Глава 2

ГИДРОСТАТИКА

Для равновесия жидкости, изучаемого в гидростатике, харак­ терно (постоянство формы объема, т. е. отсутствие смещения от­ дельных ее частиц. Вследствие этого касательные напряжения от­ сутствуют и на элемент жидкости действуют только массовые силы и нормальные к поверхности силы гидравлического дав­ ления.

“Рис. 2.1. Виды равновесия жидкости: а~абсолютное; б и в—относительное

Различают абсолютное равновесие жидкости, т. е. равновесие

(рис. 2.1,6) или относительно сосуда, вращающегося с постоянной

ностями равного давления (p = const), в рассматриваемых случаях имеют различный вид (см. рис. 2.1).

Общим условием равновесия жидкости, независимо от его вида, является равенство нулю равнодействующей всех сил, приложен-

пых к любому элементу жидкости и, следовательно, равенство ну-

.Лю суммы моментов этих сил относительно произвольной оси.

2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

Дифференциальное уравнение равновесия или уравнение Эйле­

раллельные оси х. Запишем уравнение равновесия элемента в про­ екции на ось х как равенство нулю суммы проекций всех сил на эту ось

X Qdxdydz-\-{p — [p-\-(dр/дх) dx]} d y d z = 0.

Производя очевидные упрощения и повторяя аналогичные вы­ кладки для осей у и z, получим дифференциальные уравнения рав­ новесия жидкости в проекциях на оси координат

чим эквивалентное уравнение равновесия, не содержащее частных производных:

dp=Q(Xdx-\-Ydy-\-Zdz). (2.2)

Правая часть (2.2) «ак и левая является полным дифференциа­ лом некоторой функции координат. Если g= const, то X d x -f Ydy-\-

Z d z = d U и

Здесь U(х, у, г) — силовая функция, частные производные которой по координатным осям в данном случае равны соответствующим проекциям на оси напряжения массовой силы

Сила, удовлетворяющая условиям (2.3) и. (2.4), имеет потен­ циал. Итак, равновесие жидкости возможно только лишь под дей­ ствием массовых сил, имеющих потенциал.

2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

Дифференциальное уравнение поверхности уровня получим, ис­ пользовав условие p = const, т. е. подставив dp= 0 в уравнения (2.2) и (2.3):

Для поверхности уровня, проходящей через точки Х\\ у\\ z\y

сти жидкости ее плотность должна зависеть от силовой функции Q=icp(i/) и уравнение равновесия (2.3) примет вид:

постоянно не только давление, но и силовая функция и плотность. Неоднородная капельная жидкость при равновесии располагается слоями одинаковой плотности: большим значениям плотности со­ ответствуют большие давления. Это свойство используется для разделения неоднородных по плотности жидких смесей в центри­ фугах и отстойниках.

Дифференциальное уравнение поверхности уровня (2.5) явля­

ня. Отсюда следует, что поверхность уровня всегда нормальна к напряжению суммарной массовой силы, действующей на жидкость при равновесии (см. рис. 2.1).

2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ

НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ

Определим гидростатическое давление р в произвольной точке А(х, у, z) в капельной жидкости Q= const при ее абсолютном рав­

новесии относительно сосуда небольшого размера *, если давление на свободной поверхности р0 (см. рис. 2.1,а).

Выберем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения (нивелирную плоскость) хоу, от которой вверх по радиу­ су земли будем отсчитывать .координаты z. В данном случае в каждой точке жидкости из массовых сил действует только напря­ жение силы тяжести с проекциями X= Y = 0 и Z = —g и дифферен­ циальное уравнение равновесия (2.2) принимает вид

Проинтегрируем (2.9), найдем р = —Qgz + c. Постоянную с опре­ делим из граничных условий: z = z0, р = Ро и c= p0+ Qgzo. Учтем, что z0—z есть глубина погружения h точки А и получим основное урав­ нение гидростатики для несжимаемой жидкости

Задача 2.3. Запишите уравнение (2.10) так, чтобы его члены выражали удельную энергию жидкости (Дж/кг). Разберите энергетический смысл уравне­ ния (2.10). Приведите примеры практического использования этой энергии жид­ кости.

Вопрос 2.4. Как изменятся гидростатический напор и давление в точке Л, если нивелирную плоскость опустить на 5 м? Почему положение нивелирной плоскости можно выбирать произвольно?

* В этом случае ускорение силы тяжести постоянно для всего пространства, занятого жидкостью (g = 9,81 м/с2), и силы тяжести имеют потенциал.