Предисловие

5

Г л а в а

Г.

Функции комплексного переменного

7

§ 1. Комплексные числа и действия нйд ними

7

§ 2.

Функции

комплексного переменного • •

v • • • » • • «

•

18

§ 3. Предел последовательности

комплексных

чйсел. Предел

25

и непрерывность функции комплексного переменного. .

§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменно­

32

§ 5.

го. Условия Коши —Р и м а н а ....................

'..................

,

,

Интегрирование функций комплексного^ переменного

42

§ 6.

Интегральная

формула Коши .

т

50

§ 7.

Ряды в комплекснойобласти..........................................

72

§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки.

§ 9.

Вычеты ф ункций ....................................................................

вы­

79

§ 10.

Теорема

Коши о вычетах. Приложение вычетов к

числению определенных интегралов. Суммирование не­

85

которых рядов спомощьювычетов...........................................

аргумента. Теорема

§ 11. Логарифмическим вычет. Принцип

106

§ 12.

Р у ш е .....................................

. . . .

Конформные отображ ения.................

t .............................

115

§ 13.

Комплексный

потенциал.

Его

гидродинамический

142

смысл

Г л а в а

II.

Операционное исчисление

. . .

147

§ 14.

Нахождение изображений

и оригиналов...............

147

§ 16.

циентами

....................

173

Интеграл Д ю ам еля...............................................................

дифференциальных уравне­

185

§ 17.

Решение систем линейных

188

н и й

операционным методом..................................................

Вольтерра с ядрами

§ 18. Решение

интегральных

уравнений

специального вида..........

'. .

. v,. . %*.-• . . . . . .

192

§ 19. Дифференциальные уравнения

Q запаздывающим аргу­

198

§ 20.

ментом .....................................

и

.. .. . V’.%...............

Решение некоторых задач математической физики .

201

§ 21.

Дискретное преобразование Лапласа

204

Г л а в а

III.

Теория устойчивости

. ,

.

218

§ 22.

Понятие об устойчивости

решения

системы дифферен­

218

циальных

уравнений.

Простейшие

типы точек покоя

§ 23.

Второй метод

Ляпунова

по первому приближе­

225

§

24.

Исследование

на

устойчивость

229

§

25.

нию ....................

. .

.

. . .

.......................

Асимптотическая

устойчивость

в целом.

Устойчивость

234

по Лагранжу . . . .

. .

§ 28.

хайлова) .

. -

. . . .

240

D-разбиения

243

§ 29.

Устойчивостьрешений

разностных уравнений

250

Ответы

# .

259

Приложение

300

Литература ,

303

ной

точки,

применение вычетов к суммированию некото­

рых

рядов).

Увеличено

число задач по применению опе­

рационного исчисления

к изучению некоторых специаль­

ных

функций (гамма-функции, функции Бесселя и др.),

а также число задач на

изображение функций, заданных

замечания товарищей

Б. Ткачева (г. Краснодар) и

Б. Л. Цаво (г. Сухуми).

Всем им мы выражаем нашу

благодарность.

(алгебраическая

форма

комплексного числа), где х и г/—-любые дей­

ствительные

числа, a i — мнимая единица,

удовлетворяющая условию

i‘2= — 1.

Числа

х н у

называются

соответственно действительной и

мнимой

частями комплексного чис­

ла z и обозначаются

* = R e z ,

j/= lm z .

Комплексное

число

2 = x — iy

называется

сопряженным комплекс­

ному

числу

z = *-(-///.

Комплексные числа гЛ= хх-|- iyx

и z2 = x2 + iy2

считаются

равными

тогда и"только тогда, когда хх = хъ

У\ ==У‘1*

число

г —х + iy

Комплексное

изображается

в

плоскости

XOY

точкой

М

с

координатами

(лг, у)

либо

вектором,

начало

которого

находится в точке О (0, 0), а

конец

в точке М (х, у)

(рнс. 1). Длина р

вектора

ОМ

называется модулем

комплексного

числа и обозначается

1г |,

так

что

р = | z ! = Y х*+V 2,

том комплексного числа г и обозначается ф —Argz;

он определяется

не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2л:

Argz = argz +

2to

(fc= 0,

± 1, ± 2,

...)»

где argz есть главное значение Argz, определяемое условиями

причем

—л <

agrz=^ л,

arctg ~

,

если

х~> 0,

л +

arctg

,

если

х < 0,

УЭ= 0,

argz =

х < 0,

( 1)

л -J- arctg ^

,

если

У < 0,

л/2,

если

х = 0,

у > 0,

— л/2,

если

х = 0 ,

у < о.

