составленная в силу системы

уравнений (2), определенно положительная.

III.

Т е о р е м а

Н.

Г.

Ч е т а е в а о н е у с т о й ч и в о с т и . Если

для системы дифференциальных уравнений (2) можно найти функцию,

удовлетворяющую

условиям

1),

2),

3),

то тривиальное решение этой

системы неустойчиво.

системе (2) все /,• не зависят явно от t,

З а м е ч а н и е .

Если

в

то функцию

Ляпунова

нужно

искать

как не зависящую явно от Л

П р и м е р

1.

Исследовать

на

устойчивость тривиальное решение

системы

' ^ =

— (д:—2у) (1

dv _

dv dx

'

dv dy __

dt ~

dxdt

‘

dy dt

=

2* (2y -

x) (1 -

*2 _

3y2) -

4y (x + у) (1 -

- 3y2) =

= - 2

( \ - x 2-

Зу2) (л*2 +

2y2) <: 0

при д’остаточнб малых x и у.

все условия теоремы А. М. Ляпу­

Мы

видим,

что

выполняются

нова

об устойчивости.

решение

х =

0,

у = 0 устойчиво.

Следовательно,

тривиальное

П р и м е р

2.

Исследовать

на

устойчивость

тривиальное решение

системы

(

£ = -

5* - 2*3-

^ _ S v _ Q „ 3

Р е ш е н и е .

Функция

v = x2+ y 2 удовлетворяет условиям теоремы

А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости:

1)

v (,v, у ) ^

0,

v (0, 0) =

0;

2)

~ = 2 х ( -

Ъу2х3)+ 2у (5лг-

3у*) =

-

(4**+

6</*) *£ 0,

т. е.

^ <

0

и ^ = 0

только

при

х = 0 ,

у = 0, и

значит,

есть оп-

dt

dt

*

0, у = 0

ределенно отрицательная функция. Следовательно, решение х =

асимптотически

устойчиво.

dx

9

,

ш = х + у '

dy

=

,72

^

dt

у2+ х.

Р е ш е н и е .

Возьмем

в качестве

v (х, у) функцию

v =

*3 + ху + у

Здесь областью

v > 0

является,

например, область * > 0 ,

у > &

В области v >

0 имеем

dv

dvdx

dv dy

(x2+ y)2+

(* + y2)2> 0.

dt

FxTt +

dy dt

у =

Согласно теореме H. Г. Четаева о неустойчивости решение

0 неустойчиво.

Покажем на примере один метод построения функции Ляпунова»

называемый

методом деления

переменных.

П р и м е р 4.

Дана система

уравнений

Г х = ах2 + Ьу,

(4)

\

y = — cx + dy3.

Найти для

системы

(4) функцию Ляпунова в виде

v(x,

y) = Fi (x) + F2(y),

где

Fl (х),

F2 (у) — некоторые

пока

неизвестные

дифференцируемые

функции.

В силу системы (4)

будем

иметь

Р е ш е н и е .

О = F\ (х) i +

F; (у) у = F[ (х) (ах3+ by) — F'„ (у) (сх—dy3).

Потребуем,

чтобы

функция

Ь имела

такой

же

вид, что и функция

v (х, у), т.

е.

чтобы и она

представлялась

в виде суммы двух фун­

кций—одной, зависящей только от

х, другой —только от у.- Для

этого необходимо, чтобы имело место тождество

F\ (*) by — F't (у)

0.

Разделяя переменные, получим

сх

_

by

F', (у)'

и,

следовательно,

каждая

из

дробей должна быть постоянной

вели­

чиной, например,

равной

у .

Тогда будем иметь

сх

_

1

by

1

откуда

F\ (х) ”

2 ■

"2 ’

F\ (*) = сх2,

Fs (y) = by2,

так

что

где Ri

имеют порядок выше первого относительно \^ ¥ ‘

е.

фактически

разложим правые

части

(1) по формуле Тейлора по сТе'

пеням

х в

окрестности

начала

координат). Вместо точки покоя

с**“

стемы

(1)

исследуем

на

устойчивость

точку покоя

линейной систеМы

п

^ г =

2

<3,-/ (0 X/

(i= 1. 2,

«),

(3)

/= 1

покоя

системы *(3)

устойчивость

(неустойчивость)

точки

покоя

исхоД"

ной

системы

(1). Вообще говоря,

строгой связи

между

системами

(1)

и (3)

нет.

1. Рассмотрим

уравнение

П р и м е р

dx

(4)

dt

Здесь

f(t,

х) =

х2.

