Для элементарной струйки при установившемся течении и №{Ср=

Для несжимаемой жидкости .не только массовый расход во всех сечениях одинаков, но и объемный расход

Q1= Q i = Ql= WlS1= W2S2= W,Sl. (3.22)

Задача 3.11. Укажите, чем определяется изме­ нение скорости течения в канале для несжимаемой

исжимаемой жидкости?

Сопл а и диффузоры. Каналы, в ко­ торых жидкость ускоряется (W2>W i), на­ зываются соплами или конфузорами, а те­

щиеся и расширяющиеся каналы, в зависимости от условий тече­ ния; то же самое относится и к диффузорам.

Задача 3.12. Запишите всеми возможными способами условие несжимаемо­ сти при течении.

Задача 3.13. Опишите свойства жидкости и характер ее движения для трех

случаев: a) div(tt?)=0; б) div(g^)=0; в) div (Q№ )= —2 кг/(м3 с). Задача 3.14. Докажите, что расход воздуха через канал между двумя ло­

патками ^=0,02 м высота (по нормали к чертежу) Л=0,*О5 м, №1=3(Х) м/с, pi = = 6 кг/м3 и а =30° равен G = 0,9 кг/с (рис. 3.3).

3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ

Для выяснения .кинематических особенностей движения жид­

кости необходимо общее движение с «абсолютной» скоростью W= = W{r, t) разложить на простейшие.

Как известно, скорость произвольной точки твердого тела W всегда может быть представлена как векторная сумма скорости

W0 поступательного движения полюса О и скорости вращения (соХ/о) вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс:

Движение жидкой частицы является более сложным и определя­ ется следующей теоремой.

Теорема Коши — Гельмгольца. Скорость движения W любой точки жидкой частицы в данное мгновение можно рассмат­

рассчитать величины линейных деформаций, отнесенных к длине ребер, в секунду, т. е. скоростей линейных деформаций ех, еу, гг

вдоль соответствующих осей координат: ex^=AA'/dxdt = du/dx\ гу= dv/dy;

АА '= (du/dx)dxdt и подсчитаем составляющую объемной деформа­ ции за счет изменения длины ребра dx по очевидной формуле, а для ребер dy и dz— по аналогии

bVx = AA'dydz = (du/dx) dVdt\

(3. 26)

bVy = (dv/dy) dVdt, bVz= (dw/dz) dVdt.

' Ск орос т ь о т н о с и т е л ь н о й о б ъ е м н о й д е ф о р м а ц и и е представляет изменение объема частицы, отнесенное к ее перво­ начальному объему и времени деформации:

-e — bV/(dVdt)=du/dx-\-dv/dy-\-dw/dz = div W = ex-{-ey-\-ez. (3. 27)

Для несжимаемой жидкости e= div W = 0.

•как движение вместе с полюсом 0 со скоростью v и относительно полюса со скоростью (dv/dx)dx. В результате относительного дви­ жения ребро О Л за время dt повернется на бесконечно малый угол

носительная деформация сдвига частицы или деформация скашива­ ния прямого угла АО С в А'О" С" происходит в одинаковой степе­

Итак, получены девять скоростей относительных деформаций (3.25) и (3.28), из которых шесть тангенциальных попарно рав­ ны

Вращение частицы около со б ств ей и о й оси. Опре­ делим угол dyz поворота частицы в плоскости хоу около собствен­ ной оси, проходящей через точку О параллельно оси z. Совместим (см. рис. 3.4,6) параллелограммы по диагоналям ОВ и ОВ" и за­

По аналогии для вращения около осей, параллельных осям х и у, получим

dyx=0,5(dw/dy — dv/dz)di; dyy=0,5(du/dz—dw/dx)dt. (3.32)

3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Вихревым называется движение, сопровождаемое вращением частиц жидкости около собственных осей. Проекции угловой ско­ рости вращения частицы на оси х, у, z найдем как wx=dyx/di; соу=> =dyv/dt и о)z = dyz/dt в соответствии с (3.31) и (3.32)

Вектор угловой скорости и ротор вектора скорости направляют перпендикулярно плоскости вращения частицы, т. е. вдоль оси вращения так, чтобы со стороны острия вращение частицы было бы направлено против часовой стрелки.

