§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки

П р и м е р

1.

Найти нули функции /( z ) = l+ c o s z и определить

их порядок.

Приравнивая

/(z)

нулю, получим cosz = —1, откуда

Р е ш е н и е .

г„ = (2/1+1)я

(п = 0,

iLl,

:L2, ...) —нули

данной

функции. Далее

/' [(2n + 1 ) л] =

— sin (2/i + 1 ) я = 0,

Г [(2/i+ 1) л] =

— cos (2/i +

1) я*= 1 Ф 0,

Следовательно,

точки

гл =

(2/1+1)я

(л = 0,

± \,

±2, ...)

являются

нулями второго порядка данной функции.

и определить их

П р и м е р

2.

Найти нули функции / ( z ) = l —ег

порядки.

Приравнивая / (г)

нулю,

найдем

»

zn= 2nni

Р е ш е н и е .

нули

(п = 0,

: t l , ...)

функции /(z).

Далее

/' (2ля0 = —

=

1 ^ о .

Итак,

/(2лл0 = 0, fr (2tini) Ф 0, следовательно, точки г„ =

2ши’ (/i =

= 0, z t l , ± 2 ,

...) — простые нули

функции

/ (z) =

1 — ez.

П р и м е р

3.

Найти порядок

нуля z0 = 0 для

функции

/(* )« z — sin 2 '

Р е ш е н и е .

Используя разложение функции

sin 2 в ряд Тейлора

в окрестности

точки

г0 = 0,

получим

ф(г) =

Тогда^/(2) = г5ф (2),

где ф (г) —функция, аналитическая в точке г0* 0 ,

причем

ф(0) = 6=т^0.

Следовательно, точка z0=

0 является

для дан­

ной функции нулем пятого порядка.

и опреде­

П р и м е р

4.

Найти

нули функции / (2) = (z2 + 1)8 sh г

лить их

порядки.

/(г) =

0,

получим

(г2 + I)8 sh г = 0, откуда

Р е ш е н и е .

Полагая

z2+ l = 0

или

shz = 0.

Решая

эти

уравнения,

находим нули функ­

ции /(г):

z =

1,

г = Ш

(6 = 0,

J il,

±2> ...).

г=*— i,

Пусть г = — /,

тогда

/ (г)

можно

представить

в виде

где функция

ф (z) = (z — i)3 sli z

является аналитической в точке г —-

= —i, причем ф (— /) = 8/ sh / = —8 sin 1 ^ 0 . Это означает, что точка

z = — i есть

нуль

третьего

порядка. Аналогично доказывается,

что и

точка z — i является

нулем третьего порядка. Исследуем нули z = fou

(fc = 0, ; t l , dt2, ...).

Производная

/' (z) =

6z (z2 +

l)2 sh z +

(z2 + 1)s ch z

в точках

z = kni отлична от

нуля. Следовательно, z = kni — нули пер­

вого порядка.

У следующих функций найти нули и определить их

порядки:

2,76.

а) / (г) = z4 +

4z2;

б ) / ( г) = ^ .

277.

а )/(г )

= 2* sin г;

б ) /( г ) = ^ - ^ .

278.

а)

/(г) =

1-fchz;

б)

/(z) = (l~-f ^ •

279.

а)

/ (z) — (z-f ni) sh z;

б) /(z) = cosz3.

280.

а)

/ (г) =

(г2 +

я2) (1 + е-*);

б) / (г) = cos г +

ch iz.

Найти

порядок

нуля z0 = 0 для

следующих функций:

281.

/(г) =

- г

2

г<1

г „2.

282.

U

)

- ( sin2 J

283.

/(2) = т т ^

7 -

284.

/ (г) = 2 (ch z — 1)

z2.

285.

Д г ) = (1~ ^ У гг)а-

2в6-

/(z) = ( e - - e ;S)ln (l -

г).

287.

/ (z) =

z2 (е“ -

1).

288.

f(z) = 6 sin z3 + 2я (z* - 6).

289.

Точка

ze

является

нулем

порядка п для функ­

ции <p(z) и нулем порядка т для функции ф(г). Чем

является точка z„ для функций

а) Ф(2) + Ф(г);

б)

ср(2)

ф(г);

в) | Ц ?

2.

И з о л и р о в а н н ы е

о с о б ы е

т о ч к и . Точка z0 называется

изолированной особой точкой функции /(г), если существует окрест­

ность этой точки, в которой

/(z)

аналнтична всюду, кроме

самой

точки z=*z0.

называется

устранимой

особой точкой функции / (г),

Точка г0

если существует конечный предел функции

/ (г)-в точке z0.

П р и м е р

б. / (z) = - -

~~ 1 .

Особая

точка функции /(z)

есть г0 —0. Имеем

lim

/ (z) =

lim

*

1.

г-0

г -0

П р и м е р

8.

Определить

характер особой точки г = 0 функции

/(г )= е 1/г*.

Рассмотрим поведение этой функции на действитель­

Р е ш е н и е .

ной и мнимой осях. На

действительной оси

г —х и

/ (*) = е1/А*г -► оо

при х-+0. На мнимой

осп z — iy

и f(iy) = e

уг -* 0

при у

0. Сле­

довательно, предел f (z)

в точке 2 = 0 не существует

ни конечный, ни

бесконечный. Точка 2 = 0 — существенно особая точка

функции /(г).

П р и м е р

9.

Определить

характер особой точки

2= 0 функции

2

+ 2- —2 ch г*

Р е ш е н и е .

Точка

2 = 0 есть полюс функции / (г), так как она

является нулем

знаменателя.

Рассмотрим

функцию

ф (г) =

д ^ - =

= 2 -{-г2 —2 ch 2.

Для нее ф(0) = 0. Найдем

порядок

нуля 2 = 0 этой

функции. Имеем

ф' (г) =

2г — 2 sb г,

Ф'(0) =

0;

Ф"<2) =

2 - 2 сИ г,

ф" (0) = 0;

ф'" (2) =

—2 sh г,

ф"' (0 ) =

0 ;

cpiv (г) =

—2 ch г,

,plv (0) = —2+=0.

Таким образом, 2= 0 есть нуль

четвертого порядка для ф (г), а зна­

чит, для данной функции /(г) точка 2= 0 есть полюс четвертого

порядка.

10. Определить

характер

особой точки 2 = 1 функции

П р и м е р

/(*)

sin Л2

2е2~1—г2— 1 *

Р е ш е н и е .

Рассмотрим функцию

Ф(г) =

I

2г-—] —2- — 1

/(*)

Sin Л2

Точка г = 1 будет

нулем третьего

порядка для

числителя

так как

ф (г) =

2ez~x— г2 — 1,

ф (1) = 0;

ф'(1) =

( ^ - 1- 2 2 ) ^ 1 =

0;

ф" (l) =

( 2 ^ 'i~ 2 )

= 0 ;

ф'Г (l) =

2 ^ “i |м = 2 Ф 0.

Точка 2 = 1 есть

нуль

первого

порядка

для

знаменателя

sin Л2 функ­

ции ф (г).

точка

2 = 1

будет

нулем

порядка 3 — 1= 2 для

Следовательно,

функции ф(г),

а

значит —полюсом второго

порядка

для данной

функции.

Определить

характер

особой точки

z0*= 0 для следую- %

щих функций:

1

1

290. а) 2 — sin 2 '

б)

------- !----- р-; В)

е-*"+г-1'