- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
имеет изображение |
1 |
^ |
/ \ |
||
~ е |
0 ^ /ч - j (совместная теорема |
||||
подобия |
и запаздывания). |
|
функций: |
||
587. |
Найти |
изображения |
|||
а )/(/) = |
sin ( 2 / - 5 ) , , |
/ > £ , |
|||
°, |
|
|
Я |
||
|
|
|
|
* < v |
|
|
| |
cos (з/ —ъ V t > n |
|||
|
\ |
ь / 1 ^ 1 8 ’ |
|||
б) /(0 = |
|
|
|
Я |
|
|
(I |
0, |
|
|
‘« г 18* |
|
( sh (3t —6), |
( > 2, |
|||
В ) , ( , ) - | |
О, |
|
( < 2 . |
||
588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
|
|
|
/( /) = 2 |
mk6 ( t - k ) . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k = 0 |
|
|
|
|
|
|
IX. Те о р е ма |
у м н о ж е н и я |
(теорема |
о свертке) . Про- |
||||||||
иэвгдение двух |
изображений F (р) и Ф (р) также является изображе |
||||||||||
нием, причем |
|
|
|
|
|
t ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F (Р) Ф (Р)-г-U (т)<р(/ — т)<*с. |
|
(12) |
|||||||
Интеграл |
в |
правой |
части |
(12) |
называется |
сверткой |
функций |
||||
/ (0 и ф (0 и |
обозначается |
символом |
/ (/) * <р (/). |
|
|
|
|||||
П р и м е р |
|
14. |
Найти |
изображение функции |
|
|
|
||||
|
|
|
|
ф (/)в ^(/_т)е*<*т. |
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . |
Функция |
ф (/) |
есть |
свертка функций |
/(/) = / |
и |
|||||
ф ^ ) * ^ . По теореме умножения |
|
|
|
|
|
|
|||||
♦ (о „ |
V <р)- |
F (р) ф <р>- |
1,. |
. |
|
|
|||||
П р и м е р |
|
15. |
Пусть |
t \ (р) «= |
, |
f s (p) = i |
( * > 0, i/ > 0 |
— |
|||
действительные). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
/-*-1 |
г |
/>ч |
tv- 1 |
|
|
|
§ Н] |
|
|
|
|
По теореме умножения |
|
|
|
|
|
|
\ |
V ~ ^ x- ldx- |
(13) |
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
1 |
|
i x + y - 1 |
|
FAP)F2(P)= рх+У Г (х+ у ) в |
(14) |
|||
Из (13) и (14) имеем |
|
t |
|
|
t*+y- 1 |
1 |
|
|
|
|
т)'/~1тл**1 dr. |
|
||
Г (* + у ) |
Г(х)Г (у) |
5 » - |
|
|
|
|
|||
Положив т = Х/, из последнего равенства |
получим |
|
||
f x + y - i |
tx+y~l |
f1 |
|
|
г (х + у) |
Г(х)Г(у) |
|
|
|
Интеграл в правой части есть В-функция Эйлера В (JC, у). Мы при ходим к замечательной формуле, связывающей В- и Г-функции Эйлера
В(х g) = LSx)Г
{Х’ У) Г (х + у)*
П о в т о р н а я с в е р т к а . |
Пусть имеем три функции fa(0, fa(/), |
||
/3 (/). Тогда |
^ |
|
|
F, (р) F,(p) т- |
{ /, (т,) /, |
(< - |
Tl) dTt. |
Далее |
6 |
|
|
|
|
|
|
(F1 (Р) • F2 (р)). F 3-(P) ^ j j j |
’ /г (Ti) /, |
</ - |
т, - т,) Л , } /, (тг) dr. ■ |
// — т2
= ^ /з (т2) ^Т2 \ fa (Ti) Л (* “ Т1 ~^*2) ^Т1*
6 б
Пусть
* Л (Р ) = “ Т--1](0.