Имеют место следующие соотношения:

tg (Arg z) — ~ ,

sin (Arg г) =

V >•'- + '/-

cos (Arg г) =

Два комплексных числа zx и га

равны

тогда и только

тогда,

когда их. модули равны, а их аргументы

либо

равны, либо отли­

чаются на величину, кратную 2л:

1*1 l =

l*2 l.

Argz1 = Arg22 +

2ji/i

(/z= 0,

±1, ±2, ...).

Пусть

даны

два

комплексных

числа

гх = хх + 1уи

г2 = *2 + 4/2-

1.

Суммой zx+ z2 комплексных чисел гх и га называется комплекс­

ное число

*1 +

*2=

(*i +

хг) +

* (Ух +

"г)-

2.

Разностью

zx — z2 комплексных

чисел zx и га называется ком­

плексное число

*1 ~

*2=

(*i -

*2) +

/ (Ух-

f/2).

3.

Произведением zxz2 комплексных

чисел гх и га называется ком­

плексное

число

*1*2 = (*1*2-

У1У2) + 1 (*хУ2+

Х*УхУ

Мз

определения

произведения

комплексных

чисел,

в частности,

следует,

что

г5=»де2+ У

=

|г |2.

4,

Частным —

от

деления

комплексного числа zx на комплекс-

ное число

*2

такое комплексное

число г,

которое

г2Ф 0

называется

удовлетворяет уравнению zz2= zx. Для

частного имеет место формула

£L

Zl*2

(2)

*2

1*2 I* *

При этом

была использована

формула

z j1 =

■■2---,

Формулу (2) можно записать в виде

I *3 1“

*i

=

*1*2 +

*/1Уа

, {ЪУх —Хл'Л ^

*а

*

xi~\-y'i

Действительная часть

Re г

и

мнимая

часть

Im г комплексного

числа г

выражаются

через

сопряженные комплексные числа

следую­

щим образом:

5 + Z

,

. 5 — 2

2 — 5

,

Rez = —

1 шг =( —^------: - 5 Г .

П р и м е р —J.

Показать,

что z1 + 22= 5 1 + 5a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению

имеем

г1 + г2= (А1 +

-

» (У\ + Ul) =

(*l -

I'Vl) +

(*а -

Ч/г) =

M-!-

откуда

рп~- — 1, т. е.

р = 1,

и iny = 2fcii,

т. е. <р = — - (& = 0, I,

2, ....

л — 1). Следовательно,

.2лk

zk = e

п

(Лг = 0, 1, 2,

я - 1 ) .

г) 1 — s i n a - f i c o s a

^0 < a < ; - 2- ;

Д)

l-t-cosa-fi

sin a

H -coso -» sin a

\ v<z- a < ' 2 ) ’

в показательной форме:

e)

—2;

ж)

i;

з)

— i;

и)

—1 —t]/3 ;

к)

sin a

- 1 cos a

2 < « < n j ;

л)

5 + 3t.

Пусть комплексные числа zx и z2 даны в тригонометрической

форме гг— рх (cos ф, +

I sin фх), z2 = р2 (cos ф2 +

i sin <p2).

' Их

произведение находится по формуле

гЛ

=

Р1Р2 [c«s (‘Pi -I- Фг) +

‘ sin (<p, + (p2)],

T . e. при умножении

комплексных

чисел

нх модули перемножаются,

а аргументы

складываются:

! * й

=

ч

! г,!,

Arg (г,г2) =

Arg г, +

Arg га.

Частное

двух

комплексных

чисел zt

и г2 Ф 0 находится по фор-

муле

—

=

v - [cos (ф, -

<[*) -i- i

Sin (ф! —ф2)Ь

т. е.

zi

Ра

Ч

I z\ I

Arg iL = Arg z, —Arg Ч-

zt

I zi I *

Z%

Возведение комплексного

числа

z = p

(cos ф + t sin ф)

в натуральную степень п производится

по формуле

гп

рп (C0S Лф ^

i sin иф),

т. е.

’ z Д

Avg zn= n Argz + 2zik

(fc=0, ±;1,

! z" j =

Отсюда

получается формула

Муавра

(cos ф +

i sin ф)л =

cos /кр-j- i sin rnp.

1.

Zi I ! г.2

2.

гд = 1г!2;

3.

*1*3 = !

4.

I г'Ч = i г

5.