Движение, в котором отсутствует вращение частиц жидкости около собственных осей, называется безвихревым или потенциаль­ ным.

Задача 3.17. Используя рис. 1.5, определите величины и направление угловых

трубка. Эти понятия используются для геометрической характе­ ристики поля векторов угловых скоростей вращения частиц жидко­ сти и установления связи между этими частицами. Эти понятия аналогичны понятиям «линия тока», «элементарная струйка» н

«трубка тока». Поэтому иллюстрацией к их определению может служить рис. 3.1, если на нем вектор W мысленно заменить некто-*

ром угловой скорости со.

В и х р е в а я л и н и я — это линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектора угловых скоростей касательны, т. е. это в общем случае пространственная криволинейная ось вра­ щения всех частиц жидкости, находящихся на ней в данный мо­ мент. Аналогично уравнению линии тока получим уравнение вихре­ вой линии

[ош//] = 0; cixlux = dyluy— clzlMz.

тенсивность вращения твердого тела определяется величиной угло­

вой скорости со, которая постоянна для всех его точек. В потоках жидкости, в вихревых шнурах конечных размеров частицы жид­ кости могут вращаться с различными по величине и направлению угловыми скоростями. Поэтому интенсивность Г(м2/с) вихревого шнура оценивается потоком вектора вихря скорости или удвоен­ ным потоком вектора угловой скорости через площадку данного поперечного сечения его [см. (3.35)]:

Существенным недостатком рассмотренной оценки интенсивности вихревого шнура является_невозможность экспериментального из­

в данной точке. Для определения знака циркуляции выбирают по­ ложительное направление обхода контура, например, против часо­ вой стрелки. Циркуляция скорости по замкнутому контуру I (см.

рис. 3.5) равна сумме циркуляций по произвольным контурам к, к, к, размещенным внутри контура I, т. е. Г! = Г{1+-Гг +Гг +Г»

Это объясняется тем, что при подсчете циркуляций для отдельных контуров, общие участки проходятся два раза с противоположны­ ми знаками, как это показано стрелками .на рис. 3.5. Циркуляция скорости дает возможность оценить интенсивность вихревого шну­

шнура равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, опоя­ сывающему вихревую трубку один раз по ее поверхности так, что его можно стянуть в точку не выходя за пределы жидкости

(3. 39)

С л е д с т в и я т е о р е м ы С т о к с а . 1. Если контур охватыва­ ет несколько вихревых трубок или областей, то циркуляция ско­ рости по этому контуру равна алгебраической сумме циркуляции по контурам, охватывающим каждую вихревую область отдельно. 2. Если внутри рассматриваемой области течение безвихревое, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в этой обла­ сти равна нулю. Однако, если циркуляция по некоторому замкну­ тому контуру равна нулю, это еще не значит, что течение безвих­ ревое: интенсивности вихревых трубок величины алгебраические, поэтому они могут дать в сумме ноль и при вихревом движении.

Задача 3.18. Докажите, что вращение жидкости по закону ur= const во всей области, исключая ось вращения, является потенциальным движением (для этого достаточно доказать, что циркуляция скорости по произвольному элемен­ тарному контуру высотой dr, лежащему между радиусами, равна нулю).

Задача 3.19. Решите задачу 3.17, определяя циркуляцию скорости по эле­ ментарным контурам в соответствующих точках.

Т е о р е м а Т о м с о н а или з а к о н с о х р а н е н и я ц и р к у ­

любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной во все время движения жидкости

т.е. при выполнении условий теоремы, вихри не могут ни возник

*Баротропными называются жидкости, в которых плотность есть функция только одного давления р= Ф(р), например, при течении несжимаемой жидко­ сти Ф (р)= const, при изотермическом течении Ф(р)=Ср, при течении, сопро­

вождаемом политропическим процессом Ф=Сри”, где п — показатель политро­

пы. Для баротропной жидкости характерно, что термодинамический процесс во

нуть вновь, если их не было, ни исчезнуть, если они имелись. Это следствие теоремы Томсона называется теоремой Лагранжа.