Тогда
/* —Та
F3(P)F3(P) . |
( J/2 (Ti)П(t т2 Тг)dtj. |
||
Р |
Т= ^ /j (Т2) *2 |
||
О |
о |
||
|
|||
Из определения функции ц(/) следует, что фактически интегрирова ние ведется по области / > т 1 + т2, где г| (/ — тх —т2) = 1• Таким обра зом,
т- |
Ыт,)/а(т2) dr, du. |
Tl ■+- Та < t
Воспользуемся |
этим результатом |
для нахождения объема «-мер |
|
ного шара. Введем |
прямоугольную |
декартову систему координа? |
|
Xi, х2, ..., |
хп в «-мерном пространстве. |
||
Объем |
Vn (R) гипершара радиуса |
R определяется, равенством |
|
vn(R)= |
|
Ц |
... J |
|
dxi dx* • • • dxn- |
|
||
|
x* +4 + "- +xn < R'~ |
|
|
|||||
В силу симметрии |
шара |
относительно его центра |
|
|||||
|
|
|
А1 "Ь x~i |
•• -Т х7г ^ |
|
|
||
V„(/?) = |
2Л |
\d x l \ d x , . . . \ |
dxn. |
|
||||
|
|
|
|
6 |
6 |
6 |
|
|
Сделаем замену X^ V |
Tк (А=1, 2, |
...» |
п). Тогда |
|
||||
V . W |
- |
|
И |
< |
|
. у л - ' * ’” ... |
||
Это есть повторная свертка п одинаковых функций |
|
|||||||
/а(0 = |
11(0 |
|
(/е= 1, |
2, |
|
л), где |
t = R \ |
|
77Т |
|
|
||||||
' |
Y t |
|
|
|
|
|
|
|
Изображение каждой из таких функций |
|
|
||||||
|
/а- (0 |
^ |
77= |
(см. задачу 515). |
|
|||
Поэтому |
|
|
V р |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Yя)” |
я"/'2 |
|
|
||
|
V J Y D . |
|
|
|||||
|
|
|
|
р\-*-п/2 |
pi -гЛ/2 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
я "/2Д" |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(Л). |
|
|
|
г( ‘ + | ) |
|
|
||||
|
|
|
г(, + ") |
|
||||
Итак,
- ЯП/!/?"
В частности, при п = 2 находим
^ (Л)вГ % в,1/?2- Найти изображение следующих функций:
t |
t |
589. $e'-TsinTdT. |
590. J cos (* - T ) ezxdx |
0 |
0 |
t |
t |
591. $(l-T)*chTdx. 592. \ ( i - x ) n i ( x ) d x .
t
593. \ e ^ U 2dx.
о |
р а з л о ж е н и я . |
Если |
F (р) -г-аналити- |
||||
П е р в а я т е о р е м а |
|||||||
честя функция в окрестности |
бесконечно |
удаленной |
точки и равна |
||||
в ней нулю и если лорановское разложение F (р) в окрестности беско* |
|||||||
|
|
|
оо |
С_к |
|
|
|
нечно удаленной точки имеет вид F(p) = |
1 |
то оригиналом F (р) |
|||||
рЬ |
|||||||
служит функция |
|
|
к=*=1 |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
т |
- 1 |
Ск |
|
|
|
|
|
( k - \ ) \ |
|
|
|
|
|||
/г*= 1
причем этот ряд сходится при всех t.
П р и м е р 16. Рассмотрим функцию F |
. Она анали- |
тична в окрестности бесконечно удаленной точки, и ее лорановское разложение в окрестности этой точки имеет вид
Тогда |
|
|
/(')= 2 |
(2л)! |
= |
cos t, |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( — |
1 ) л / 2 л |
|
|
|
|
|
|
|
|
т = 0 |
|
|
|
|
|
|
что совпадает с известным результатом. |
|
|
|
/(/) = У0 (/), где |
||||||
П р и м е р |
17. |
Найти |
изображение функции |
|||||||
J0(0 -Функция Бесселя нулевого порядка. |
|
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . |
Известно, |
что |
([20]) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(2k |
|
|
|
|
|
|
м о ~ 2 |
( - |) *(k\)2 22* ' |
|
|||||
|
|
|
|
к =и |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим функцию F (р)= ■/ — |
|
Эта |
функция однозначна в |
|||||||
области р | > |
1, |
|
У 1 + р 2 |
|
|
бесконечно удаленной |
||||
аналитична |
в окрестности |
|||||||||
точки и обращается в этой точке в нуль. |
Найдем ее лорановское |
|||||||||
разложение |
в окрестности |
бесконечно |
удаленной |
точки по формуле |
||||||
разложения |
бинома: |
|
|
|
|
|
|
|
||
F ( Р ) - |
|
1 |
I / . |
. 1 |
\ |
2 _ |
v |
( |
- 0 * (2*)» |
|
|
|
P Y ^ P - l |
~ |
L |
(*!)*2**р»«* |
|||||
|
V T W - |
|||||||||