Линеаризированное

уравнение для

уравнения

(4)

имеет вид

ф)

Решение

*(/) =

0

уравнения

(5)

является устойчивым (см. стр. 219).

Оно

же,

будучи

решением исходного уравнения

(4), не

является

для

него устойчивым. В самом деле,

каждое действительное решение урав­

нения

(4)

имеет

вид

I

Х 0

.

* = т —V

*!/-о=*о*.

и перестает существовать при

1=

— (решение непродолжаемо).

П р и м е р

2. Рассмотрим

хо

нелинейное уравнение

d t ~ x

х е .

(б)

Линеаризированное уравнение

имеет вид

dx

= х.

(7)

dt

Решение

х (t) =

0

уравнения

(7)

неустойчиво, так как

каждое

реще-

ние этого

уравнения имеет вид

х (0 = Cff,

и очевидно,

что

^(О .-^ + оо при

/->- + со. С другой стороны,

реше­

ние

х(/) =

0

уравнения (6)

является

асимптотически

устойчивым,

Однако при определенных условиях

устойчивость (неустойчивость)

решения системы

первого приближения

влечет устойчивость (неустой­

чивость) решения исходной системы (1).

когда коэффициенты a/у (t)

Ограничимся

для простоты

случаем,

в (3) постоянные.

В этом случае

говорят,

что система (2) стационарна

приближении,

все члены Ri ограничены по t и разлагаются в ряды по

п

степеням хъ

..., хп в некоторой области ^ х] ^ #» причем разло-

i= I

«и — Ь flia

«1Л

«21

«22—^

«2 П =

0

(8)

«/II

«Л2

«лл

^

имеют отрицательные действительные части,

то тривиальное реше­

ние Х[ = 0 (£ = 1, 2, ...,

п) системы (2)

асимптотически устойчиво,

положительную

действительную часть,

то

точка

покоя

xt = О

( i = l , 2,

'...,

п)

системы

(2) неустойчива,

т.

е. и

в этом случае

возможно

исследование на

устойчивость

по первому

приближению.

З а м е ч а н и е .

Если

действительные

части

всех

корней

харак­

теристического

уравнения (8) неположительны, причем действительная

системы

* — — х у -{Sx* — i/Q,

/

/q\

\

У = х — 3y+ Hi/4.

Р е ш е н и е . Нелинейные

члены

удовлетворяют

условиям

теорем

1 и 2. Исследуем на

устойчивость

точку покоя

системы

первого

приближения

(

х = — х + у,

( 10)

1 у = х -3 у .

Характеристическое уравнение

имеет

отрицательные

корни

кг,2 = — 2 +

1^2.

Следовательно,

на

основании

теоремы

1

точка

покоя

* =

0,

у = O' систем

(9)

и

(10)

асимптотически

устойчива.

уравнение

колебания

маятника

П р и м е р

4. Рассмотрим

ic-j- Q X -J- b sin х =

0.

(11)

Здесь

х — угол

отклонения маятника

от

вертикали.

Уравнению-(11)

соответствует

система

х = у,

(12)

у = — ay — b sin х.

Точки

покоя

системы

(12)

х =

kft

(k — целое),

у —0.

(13)

Исследуем на устойчивость точку покоя * = 0, у —0, получающуюся

из (13) при &= 0. Используя

разложение

Xз

•••

sin * = * —gj- +

запишем систему первого

приближения

{

"=f/’

„

.(14)

I

*/=

— Ъх—ay,

v

характеристическое

уравнение которой

Х2 + аХ+ Ь = 0.

(15)

Если

а > 0 ,

6 > 0, то

корни

уравнения (15)

имеют отрицательные

вещественные

части,

и,

следовательно,

точка

покоя * = 0,

у = 0

устойчива'по

первому

приближению.

(л,

0),

что соответствует

Исследуем теперь на устойчивость точку

k = \.

Используя разложение

(* —я)3

sm х =

{х

я) -}-"

«j--------- ...

и перенося

начало

координат

в точку

х = я,

у —0,

придем

к системе

\

х.

I'

(16)

I

у = Ьх —ау,

4

характеристическое

уравнение

которой

№ + а Х -Ь = 0.

(17)

При

а > 0,

b > 0

корни этого

уравнения

будут

действительными

П р и м е р 5. Исследовать на устойчивость точку

покоя х = 0,

у = 0 системы

( x = y - x f ( x , у),

(18)

\ y = - x - y f { x , у ) ,