- •Сергель О. С.
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
- •1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
- •1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
- •1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
- •ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
- •1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •ГИДРОСТАТИКА
- •2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
- •2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
- •2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
- •НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
- •2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
- •2.7. РАВНОВЕСИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
- •2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
- •КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- •3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)
- •3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
- •3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
- •3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- •3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
- •ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
- •3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
- •4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
- •4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
- •4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
- •4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
- •4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
- •4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- •5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
- •5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
- •5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
- •5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
- •5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
- •6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕ И ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
- •6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ) ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
- •6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
- •6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
- •6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
- •ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
- •7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
- •7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
- •7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
- •8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
- •8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
- •8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
- •8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
- •9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
- •ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
- •10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
- •10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
- •11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
- •11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛАМ
- •11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ) ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
- •СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
- •12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •ПОТОКАХ
- •12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
- •ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
- •14Л. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
- •14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
- •15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
- •15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
- •Глава 16 ДИФФУЗОРЫ
- •16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
- •16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
- •ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
- •18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
При изучении сложных течений жидкостей, как уже отмеча лось, большое значение имеет эксперимент. Экспериментальные ис следования обычно связаны с большими материальными затрата ми, трудоемки и на натурных объектах часто невыполнимы. Науч ная постановка эксперимента основывается на теории подобия фи зических явлений. Эта теория дает возможность осуществить моде лирование, т. е. замену испытания натуры испытанием ее умень шенной или увеличенной хмодели в удобных лабораторных услови ях, обеспечивающих получение применимых к натуре результатов, например испытание модели самолета в аэродинамической трубе, корабля в гидроканале, турбины на холодном газе и т. д. Теория подобия позволяет при минимальных временных и материальных затратах получить от единичного эксперимента научный результат, т. е. результат, распространимый на все подобные исследуемому явления. Законы теории подобия всегда применяются при создании новых конструкций машин и двигателей на базе уже существу ющих.
Основными задачами этой теории являются определение необ ходимых и достаточных условий подобия модельных и натурных процессов, правил постановки единичного эксперимента и получе ние обобщенных зависимостей, справедливых для всех подобных процессов.
5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Физические процессы подобны, если геометрически подобны системы, в которых они протекают, и в сходственные моменты вре мени в сходных точках пространства все однородные размерные параметры пропорциональны *. Из этого определения следует, что:
1. Подобными могут быть только одинаковые, т. е. однородные физические процессы, описываемые одними и теми же по форме
* Сходственные моменты времени имеют одинаковое начало отсчета и про порциональны между собой. В установившихся процессах любые моменты вре мени сходственные. Координаты сходственных точек удовлетворяют условию ге-
Z2 |
У2 |
= |
*2 __ г |
ометрического подобия: — = — |
------- W (i—2) (см. рис. 5.1). Однородные |
||
Z \ |
У 1 |
|
Х \ |
параметры имеют одинаковый физический смысл и размерность.
и содержанию уравнениями. Если аналитическое описание двух
одина'ково Форме, но различается но^ физическом^ У, о такие явления .называются аналогичными, например
диффузия G = ~ D —— и теплопроводность д — — dT
3' Геометрическое подобие системы обязательно для подобия
элементьГ пялпС^ ИХ процессов0но выполняется, если сходственные р П лагаются под одинаковыми углами друг к другу и
Рис. 5.1. Геометрически подобные ступени турбины
к векторам скорости набегающего потока и размеры всех сходст венных элементов отличаются в одинаковое число раз (рис. 5.1):
|
Р<2__h_ |
h i |
_A^ |
_£2 |
V2 *2__Г |
|
|||
|
|
hi |
Ai |
zx |
---—-------W (i_2), |
|
|||
|
|
VI |
*l |
|
(5.1) |
||||
|
D2_ = |
xo |
r |
. |
Аз |
|
X3 |
— Ci ( i —3), |
|
|
|
|
|||||||
|
D3 |
-----= |
C / (2 -3 ), |
— |
|
|
|
||
|
*3 |
|
|
P\ |
|
X \ |
|
|
|
где |
Ci — константа |
геометрического подобия или масштаб |
геомет |
||||||
рического моделирования. |
Это |
положительная безразмер |
|||||||
ная |
величина, которая |
не может быть |
равна ни нулю, |
ни еди |
|||||
нице.
3. Полное подобие физических процессов означает подобие по лей всех однородных величин, т. е. в сходственные моменты време ни в сходственных точках пространства любой параметр ф2 может быть получен из однородного параметра первого подобного процес са (pi с помощью преобразования подобия ср2 = Ср(1_2) <pi-
Рассматривая параметры, определяющие протекание гидрога зодинамических процессов, заключаем, что условиями подобия их являются:
1. Геометрическое подобие (5.1).