В действительности вихревое движение постоянно возникает и рассеивается. Но это всегда связано с нарушением какого-либо из условий теоремы Томсона. Например, водовороты за кормой ко­ рабля, вихревое движение в пограничном слое, вихри за крылом самолета возникают и рассеиваются под действием сил трения — сил, не имеющих потенциала. Вихри за ударными волнами появля­ ются вследствие нарушения непрерывности поля скоростей. Воз­ никновение вихрей у нагретых поверхностей объясняется наруше­ нием баротропности.

Теорема Томсона имеет большое значение для понимания мно­ гих закономерностей практически важных течений. Большинство течений развивается из состояния покоя или равномерного и пря­ молинейного течения, при которых вихри отсутствуют. В первом приближении, если влияние трения не велико, в соответствии с те­ оремой Томсона, вихри будут отсутствовать и в дальнейшем, не­ смотря на то, что в большинстве случаев, частицы жидкости, на­ пример, обтекая тела, начинают двигаться по криволинейным тра­ екториям.

Т е о р е м а Г е л ь м г о л ь ц а о с о х р а н е н и и в и х р е в ы х линий. Если принять условие теоремы Томсона, то можно утвер­ ждать, что: 1) интенсивность вихревой трубки во все время движе­ ния остается постоянной, 2) интенсивность вихревой трубки посто­ янна вдоль всей ее длины, т. е. циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему трубку, постоянна.

Если величина вихря скорости по сечениям вихревой трубки не изменяется, то основываясь на теореме Гельмгольца и формуле (3.39), получим

площадь сечения вихревой трубки, тем больше интенсивность вих­ ревой трубки. Однако, сечение вихревой трубки нигде не может быть равным нулю,- так как в этом случае интенсивность вихревой трубки была бы равна бесконечности, что физически не выполни­ мо; 2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидко­ сти— они либо замыкаются на себя, как кольца табачного дыма, либо опираются на свободную поверхность жидкости или твердого тела (водовороты, смерчи), или, наконец, уходят в бесконечность. Тот хорошо известный факт, что водовороты не всегда доходят до дна, а исчезают в толще жидкости, или, вихревые шнуры от крыла самолета сохраняются лишь на конечном расстоянии, а не уходят в бесконечность, объясняется влиянием вязкости, приводящей к диффузии завихренности через поверхность вихревой трубки и за­ туханию ее в окружающей среде.

Единственным условием безвихревого движения является от­ сутствие вращения жидких частиц относительно собственных осей.

что скорость в случае безвихревого течения имеет потенциал, т. е. функцию координат <р(х, у, z), частные производные которой по любому направлению п и, следовательно, по координатным осям равны соответствующим проекциям вектора скорости

поверхности для пространственного и линии для плоского движе­ ний жидкости, для которых потенциал скорости имеет постоянное

У р а в н е н и е Л а п л а с а д л я п о т е н ц и а л а с к о р о с т и при пространственном и плоском течении несжимаемой жидкости получим, подставляя значения и, v, w по (3.43) в уравнение нераз­ рывности (3.19):

y2f = д2<?/дх2-)-д2^?/ду2-f-<?2срjdz2 = 0;

(3.45)

у2<р= д2<?/дх2-)-d2<f/ду2= 0 .

Определение поля скоростей для потенциального течения несжи­ маемой жидкости сводится к решению уравнения Лапласа (3.45). Граничным условием при обтекании твердых тел является условие непротекания, т. е. равенство нулю нормальной составляющей ско­ рости на поверхности тела Wnw = (d(p/dn)w—0.

Использование этой модели позволяет аналитически получить

искомое поле скоростей W=W(x, у) для многих практически важ­ ных и сложных видов течения жидкости. Достаточно сказать, что именно эта модель была использована Н. Е. Жуковским при соз­ дании теории подъемной силы крыла.

