четной, правда при несколько большем расходе газа, чем в иде­ альном случае, что и компенсирует потери количества движения газа в пограничном слое скорректированного сопла.

Задача 15.2. Указать методику расчета параметров потока на внешней границе пограничного слоя при течении газа через сопло Лаваля, имеющего се­ чения /гд = /гд(х). Толщина вытеснения задана 6*= 6*(я).

15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Течение в пограничном слое на стенке (рис. 15.4) может быть ламинарным, переходным и турбулентным, независимо от режима течения невозмущенного потока. Имеется много общего между те­ чениями в трубе и в пограничном слое на стенке. Если Re<RedHp =

на стенке за характерный размер принять толщину пограничного слоя 6, соответствующую радиусу трубы 6 = d/2, а за характерную скорость — скорость внешнего потока ии>соответствующую скоро­ сти на оси трубы tin= ^тах> то, как показывают эксперименты, пе­ реход ламинарного течения в турбулентное будет также опреде­ ляться критическим числом Рейнольдса

длинной пластины режим течения в пограничном слое изменяется. На малых расстояниях от передней кромки пластины толщина пог­ раничного слоя мала (6 < 6 KP) и в пограничном слое сохраняется устойчивое ламинарное течение с молекулярным механизмом пе­ реноса. При увеличении толщины ламинарного пограничного слоя до критической величины бкр при расстоянии х1ф устойчивость ла­ минарного течения в пограничном слое нарушается и появляется участок переходного течения, где хаотически во времени сменяются ламинарный и турбулентный режимы течения. За переходным уча-

Под членами уравнений указаны относительные _порядки_ их величин .Поясним их определение. Величины и, р , Q, Т, v, х> Ср, х имеют по определению порядок единицы. Действительно, при у = 0 и = 0, а при у — 8 и=1, следовательно максимальное зна­ чение И в пределах пограничного слоя имеет порядок единицы

4СК поэтому в пограничном слое dv/dx — 5 и d2v/dx2— 8. Используя полученные результаты, найдем, что

з пограничном слое д2и/ду2 принимает наибольшее значение. В пог­ раничном-слое силы инерции и силы вязкости имеют одинаковый

при больших числах Рейнольдса, когда пограничный слой относи­ тельно тонок. При этом уравнение количества движения (2) можно упростить, отбросив д2й/дх2 и последний член его, как относитель­

но малые величины. Из уравнения (3) следует, что др/душ б. Ин­ тегрируя это выражение получаем, что величина разности давлений

на стенке и на внешней границе пограничного слоя Д р~ 62, т. е. ■очень мала: давление поперек пограничного слоя не меняется и равно давлению на внешней границе пограничного слоя. Это дав­ ление определяется течением без трения и может быть рассчитано по уравнению Эйлера (4.39), поэтому его следует рассматривать как известную функцию продольной координаты X- Итак, для пог­ раничного слоя уравнение (15.12) превращается в уравнение (15.3), т. е. др/ду = 0, которое ранее было получено из качественных соображений. Для дальнейшего важно, что продольные градиенты давления во внешнем потоке и в пограничном слов одинаковы.

ющих тепло, выделяющееся от сжатия и трения. В этом случае тепловой поток между жидкостью и телом определяется разностью термодинамических температур газа и стенки и определяется из­ вестным из курса физики уравнением Ньютона, Дж/(м2/с)

где а — коэффициент теплопередачи, Дж/’(м2сК).

При больших Ми и Рг = 1 уравнение энергии (15.21) имеет та­ кой же вид, как и при малых скоростях с той разницей, что оно со­ держит температуру торможения, а не термодинамическую темпе­ ратуру газа. Отсюда заключаем, что при больших Мн и Рг=1 теп­ лообмен определяется разностью между температурой торможения газа и температурой стенки в соответствии с уравнением Ньютона

Газ будет передавать тепло в стенку, если TH*>TW• Если при этом TH< T W, то стенка будет нагреваться за счет тепла, выделившего­ ся в пограничном слое за счет трения.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я п о г р а н и ч н о г о

данном течении, как во внешнем потоке, так и в пограничном слое,

и Т*. Однако, решения их различны вследствие разницы в гранич­ ных условиях для искомых и и Т*.

Следует заметить, что дифференциальное уравнение диффузии

безразмерная концентрация избыточного элемента. Три аналогич­ ных уравнения при P r= v /x = P rfl=v/D, т. е. при v = %=D и при оди­ наковых граничных условиях

При Pr = Pi*g= 1 при больших Мн в пограничном слое на плоской стенке имеет место подобие полей скоростей, температур торможе­ ния и концентраций, а при малых Мн — полей скоростей, термоди­ намических температур _и концентраций. Безразмерные поля всех трех параметров н, Т и С в обоих случаях сливаются. Толщины ди­ намического, теплового и диффузионного пограничных слоев сов­ падают.

Задача 15.4. Объяснить в чем причина обнаруженного подобия полей скоро­ стей, температур и концентраций в пограничном слое.

Гидродинамическая теория теплообмена и диффузии (15.28) и (15.30) позволяет заменить трудно выполнимые измерение и рас­ чет полей температур и концентраций в пограничном слое более простым — измерением и расчетом полей скоростей.

Таким образом, анализ дифференциальных уравнений, даже без их решения, привел к практически важному результату.