_

I *11

2 ^

о-

Ч

г

’

6. R e z | ^ | z | ,

| I m z | ^ | z [ ;

7.

Ч + Ч ^ \ Ч \ + \Ч\1

8. \ч \ — \ч \ \ ^ \ ч —ч \-

•

П р и м е р

7. Вычислить (—1+ i V

Р е ш е н и е .

Представим

число z = — 1 -|- i К з в тригонометриче­

ской форме

— 1 Ч-/'1^"3=

2 ^cos ~ sx-f-t sin у jij.

(—1-f i V З)40 =

2е®j^cos ^60, •

:ij

= 2в0 (cos 40л + i sin 40я) — 2е0.

Пр и м е р

8. Доказать,

что многочлен

/ (л) = (сое а -[- х sin а)п— cos п а —х sin па

делится на л**+1.

Р е ш е н и е .

Имеем х2+

1= (* + 0 (* —0* По формуле Муавра

11.

Доказать,

что многочлен

/(л;)=л;л8ша —A/l-1л;sinяа-f*Я', sin (/г — 1)а

делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.

12.

Вычислить:

а) ( Ч ^ Г

6) ( 2 - 207;

1 - г . з

в) ( к з - з;)*;

1 + i j

13.

Доказать,

что

/ 1Jr i tg ci \n _1+ i tg na

\ 1 — i tg a ) ~~ 1—/ tg na *

14.

Доказать,

что если

(cos a -f i sin a)n= 1, TO

(COS a — i sin a)n 1.

пени

sin ф и

cos ф следующие функции кратных углов:

е)

a)

sin Зф;

б) собЗф;

в) sin 4ср;

г)

со$4ф;

д) $т5ф;

cos 5ф.

Корень

л-й

степени из комплексного

числа

г имеет л

различных

значений,

которые находятся по формуле

Y z= zV \z \ (cos Ф + 2/гд +

i sin Ф

2кл\

где

Л =

0,

1,

2t

л — 1, ф =

агgz.

Точки,

соответствующие

значениям

j/z ,

являются

вершинами

правильного л-угольннка, вписанного в окружность

радиуса R = yf \ г }

с центром в начале координат?

числа

а также имеет л

Корень

л-й

степени из действительного

одно или ни одного в

зависимости

от

четности или

нечетности л и

знака числа

а.

y — i.

ш

П р и м е р

9. Найти все значения

Р е ш е н и е .

Приводим комплексное число

1 —i

к трнгонометри

четкому

виду

1

Следовательно,

- - 4 + 2 **

cos-

Полагая

/г=

0,

1,

2, 3, найдем

(к =

0)

У Т ^ Т =

У 2 (cos ~

- i sin

,

(ft =

1)

У 1 —i =

У 2 ^cos ^

л +

/ sin J -Q »

(ft =

2)

У 1 — i =

У 2 ^cos

л +

i sin j | л j ,

(ft =

3)

У Т = 1 =

У 2 (cos ^

я +

t sin

л j .

В следующих задачах найти все значения корня:

16.

а)

У —1;

б) / i ; в)

У Г, г) У —/. __

17.

а) К Г ;

б)

У = Т + 7 \

в)

1/2 — 2 /3 7 .

18.

Y

У"2 (cos f + i sin G")-

35.

a)

|z — i | +

1z - fi | = 4; 6) | z — i | — | z +1 j = 2.

36.

a)

|z |- 3 I m z = 6; 6)

3 |z |- R e z = 1 2 .

37.

a)

Jz — 2 j =

j 1 — 2zj;

6) |z - z , | = |z - z , |;

в)

Re(z2 — z) = 0; r)

R e(l-fz) = |zj.

П р и м е р

15.

Написать в комплексной форме уравнение прямой

Ах + Ву+С=*0.

(3)

Р е ш. е н и е.

Пусть г = х + iy,

z —x — iy.

Тогда

х =

*_L 2

— ,

у — z — z

Подставляя в уравнение

(3) выражения

для х

и у,

полу­

чим

A (z + z) + B i(2-z)-{-2C = Q

или

(А + iB) 2 + { A -iB ) z + 2С = 0.

(4)

Введем обозначение

А + iB = a.

Тогда уравнение (4) примет вид

az + az -j- 2С = 0.

П р и м е р

16.

Написать в комплексной форме уравнение окруж­

ности

x2+ j/2-{-2;t +

2*/ =

0.

(5)

Р е ше ' н н е. Имеем

x'2 + y2 = \z r = zz,

2x = z + z,

2y — i (2 — z).