2. Кинетическое подобие или подобие полей скоростей
из |
(5.2) |
и\
3.Динамическое подобие или подобие полей сил, действующих
вжидкости. Выразим пока это подобие как пропорциональность параметров, входящих в уравнение Навье — Стокса для двух по
добных явлений
(5.3)
4. Тепловое подобие или подобие полей температур и тепловых потоков
(5.4)
Таким образом, два подобных процесса отличаются один от другого только масштабами так, как будто их одноименные пара метры одинаковы, но измерены в различных системах единиц. Зна чит условия однозначности этих процессов одинаковы по форме н содержанию и подобны, а безразмерные уравнения, описывающие их протекание, тождественны. Из рассмотрения геометрического подобия (5.1) особенно наглядно видно, что константы подобия не определяют всю группу подобных процессов (фигур), так как при
переходе к другой паре фигур |
могут произвольно изменять |
сво* |
значение: Сщ-2)Ф Сц2-з)Ф С/о-з). |
|
|
Ус лов ия , и н д и к а т о р ы |
и и н в а р и а н т ы п о д о б и я . |
|
Константы подобия различных параметров могут отличаться |
по ве |
|
личине, но не могут выбираться произвольно, а .связаны между собой уравнением, которое называется условием подобия. Условие подо бия получается в результате преобразования уравнений, связываю щих параметры, которые определяют протекание подобных процес
сов. Получим для примера условие простейшего |
геометрического |
|
подобия для |
рабочих лопаток турбины (см. рис. |
5.1). Запишем |
формулы для |
подсчета площадей S\ = b\h\\ S2 = ft2^2. Используем |
|
формулы подобного преобразования (5.1) и S2 = SiCS(i-2), получим
SiCS(\-2) = bihlC2[(1_2). Сопоставляя это выражение с S\ = b\h\y нахо дим, что они справедливы только, если
(5.5)
Аналогичные выкладки для любой другой пары подобных фи гур позволяют сделать вывод о том, что уравнение (5.5) связи ме жду константами справедливо для всех подобных фигур и являет ся условием их подобия. Поэтому в (5.5) опущены индексы (1—2). Левая часть (5.5) называется индикатором подобия. Для подобных течений индикаторы подобия должны быть равны единице. Под ставляя в (5.5) значения констант подобия, найдем, что безразмер ное выражение
Si |
52 |
§1 |
S |
(5.6) |
|
|
L2 |
---- = mv |
|
Ь\ |
Ь\ |
|
62 |
|
сохраняет неизменное (инвариантное) значение для всех фигур, подобных изображенным на рис. 5.1, и называется инвариантом или критерием подобия. Следовательно, критерием подобия назы вается безразмерный комплекс параметров, характеризующих дан ное явление. Условия подобия гидрогазодинамических процессов гораздо сложнее разобранного элементарного геометрического подобия. Поэтому критерии гидродинамического подобия являются более сложными безразмерными комплексами, состоящими обычно из большего числа размерных параметров, характеризующих эти процессы.
5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Эти теоремы обобщают все сказанное выше и лежат в основе практического применения теории подобия.
Т е о р е м а I. Для подобных процессов индикаторы подобия равны единице, а одноименные критерии подобия одинаковы. Тео рема позволяет установить связь между константами подобия и определить критерии подобия с помощью подобного преобразова ния уравнений, описывающих подобные процессы.
Т е о р е м а II. Решение любого дифференциального уравнения можно представить в виде обобщенного критериального уравнения, устанавливающего связь между критериями подобия, полученными на основании теоремы I или другим -способом:
|
К1= /( К 2, К3.....Кя). |
(5.7) |
Вид функции f |
и значения некоторых констант, входящих в нее, |
|
определяются при помощи единичного эксперимента. |
|
|
Т е о р е м а |
III. Для подобия физических процессов необходимо |
|
и достаточно подобие условий однозначности и равенство |
одно |
|
именных определяющих независимых критериев подобия. При этом равенство определяемых критериев подобия обеспечивается авто матически. Определяющими критериями подобия Кг, Кз ••• К,г назы ваются безразмерные комплексы, составленные из параметров, входящих в условия однозначности. Определяемым критерием по добия KI называется безразмерный комплекс, включающий опреде ляемый в задаче параметр. Теорема III определяет правила про ведения единичного эксперимента и обработки его результатов для