Уравнения пограничного слоя существенно проще общей систе­ мы уравнений. Однако, их аналитическое решение, даже для про­ стейшего случая обтекания плоской стенки при Рг = 1, весьма тру­ доемко. В более сложных случаях дифференциальные уравнения (15.15) ... (15.19) решаются численными методами с использовани­ ем ЭВМ. С методами решения дифференциальных уравнений мож­ но познакомиться по следующим источникам [1, 18, 21, 22, 30].

рактеристик пограничного слоя т, б, б*, б** существенно упрощает­ ся, если перейти от дифференциальных уравнений, справедливых для любой точки в пределах пограничного слоя, к интегральным

Уравнение (15.34) показывает, что поля скоростей ламинарного пограничного слоя подобны в заданных условиях, т. е. сливаются в безразмерных координатах.

Р а с ч е т п а р а м е т р о в л а м и н а р н о г о п о г р а н и ч н о ­

В газах механизмы переноса количества движения, тепла и ве­ щества примерно одинаковы— тепловое хаотическое движение мо­ лекул. Поэтому, приближенно, часто для газов полагают Р г « « Р гя« 1 , и толщины всех трех пограничных слоев оди­ наковыми. Они увеличиваются вдоль стенки пропорционально х0’5

известной формуле

= Ттг(о-*)(^) и объясните физическую причину наблюдаемого изменения. Срав­ ните профили скорости в трубе и в пограничном слое при ламинарном течении при ип = ит&х и 6= R.

Задача 15.6. Для условий рис. 1.5“ определите силу трения на участке лами­

ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской стенке с использованием интегрального уравнения количества дви­ жения с точным решением дифференциальных уравнений. Можно считать^что точность приближенных решений достаточна для прак­ тических целей.

эти уравнения, даже для простейших случаев, пока не удается. По­ этому теория пограничного слоя для турбулентного течения явля­ ется полуэмпирической.

Т у р б у л е н т н ы й п о г р а н и ч н ы й с л о й п р и п р о д о л ь ­ но м о б т е к а н и и г л а д к о й п л о с к о й с т е н к и н е с ж и ­ м а е м о й жи д к о с т ь ю . Это течение является простейшим, так как градиент давления вдоль стенки равен нулю др/дх = 0, поэтому скорость вне пограничного слоя постоянна ип = const. Это позволя­ ет ввести основное допущение о примерно одинаковой структуре турбулентных пограничных слоев на пластине и в трубе и использо­ вать для расчета турбулентного пограничного слоя на стенке фор­ мулы, полученные в гл. 8 для турбулентного течения в трубе, заме­ няя в них скорость Uiпах на оси трубы и радиус трубы R на скорость

Сопоставляя (15.50) и (15.38) заключаем, что при одинаковых Re* толщина турбулентного пограничного слоя больше, чем лами­ нарного, так как он нарастает быстрее — бТруб»*0,8, а бл~ * 0,5.

Турбулентный пограничный слой также как ламинарный, может быть относительно тонким 8/х<C l, только при Re*^>l.

(15.50). Для лучшего совпадениярасчетных и экспериментальных

103'Cf(a...x)

Рис. 15.6. Закон сопротивления гладкой плоской плас­ тины

данных, полученный после интегрирования числовой сомножитель 0,036 заменим на 0,037

15.6). Верхний предел соответствует верхнему пределу для форму­ лы Блазиуса (8.30), а при Re*<C5-105 пограничный слой является ламинарным.

Вывод закона сопротивления из универсального логарифмиче­ ского профиля скоростей значительно сложнее, чем из степенного закона и прежде всего потому, что логарифмические профили ско­

дает хорошее совпадение с экспериментальными данными в преде­ лах 5 -105<Re*< 10® (см. кривую 3 на рис. 15.6).

При одинаковых числах Рейнольдса сопротивление трения при турбулентном пограничном слое (кривые 2 и 3) существенно выше, чем при ламинарном (прямая 1, соответствующая формула 15.45). С увеличением Rex эта разница возрастает. Следовательно, для уменьшения сопротивления трения данного тела, следует «затяги­ вать» ламинарный пограничный слой, сдвигая хкр возможно даль­ ше по потоку.

Сила трения Rx, действующая на стенку длиной х шириной Ъ со стороны смешанного ламинарного (л) и турбулентного (т) погра­ ничного слоя (см. рис. 15.4) рассчитывается по формуле

существенно увеличивать сопротивление тел. Например, шерохова­ тость поверхности нового корабля приводит к повышению сопротив­ ления на 30... 40% по сравнению с сопротивлением гидравлически гладкой стенки. Результаты исследования влияния шероховатости используются для определения необходимой чистоты обработки по­

рактеристики шероховатости труб Кs/R (см. п. 8.3). Для трубы от­

жим полного проявления шероховатости, за ним следует переход­ ный участок, а за ним — участок без проявления шероховатости. Границы менаду участками определяются значениями безразмер­ ной шероховатости Ks!v так же, как при течении в трубах (см. п. 8.3). При этих рассуждениях для простоты принимаем, что тур­ булентный пограничный слой начинается с переднего края плас­

тины.

Прандтль и Шлихтинг [30] нашли закон сопротивления шеро­ ховатой стенки из закона сопротивления шероховатых труб путем трудоемкого пересчета, сходного с пересчетом для определения за­ кона сопротивления гладкой стенки, приведенного в начале этого параграфа.

скорость, то величина x/Ks остается постоянной и величина С/(о-Х) определяется по кривой x/Ks= const. Если изменяется длина плас­