которое в соответствии с (3.9) представляет собой уравнение се­

Итак, разность ф2—Ф1 есть объемный расход жидкости через пло­ щадку высотой AZ=1 м, расположенную между линиями тока ф1 и фг.

У р а в н е н и е Л а п л а с а д л я ф у н к ц и и т о к а . Для при­ нятой модели течения функция тока является гармонической функ­ цией. Используя определение функции тока (3.46) и условие потен­ циальности течения (3.42), получим уравнение Лапласа для функ­ ции тока

ф(х, у)=С . Конкретное значение постоянной интегрирования соот­ ветствует определенной линии тока. Граничным условием является

тока ф,0 (дг, у) = CW называется нулевой.

связаны между собой и полностью определяют поле скоростей. Итак, непосредственное определение поля скоростей заключа­

стей определяется по формулам (3.43). Если же не будут найдены линии тока, совпадающие с твердыми поверхностями, то выбран­ ная ф(х, у) не является решением задачи. Простое угадывание решений достаточно сложных задач не выполнимо. В этом случае используются метод наложения полей и метод конформных ото­ бражений.

3.8. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ИЛИ СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЙ

В силу линейности уравнения Лапласа его решение для слож­ ного сечения может быть получено наложением ряда простейших полей, для которых известны потенциалы скоростей фЬ ф2, ... или функции тока фь ф2... Потенциал скорости ф и функция тока ф син­ тезируемого или результирующего поля определяются алгебраи­ ческим, а вектор скорости—геометрическим суммированием исход­ ных значений:

Задача 3.20. Используя уравнения Лапласа для результирующего и исходных потоков, докажите справедливость (3.51).

* Следует иметь в виду, что функция тока ф существует в любом нераз­ рывном течении, а потенциал скорости ф — только в безвихревом.

П р и м е р ы п р о с т е й ш и х т е ч е н и й . Рассмотрим некото­ рые простейшие течения принятой модели [см. п. 3.7]. Поля скорос­

тей заданы. Задача состоит, в определении потенциалов скорости и функций тока с тем, чтобы в дальнейшем использовать эти тече­ ния для синтезирования более сложных.

1.П л о с к о п а р а л л е л ь н ы й поток . Пусть вектор скорости

U?=const и линии тока составляют с осью х угол а. Тогда и =

источников. В плоскости хоу эта совокупность проектируется в ви­ де плоского точечного источника, расположенного в начале коор­ динат (рис. 3.7). Жидкость растекается из этого источника вдоль линий тока — прямых лучей \|)=const—во все стороны плоскости. Эквипотенциальные линии представляют* окружности с центром в начале координат. Мощностью источника называется секундный расход жидкости, приходящийся на один метр оси z—Q, м3/(м-с). Скорость жидкости в любой точке окружности радиуса г равна ра-

диальной (W =W r) и определяется по уравнению расхода (3.22) и (3.48), а ее компоненты — из простых геометрических соотношений

где rdQ— элемент дуги между двумя линиями тока, расход жидко­ сти между которыми dQ=d\|з.

Используя уравнение (3.55), определим для источника и стока потенциал скорости и функцию тока с точностью до постоянной

Течение в сток направлено обратно — от периферии в начало коор­ динат. Мощность стока при­

ется вихревой нитью, совпадающей с осью г. На плоскость, ху эта нить проектируется в начало координат как точечный вихрь. Ли­ ниями тока ф=С являются концентрические окружности с цент­ ром в начале координат (рис. 3.8); эквипотенциальными линиями

где Wu — окружная скорость частицы на окружности радиуса г. Радиальная составляющая скорости Wr = 0. В соответствии с тео­ ремой Стокса циркуляция скорости по линиям тока любых радиу­ сов будет одинакова, так как все они охватывают лишь один то­ чечный вихрь, тогда

т. е. окружная скорость частиц обратно пропорциональна расстоя­ нию от точечного вихря, при г->0 \17и-*-оо. В реальных условиях